高等數(shù)學(xué)解題應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)法的分析

白慷 張敬洋

摘 要：構(gòu)造函數(shù)法在解題時具有巧妙、新穎、簡潔等特點(diǎn)，常常化繁為簡、使解題突破常規(guī)，易于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和探索精神，是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力的有效范例。而輔助函數(shù)的構(gòu)造方法多種多樣，具有較強(qiáng)的技巧性，本文主要通過實(shí)例討論構(gòu)造輔助函數(shù)的常用方法。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；解題；函數(shù)；構(gòu)造

構(gòu)造函數(shù)法是高等數(shù)學(xué)中證明某些命題時經(jīng)常使用的方法。該方法在有關(guān)中值定理的證明、不等式的證明和方程根的討論中被廣泛使用。所謂構(gòu)造函數(shù)法，就是在解決數(shù)學(xué)問題時，依據(jù)該問題中的條件與結(jié)論之間的關(guān)系，構(gòu)造出一個輔助函數(shù)，通過對輔助函數(shù)的研究使數(shù)學(xué)問題得到解決的方法。構(gòu)造函數(shù)法的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)。通過對輔助函數(shù)的變換來證明結(jié)論。

一、拉格朗日中值定理

分析法指的是通過對結(jié)果一步一步地倒推，構(gòu)造輔助函數(shù)，幫助分析，最終通過對重新構(gòu)造函數(shù)的分析證明得出結(jié)論的過程。拉格朗日中值定理的證明：輔助函數(shù)法：已知f（x）在ab閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，然后構(gòu)造輔助函數(shù)g（x），代入（a，g（a）），（b，g（b）），可以得到，g（a）=g（b）=f（a），有因?yàn)閒（x）在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)，在開區(qū)間可導(dǎo)，所以，根據(jù)羅爾定理可以證明拉格朗日中值定理的存在性，代入后進(jìn)行化簡和移項(xiàng)可證明定理存在。

注：微分學(xué)中的基本定理之一的拉格朗日中值定理又名拉氏定理，它反映了可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的局部變化率與閉區(qū)間上的整體的平均變化率的關(guān)系。羅爾中值定理的推廣式，同時柯西中值定理的特殊情形也是拉格朗日中值定理，它還是泰勒公式的弱形式（一階展開），在大多數(shù)不等式證明以及部分微分題中，此原理都有廣泛運(yùn)用。

二、證明不等式

（1）通過單調(diào)性證明不等式的存在性

單調(diào)性是指，在一定的定義域內(nèi)，函數(shù)的增減性，它能夠準(zhǔn)確地說明函數(shù)在定義域內(nèi)在值域上的映射變化，在解決不等式問題時，我們可以根據(jù)增減性來判斷極值點(diǎn)的位置，進(jìn)而證明不等式的存在性。例1：證明：當(dāng)x>0時，x>ln（1+x）

分析：通過觀察不等式的結(jié)構(gòu)，我們可以了解到，兩個初等函數(shù)構(gòu)成了這個不等式，因?yàn)槌醯群瘮?shù)的微分依舊是初等函數(shù)，所以我們可以想到利用做差法來構(gòu)造輔助函數(shù)，f（x）=x-ln（1+x），通過求導(dǎo)新構(gòu)造函數(shù)可以得出相應(yīng)的極值以及在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，并由此得出結(jié)論。構(gòu)造輔助函數(shù)的方法就是做差法，它通過移項(xiàng)，做差構(gòu)造新的函數(shù)，并通過求導(dǎo)構(gòu)造的新函數(shù)證明單調(diào)性，得出極值，從而解決問題。

（2）用拉格朗日中值定理證明不等式

高等數(shù)學(xué)中，拉格朗日中值定理可以證明許多不等式題目，大多數(shù)題目在使用拉格朗日中值定理前都需要進(jìn)行化簡和恒等變形，如果經(jīng)過恒等變形之后不等式符合拉格朗日中值公式的條件，就需要考慮

使用公式來解決問題。

例2：證明：當(dāng)x>1時，ex>ex。分析：初步觀察不等式，看似毫無頭緒，但仔細(xì)分析后我們可以發(fā)現(xiàn)x∈（1，x'）（x'>0）在此區(qū)間，應(yīng)用中值定理，肯定會出現(xiàn)式子ex′-e，原不等式就可以變形為ex-e>e（x-1）=ex-e/x-1>e，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)不等式在變形之后滿足拉格朗日中值定理的應(yīng)用條件，于是我們在區(qū)間內(nèi)設(shè)輔助函數(shù)f（x）=ex，由于它在區(qū)間內(nèi)滿足拉格朗日中值定理的條件，所以用拉格朗日中值定理即可證明不等式的存在。

（3）用最大最小值證明

當(dāng)不等式求導(dǎo)后得到的數(shù)值在區(qū)間內(nèi)符號不同需要分段討論時較為麻煩，因此不能夠用單調(diào)性來證明，所以我們可以考慮用最值證明。

三、構(gòu)造函數(shù)求極限

構(gòu)造輔助函數(shù)能夠簡化函數(shù)，對于一些較為復(fù)雜的函數(shù)，我們沒有辦法應(yīng)用現(xiàn)有知識進(jìn)行解決，因此，在解決題目的過程中遇到較為復(fù)雜的函數(shù)時，我們應(yīng)該先對現(xiàn)有函數(shù)進(jìn)行觀察，化簡，在符合構(gòu)造函數(shù)條件的情況下通過構(gòu)造函數(shù)來求極限。

例3：設(shè)f（x）=1/x+1+1/x+2+...+1/x+x，求limx→∞f（x）。分析：此題的函數(shù)結(jié)構(gòu)如果用其他方式較為麻煩，而且每一項(xiàng)的格式并不相同，因此，我們考慮對每一項(xiàng)進(jìn)行變形，構(gòu)造相應(yīng)的輔助函數(shù)對其進(jìn)行統(tǒng)一和簡化，再通過對黎曼積分的使用，困難程度就減輕了，因?yàn)椋和ㄟ^極限思想，我們得到了黎曼積分，所以很容易把它反用于極限的求解過程中。

四、結(jié)論

當(dāng)遇到較為困難且復(fù)雜的題目時，我們需要先對其構(gòu)造輔助函數(shù)，使其滿足黎曼積分的應(yīng)用條件，并易于考慮題目進(jìn)一步的計(jì)算，通過極限思想，我們得到了黎曼積分，所以很容易把它反用于極限的求解過程中，再通過運(yùn)用我們已學(xué)的有關(guān)積分知識就可求得極限值。

五、計(jì)算積分及函數(shù)值

例5：設(shè)在[0，1]上，|f（x）|<=M，且f（x）在（0，1）內(nèi)取得最大值，證明|f（1）|+|f（0）|<=M.f（x）在（0，1）內(nèi)取得最大值說明存在k屬于（0，1）使f（k）=0利用中值定理得f（1）-f（k）=（1-k）f（a）其中a是（k，1）中的某數(shù)所以|f（1）|=|（1-k）f（a）|<=1-k同理可證|f（0）|<=k相加即得要證的方程

六、構(gòu)造函數(shù)解決數(shù)列問題

數(shù)列變形之后首先進(jìn)行觀察，查看數(shù)列是否符合構(gòu)造函數(shù)的條件，若符合，根據(jù)數(shù)列自身的性質(zhì)以及形態(tài)構(gòu)造特定函數(shù)進(jìn)行求解。

結(jié)束語

美國著名教育家波利亞說：“解題的成功要靠正確思路的選擇，要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘.”構(gòu)造函數(shù)法也是這樣，構(gòu)造合適的輔助函數(shù)，要依據(jù)所要證明的命題及相關(guān)的的定理進(jìn)行構(gòu)造。當(dāng)然，構(gòu)造輔助函數(shù)還有許多巧妙的方法，這要求我們在解題的過程中不斷地研究、探索和總結(jié)。

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