試析分塊周期三對角矩陣逆矩陣的新算法

李明偉 李永芳

【中圖分類號】O241.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）08-0151-01

1.問題的提出

在研究矩陣的求解、特征值等方面，分塊周期三對角矩陣具有其特殊性，對計算機及相關工程發展有重要意義。因此，本文提出了利用Sheman-Morrison-Woodbury公式來獲得分塊周期三對角矩陣逆矩陣的新算法。本文研究型如矩陣A的分塊周期三對角矩陣的逆矩陣算法：

A=a1 b1 0 … 0 tc2 a2 b2 … 0 00 c3 a3 … 0 00 0 0 ？噎 an-1 bn-1s 0 0 ？噎 cn an

其中A的元素ai，bi，ci，s，t均為m階方陣，根據s，t，m的取值不同，其分別稱為矩陣A的不同形式。

2.預備知識

為了研究型如矩陣A的逆矩陣算法，通過以下引理作為理論基礎進行分析。

引理 1：假設C為分塊三對角矩陣，根據LU、UL對矩陣進行分解，分解結果如下：

C=L1U1=Il1 I l2 I ？塤 ？塤 ln-1 Iu1 b1 u2 b2 u ？塤 ？塤 bn-1 un=

U2L2=α1 b α2 b21 α3 ？塤 ？塤 bn-1 αnIβ1 I β2 I ？塤 ？塤 βn-1 I

其中序列{li}，{ui}，{αi}{βi}可以按照u1=a1，li-1=ciui-1-1，ui=ai-li-1bi-1，其中i=2，3，…，n。

引理2：設B為n階可逆方陣，x，y是n維列向量，當且僅當1+yTB-1x≠0時，B+xyT為可逆的，并得出等式（1）

（B+xyT）-1=B-1- （1）

引理3：設B為n階的可方陣，X，Y均為nm×m矩陣，則當且僅當Im+YTB-1X可逆時，B+XYT為可逆的，并得出等式（2）

（B+XYT）-1=B-1-B-1X（Im+YTB-1X）-1YTB-1 （2）

3.新算法的構建

那么結合引理，給定m階可逆方陣P1，Q1，令Qn=Pt，Pn=Qs，那么可以構造向量：

P=P100Pn，QT=（Q1，0，…，0，Qn）

那么分塊周期三對角矩陣B表示為：B=D+PQT，根據引理3等式（2）可以將矩陣BD的關系表述為：

B-1=（D+PQT）-1=D-1-D-1P（Im+QTD-1X）-1QTD-1

那么如果矩陣B為型如A的矩陣，那么假設矩陣D為可逆的，則矩陣B需要滿足Im+QTD-1P是可逆的，并可以通過下列算法獲得矩陣B？鄄1的元素。

給定任意P1，Q1，Qn=P1-1t，Pn=Q1-1s，u1=a1-P1Q1，li-1=ciui-1-1，ui=ai-li-1bi-1，其中i=2，3，…，n，an=αn-PnQn，βi=αi+1-1ci+1，αi=ai-biβi，其中i=n-1，n-2，…，1

給定g1=Im，x1=Im，將hi，gi，xi，yi帶入上式，則有

h1=α1-1，hi=-bi-1hi-1α1-1，其中i=2，3，…，n，gn=（unhn）-1，gi=-bi

hi+1ui-1，其中i=n-1，n-2，…，1

y1=α1-1，yi=-βi-1yi-1，其中i=2，3，…，n

xn=（unhn）-1，xi=-lixi+1，其中i=n-1，n-2，…，1

那么有γ=Im+（Q1g1h1+Qnynx1）P1+（Q1g1hn+Qnynxn）Pn

∈=γ-1（P1x1y+Pnhng），f=Q1g1hT+QnynxT

cij=gihj-∈ifj，i≤jxjyi-∈ifj，i>j