一類非經典邏輯“否定”概念解析

張君

摘 要：否定是邏輯的基本概念之一，大部分的邏輯都將否定作為初始概念。但是不同邏輯中的否定確有著不同的意義，比如經典邏輯、直覺主義邏輯、相干邏輯、弗協調邏輯等對否定的理解就不同。我們說這些否定不同，是因為否定在這些邏輯中具備否定的特性，又有不同的性質，所以我們統稱為否定。

關鍵詞：弗協調邏輯；相干邏輯；直覺主義邏輯

一、弗協調邏輯否定

對矛盾的邏輯描述不能不使用否定詞，或者說否定詞和各類矛盾都有著天然的聯系。弗協調否定在其邏輯系統中引入了一種比經典邏輯稍弱的弗協調否定。邏輯學家達.科斯塔建立的邏輯系統是被人們研究最多的弗協調邏輯系統。在語法連接詞中有兩種否定詞：一種是經典意義的否定詞“～”，一種是弗協調意義的否定詞“?”。因為否定詞的區別，兩類矛盾在邏輯語法上有了明顯的區別。前一種矛盾是建立在經典否定基礎上的經典矛盾，后一種矛盾是建立在弗協調否定基礎上的弗協調否定矛盾。兩種否定在邏輯語義上有明顯的差別：

關于“～”的賦值定義1：V（?A）=1 ?=? V（A）=0

關于“?”的賦值定義2：V（A）=0 =? V（?A）=1；

V（??A）=1 =? V（A）=1

由以上賦值可知，兩種否定都是二值的；并且由賦值定義1可知，連接詞“～”的邏輯特征是：若～A為真，則A為假；若A為真，則～A為假。由賦值二的定義可知，連接詞“?”的邏輯特征是：若A為假，則?A為真。但若A為真，則?A可真可假；并且??A為真，則A為真；若??A為假，則A可真可假。在這樣的賦值定義下A和～A不能同時為真，但A和?A可以同時為真。綜上所述，雖然都是否定詞但兩者的邏輯語義不同。

弗協調邏輯否定的出發點是對經典邏輯矛盾普遍有效性的懷疑，弗協調邏輯的思想是包容矛盾、限制矛盾。弗協調邏輯否定刻畫了對立統一關系，是一種辯證否定的觀點。

二、相干邏輯否定

經典邏輯采用二值語義，其否定“?”的定義是：?p真，當且僅當p假，即如果p真那么?p假，并且如果p假那么?p真。相干邏輯中的相干原理是說，如果A→B是相干邏輯的原理，那么A與B至少有一個共同的命變元，這樣顯然會把一大批經典邏輯的規律排除在外，而在形式語義上就必須對連接詞，主要是對否定做出不同的解釋。

在情境中使用的否定是相干否定。相干邏輯的克里普克關系語義中，為了處理否定，專門為每一個狀態x配一個狀態x*（x*是x經過運算所得到的結果）：?A在給定狀態x下為真，當且僅當A在狀態x*下不真，即

1、x╞?A當且僅當x*╞A，相干邏輯中的狀態不同于可能世界，狀態可以是不完備或者不協調的。狀態x不完備，則x╞A并不保證x╞?A，因為x可能關于A“什么也沒說”，既不肯定，也不否定。狀態x不協調，則允許有x╞A且x ╞?A，x既肯定A又否定A。由于不能只根據是否有x╞A來決定是否有x╞?A，相干邏輯引入狀態之間的相容關系C。xCy表示y與x相容，從而關于否定的語義條件又可敘述如下：

2、x╞?A，當且僅當，對每一個使得xCy成立的y都有y╞A。也就是說，x否定A，當且僅當，不存在與x相容的狀態肯定A，即x完全“排除A”。當C具有對稱性、有向性和收斂性這些性質時，定義1和2就是等價的。可見，星運算相應于具有以上三種性質的相容關系，用星運算處理否定只是用相容關系處理否定的一個特殊情形。

三、直覺主義邏輯否定

直覺主義的否定詞確實是一個與經典邏輯不同的否定詞。直覺主義的否定不能與經典否定來比較強弱，強調直覺主義的東西與經典的東西不可比，從經典邏輯角度來理解直覺主義邏輯是直覺主義者不能接受的，但對于經典邏輯而言理解直覺主義的?A→A就是在經典的假設下強調構造性。從這個角度看?A→～A成立，～A→?A不成立，即存在不一定是構造的，但構造一定是存在的。

直覺主義是不接受經典否定詞的，所以他們構造的形式系統只有一個否定詞，但僅含有一個非經典否定詞的系統存在缺陷，真正符合直覺主義精神的形式系統應該包含有兩個否定詞，即使將否定作為虛擬的也好，然后我們可以將系統內含有否定詞的定理分為三類：1、僅含直覺主義否定的；2、僅含經典否定的；3、既含經典否定又含直覺主義否定的。一是作為直覺主義的推理規則；二是作為經典的推理規則；三是從經典否定角度來理解直覺主義否定的推理規則。

直覺主義否定只有在通過一個類似語義上升到元語言的過程才能被理解，要想在一個系統中斷定一個語句的否定必須引入元語言，否定存在的前提是封閉類。??A→A和A→??A從邏輯上是不可解決的，它們不是邏輯規則，因此不能按照一般證成邏輯規則的方法證明它，所以直覺主義否定的邏輯規則面臨著兩難的境地。

我們說經典邏輯中的否定大致對應于自然語言中的“不”、“并非”，而直覺主義邏輯中的否定則是“永遠不會”，或者說是“不可能”。從這個角度來看，直覺主義邏輯中的否定其實比經典邏輯中的否定要強。

（作者單位：中央財經大學文化與傳媒學院）