反比例函數(shù)中經(jīng)典例題解析

我們?cè)诮鉀Q反比例函數(shù)y=[kx]（k≠0）中面積類問題時(shí)，通常會(huì)過反比例函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)向x軸（或y軸）作垂線，那么垂足、原點(diǎn)和已知點(diǎn)三點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積恒等于[k2].如果反比例函數(shù)圖像上依次出現(xiàn)A、B兩點(diǎn)，我們將如何處理與面積有關(guān)的問題呢？今天就兩個(gè)經(jīng)典例題，跟大家分享一下解題技巧.

【例1】如圖1，在以O(shè)為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OC，OA分別在x軸、y軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=[kx]（k>0）的圖像與AB相交于點(diǎn)D，與BC相交于點(diǎn)E.若BD=3AD，且△ODE的面積為9，則k的值為 .

方法一：設(shè)點(diǎn)D（a，b），由于A、D、B三點(diǎn)在同一條直線上，且所在直線垂直于y軸，所以A、D、B三點(diǎn)的縱坐標(biāo)都相同，從左至右各點(diǎn)坐標(biāo)可以分別是：A（0，b），D（a，b），B（4a，b）.

由于點(diǎn)B、E、C三點(diǎn)在同一條直線上，且所在直線垂直于x軸，故B、E、C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，都是4a.因?yàn)辄c(diǎn)D、E都在反比例函數(shù)y=[kx]的圖像上，所以點(diǎn)D、E的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的乘積為定值k，且點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是點(diǎn)D橫坐標(biāo)的4倍，故點(diǎn)E的縱坐標(biāo)是點(diǎn)D縱坐標(biāo)的[14].由點(diǎn)D（a，b）可得點(diǎn)E（4a，[14]b），從上至下各點(diǎn)坐標(biāo)分別是：B（4a，b），E（4a，[14]b），C（4a，0）.

由各點(diǎn)坐標(biāo)可以得出：

OA=b，AD=a，DB=3a，BE=[34b]，EC=[14b]，OC=4a.

S△ODE=S矩形OABC–S△AOD–S△OCE–S△DBE

=4a×b[-a×b2-4a×14b2-3a×34b2]=[15ab8].

∵S△ODE=9，∴[15ab8]=9，∴ab=[245].

∵點(diǎn)D（a，b）是反比例函數(shù)y=[kx]的圖像上的一點(diǎn)，∴k=ab=[245].

方法二：設(shè)點(diǎn)D（m，[km]），利用方法一的推理，可得出點(diǎn)A（0，[km]），D（m，[km]），B（4m，[km]），E（4m，[k4m]），C（4m，0）.

由各點(diǎn)坐標(biāo)可以推出：

OA=[km]，AD=m，DB=3m，BE=[3k4m]，CE=[k4m]，OC=4m.

S△ODE=S矩形OABC–S△AOD–S△OCE–S△DBE

=4m×[km-k2-k2-3m×3k4m2]

=4k-k-[98]k

=[158]k.

∵S△ODE=9，∴[158]k=9，∴k=[245].

方法一中：通過點(diǎn)D的坐標(biāo)（a，b），表示其余各點(diǎn)坐標(biāo)以及各條線段的長度，簡單清晰，既便于表示，又便于計(jì)算.

方法二中：借助一個(gè)參數(shù)字母m以及k來表示各點(diǎn)坐標(biāo)和各線段的長度，由于分母中帶有字母，所以在表示和計(jì)算時(shí)易出錯(cuò)和混淆，但這種方法的優(yōu)點(diǎn)是可以直接列出關(guān)于k的方程.

【例2】如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，OC是△OAB的中線.點(diǎn)B、C在反比例函數(shù)y=[3x]（x>0）的圖像上，則△OAB的面積等于 .

方法一：設(shè)點(diǎn)B（a，b），過點(diǎn)B作y軸的垂線，垂足為D，過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為F，DB與CF交于點(diǎn)E，構(gòu)造矩形ODEF，如圖5.

因?yàn)锽、D、E三點(diǎn)共線，且所在直線垂直于y軸，故B、D、E三點(diǎn)的縱坐標(biāo)都相同，都為b.

因?yàn)镃、E、F三點(diǎn)共線，且所在直線垂直于x軸，故C、E、F三點(diǎn)的橫坐標(biāo)都相同.

∵OC是△OAB的中線，∴BC=CA.

由△CBE≌△CAF，可知CE=CF=[b2].

∵B、C同在反比例函數(shù)y=[3x]的圖像上，且點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是點(diǎn)B縱坐標(biāo)的[12].

∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是點(diǎn)B橫坐標(biāo)的2倍.

∴由B（a，b），可得點(diǎn)C（2a，[b2]），

∴E（2a，b），C（2a，[b2]），F(xiàn)（2a，0）.

∴OD=EF=b，DE=OF=2a.

∵S△AOB=S四邊形OBCF+S△CAF

=S四邊形OBCF+S△CBE=S梯形OBEF，

∴S△AOB=S矩形ODEF-S△ODB[=2a×b-32]=2×3

[-32]=[92].

或S△AOB=S梯形OBEF=[（BE+OF）×EF2]=

[12]（a+2a）b=[32]ab=[32]×3=[92].

方法二：在方法一的基礎(chǔ)上作BK⊥OA，垂足為K，如圖6.利用S△AOB=[12]×OA×BK求值.

圖6

∵△CBE≌△CAF，∴BE=AF=a.

∴OA=3a.

又∵BK=OD=EF=b，

∴S△AOB=[12]×3a×b=[92].

通過對(duì)以上兩道例題的分析，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)已知反比例函數(shù)圖像上的兩個(gè)點(diǎn)，要求圖形面積時(shí)，我們可以遵循以下的解題思路：

首先，設(shè)反比例函數(shù)圖像上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以用兩個(gè)字母（a，b）表示，也可以設(shè)為（m，[km]）；

其次，過其中一點(diǎn)作x軸的垂線，過另一點(diǎn)作y軸的垂線，延長兩條垂線，與坐標(biāo)軸圍成矩形，根據(jù)三點(diǎn)共線，得出各點(diǎn)坐標(biāo)，并根據(jù)各點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)線段的長度；

最后，利用割補(bǔ)、替換、和差等面積處理方法，建立圖形面積之間的關(guān)系.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湟里初級(jí)中學(xué)）