基于最大特征向量的改進TOPS算法*

（西安郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，西安710121）

1 引言

隨著雷達、聲納技術(shù)的發(fā)展，信號測向受到廣大科技人員的極大關(guān)注[1-3]。相比于窄帶信號，寬帶信號含有更多的有用信息，因此有關(guān)寬帶信號的檢測是信號測向的一個主流[4]。

最常用且比較經(jīng)典的DOA估計算法是基于子空間分解的MUSIC法及ESPRIT算法[5]，由于ESPRIT算法特別依賴于實際陣列的各項參數(shù)，而MUSIC算法對少量參數(shù)的誤差不靈敏，因此MUSIC算法的工程應(yīng)用前景更好。MUSIC算法基于陣列協(xié)方差矩陣（Array Covariance Matrix,ACM）特征分解(Eigen Decomposition,ED)理論，通過對接收的陣列數(shù)據(jù)矢量分解為兩個相互正交的子空間，分別為信號子空間(Signal Subspace)和噪聲子空間(Noise Subspace)，利用它們之間的正交性可構(gòu)造空間角度譜，通過一維或二維角度遍歷即可獲得信號的空間角。由于寬帶信號攜帶的信息比窄帶信號更多，因此對于寬帶信號的研究更能引起學(xué)者的興趣。最早的寬帶DOA估計算法屬于非相干信號子空間法（Incoherent Signal Subspace Method,ISSM）[6]。ISSM 算法和窄帶MUSIC方法在性質(zhì)上類似，但是ISSM算法對信噪比（signal to noise ratio,SNR）有一定的要求，低SNR的條件下，ISSM算法的角度估計性能就會急劇惡化。相干信號子空間法（Coherent Signal Subspace Method,CSSM）則是一種聚焦類的寬帶DOA估計算法[7]，該算法通過累加的效果可以比擬空間平滑的作用，所以CSSM可以處理相干源。文獻[8]提出的投影子空間正交性測試法（Test of Orthogonality of Projected Subspace,TOPS），是一種無需聚焦的算法。從實質(zhì)上來說，TOPS和ISSM算法是一樣的，它對寬帶相干源的DOA估計也是失效的，其DOA估計性能介于ISSM與CSSM之間。由于TOPS算法不需要聚焦，在中等SNR下性能較好，且比較穩(wěn)健，因此受到了許多學(xué)者的廣泛關(guān)注。TOPS算法的缺點是微弱信號環(huán)境下算法的誤差較大，且需要選擇一個頻點作為參照點，參考點選取不當(dāng)會引來額外的估計誤差，有時會出現(xiàn)虛報譜峰的現(xiàn)象。故此提出一種改進的TOPS算法。

改進算法是先利用約化協(xié)方差矩陣(Reduced Covariance Matrix,RCM)法消除噪聲[9]，通過對各頻點去噪后的陣列協(xié)方差矩陣進行特征分解，選擇最大特征值對應(yīng)的向量矩陣作為估計的信號子空間，無需信源數(shù)目的先驗信息就可實現(xiàn)寬帶信號的DOA估計。

2 陣列及信號模型

陣列是M個陣元的均勻線列陣（Uniform Linear Array,ULA），陣元間距為d，P個寬帶信號從遠場入射，入射角度分別為 θ1,θ2,...,θP，陣列的輸出為

對X(t)進行離散傅里葉變換，寫成矩陣形式為

其中

對X(fj)進行協(xié)方差運算，則頻率fj處的ACM為

其中

3 TOPS算法

TOPS算法不需要進行角度預(yù)估，算法的精確度也介于ISSM與CSSM之間，填補了這兩種算法之間的空白。該算法的主要思想為將噪聲子空間投影到參考頻點的信號子空間上，用這些投影構(gòu)造一個新的矩陣，然后用這個新的構(gòu)造矩陣進行角度搜索，矩陣缺秩時搜索的角度就是DOA估計值。TOPS算法利用了帶寬范圍內(nèi)所有頻點的信息。

為更好闡述TOPS法，有必要先介紹兩個定理。

定理 1：對于 ULA，在方向矢量 a(fP,θP)和 M×M維對角變換矩陣Φ(fq，θq)給定的情況下，將兩者相乘可得到一個新的方向矢量

定理2：令Δfj=fj-fP，則下面兩個值域空間是等價的，即

其中，φ是假設(shè)的方位角，表示新的方位角矢量。

通過Φ(fj,θj)可以把對應(yīng)于某個頻率和空間某個角度處的a(fi,θi)轉(zhuǎn)換為另一個頻率和另一角度處的 a(fk,θk)。當(dāng) θi=θj時，則 θk=θi，此時有

當(dāng)φ為空間真實角度時，矩陣D(φ)會出現(xiàn)缺秩現(xiàn)象。判斷D(φ)的缺秩情況，通過一維角度遍歷搜索即可估計出寬帶信號的空間角。

4 改進的TOPS算法

TOPS算法的好壞與選定的參考點處的信號子空間F0密切相關(guān)，不恰當(dāng)?shù)膮⒖键c會造成算法性能急劇惡化，有時會帶來偽峰現(xiàn)象。

為消除噪聲的影響，利用RCM法去噪：

其中，D{Rx(fj)}表示返回Rx(fj)的對角矩陣，通過矩陣對消，噪聲協(xié)方差矩陣被消除了，且對進行特征分解

TOPS算法中的Ui指的是所有的信號特征向量，現(xiàn)實中由于信源數(shù)目事先未知，準(zhǔn)確獲得全部信號特征向量很難實現(xiàn)。進一步探索得知，最大特征值對應(yīng)的特征向量屬于信號子空間，且其攜帶了大部分信號子空間的信息，尤其是在微弱信號的環(huán)境下。因此考慮只利用最大特征值對應(yīng)的噪聲特征向量作為估計的信號子空間，這就是改進算法(ITOPS)的思想，即ITOPS只利用最大特征信號特征向量來取代真實的信號子空間，這樣無需預(yù)先估計寬帶信源的數(shù)目就可以實現(xiàn)寬帶源的角度估計。

5 仿真結(jié)果及分析

仿真采用8陣元的ULA，令2個不相關(guān)的寬帶信號入射到ULA上，2個寬帶信號的空間角度分別是-12°、-18°。ULA的附加噪聲是零均值的空間平穩(wěn)噪聲。將寬帶信號在帶寬內(nèi)分為21個窄子帶,每個子帶的快拍數(shù)均為128，兩個寬帶信號與噪聲的功率相同，均為10dB。為客觀起見，在相同條件下對TOPS、ITOPS算法進行仿真比較。仿真對比結(jié)果如圖1、圖2所示。

圖1 TOPS算法的角度譜

圖2 ITOPS算法的角度譜

圖1的仿真結(jié)果表明，TOPS算法可實現(xiàn)對寬帶信號的DOA估計，譜峰也較為尖銳。但TOPS算法對選定的參考頻點敏感，當(dāng)頻點選擇不太合適時，該頻點的誤差會擴散到其它頻點處，累加的誤差就比較大，因此會出現(xiàn)偽峰現(xiàn)象；圖2的仿真結(jié)果表明，ITOPS算法首先通過RCM法消除平穩(wěn)噪聲對角度估計的影響，利用最大特征向量來構(gòu)成信號子空間，繞開了信源數(shù)目的預(yù)估問題。結(jié)果表明，ITOPS也可以對寬帶信號進行準(zhǔn)確的角度估計，譜峰也比較尖銳，且由于消除了噪聲的影響，幾乎沒有偽峰。

6 結(jié)束語

針對TOPS算法需要信源先驗數(shù)目的問題，提出了一種改進算法，首先利用RCM法消除了噪聲對方位估計的影響，其次對各頻點的陣列協(xié)方差矩陣進行特征分解，選擇最大特征值對應(yīng)的向量矩陣作為估計的信號子空間，從而無需信源數(shù)目的先驗信息就可實現(xiàn)寬帶信號的DOA估計。改進算法同時也克服了TOPS算法只適合中等信噪比的缺點，算法穩(wěn)健性高，通用性好，具有良好的工程應(yīng)用前景。