從一道不等式應用題說起

鄭小華

教學資源是教學的載體，它的開發程度直接影響教學效果。如何充分地開發教學資源，是廣大教師面臨的一個重大課題。本文以一道七年級下學期不等式的應用題為載體，從三個角度來探究，以闡述如何用開放性思維構建教學點，開發習題資源。

題目：用錘子頭相同的力將鐵釘垂直釘入木塊，隨著鐵釘的深入，鐵釘所受的阻力也越來越大。當未進入木塊的釘子長度足夠時，每次釘入木塊的釘子長度是前一次的1/2，已知這個鐵釘被敲擊3次后全部進入木塊（木塊足夠厚）且第一次敲擊后鐵釘進入木塊的長是是2cm，若鐵釘長度為acm，求a的取值范圍。

探究1：如何培養學生良好的數學閱讀習慣

本題的文字敘述較長，具備閱讀型習題的特點。從結構上看，可以分為三個部分：第一部分：如圖（見前述圖形），用錘子以相同的力將鐵釘垂直釘入木塊，隨著鐵釘的深入，鐵釘所受的阻力也越來越大。第二部分：當未進入的釘子長度足夠時，每次釘入木塊的釘子長度是前一次的1/2（條件1）。已知這個鐵釘被敲擊3次后全部進入木塊（木塊足夠厚，）（條件2），且第一次敲擊后鐵釘進入木塊的長度是2cm（條件3），第三部分：若鐵釘總長度為acm，求a的取值范圍。

分析如下：第一部分為問題背景，介紹的是生活中的物理知識，配合插圖，以降低難度，讓學生輕松進入問題情境，第二部分為題干區，并列提供3個數據條件，且將題目的數量關系包含其中，第三部分為提出問題，它是問題的焦點，具有明確的方向，與題干區有直接的因果關系，是思維的起點也是終點。對習題結構的把握和對各部分功能的認識，有助于學生主動迎合命題目標。作為一道實際問題，它承載著生活知識向數學知識轉化的目標，也覆行著數學應用價值向生活回饋的使命，它既是綜合數學素養的體現，也是學科交叉滲透的典型代表。從這個意義上講，教師應提高對問題背景的認識，它能高屋建瓴地幫助學生建立跨學科知識體系，也有助于學生快速而準確地發現題干區和問題之間的數量關系。其次，怎樣分析第二、三部分之間的內在關系，是解決問題的核心部分：分析問題→轉化問題→運用或創造條析→建立數學模式→解決問題。只要我們明確閱讀型習題的命題目標，緊抓習題結構，借助于生活知識和數學知識體系，就能準確地建立起解決實際問題的數學模式。所以，如何培養學生良好的閱讀習慣成了本文的第一個探究方向。

探究2：如何挖掘實際問題中的隱含條件

本題探究的是鐵釘總長度的取值范圍，這說明題目中應該具備不等關系，但通讀全題并未發現表示不等關系的關鍵詞。如何挖掘題目中的隱含條件，是值得我們研究的課題。一般來講，每道數學題均有它的題眼，或直觀，或隱蔽，尤其是對于后者，將數量關系、數據特征蘊含在生活之中，或其他學科之中，它挑戰著學生的生活經驗和跨學科的知識面。就本題而言，如果我們從實踐的角度出發，你會發現：錘子敲擊兩次，鐵釘沒有完全進入木塊；敲擊三次才完全進入木塊。前者表示：前兩次鐵釘進入木塊的長度之和小于鐵釘的總長度，用不等式表示為：2+2×1/2

探究3：靈活進行問題變式，促進習題創新

習題變式，可以解釋為舉一反三，它能引領學生的思維朝縱深方向發展，對于培養學生的思維能力，提高習題的使用效率非常重要。以本題為例，可作以下變式：

變式1：用錘子以相同的力將鐵釘垂直釘入木塊，隨著鐵釘的深入，鐵釘所受的阻力也越來越大，當未進入木塊的釘子長度足夠時，每次釘入木塊的釘子長度是前一次的1/2，已知這個鐵釘被敲擊3次后全部進入木塊（木塊足夠厚），且鐵釘總長度為3cm，若第一次敲擊后鐵釘進入木塊的長度為bcm，求b的取值范圍。

解析：同原題相比，本題將求解的對象由鐵釘的總長度置換為求第一次敲擊后鐵釘進入木塊的長度b的取值范圍。求解對象的改變，為本題創造了新的研究角度。但其依賴的不等關系沒有改變，仍然是：①前兩次鐵釘進入木塊的長度之和小于鐵釘總長度；②前三次鐵釘進入木塊的長度之和不小于鐵釘總長度，由此構造不等式組：

變式2：用錘子以相同的力將鐵釘垂直釘入木塊，隨著鐵釘的深入，鐵釘所受的阻力也越大，當未進入木塊的釘子長度足夠時，每次釘入木塊的釘子是前一次的1/2，已知鐵釘的總長度是3cm，第一次敲擊后，鐵釘進入木塊的長度為1.8cm，求敲擊多少次鐵釘才能完全進入木塊？

解析：本題將探究的目光轉移到鐵釘要完全進入木塊時所需的敲擊次數，根據上述不等關系，設第n次敲擊后鐵釘完全進入木塊，列式如下：

觀察不等式①、②，可以發現不等式的左邊均為等比數列，因此學生面臨著對等比數列進行求和的問題，盡管超出了七年級學生的要求，但對于優生而言，老師可以運用錯位相減法引導他們去推導等比數列前n項求和公式，這樣拓展了探究的內容和方向。

在問題解決過程中還涉及到對含有乘方倒數形式的不等式組的處理，為學生深入解決不等式提供了良好的素材。就本題而言，還可對每次釘入木塊的釘子長度是前一次的幾分之幾進行探究。

其實，很多數學問題具備廣泛的變式條件，本著培養學生綜合解決問題能力的目標，教學中一旦出現這樣的機遇，教師應把它作為優質習題資源深入挖掘。

回歸本文宗旨：對一道不等式應用題從三個角度進行探究，也就從三個領域構建教學點，對于培養師生的開放性思維，建立更加完善的知識體系具有強大的推動力。如能對促進有效課堂研討稍有幫助，本人將深受鼓舞。