等比數列求和公式發現過程的教學創新

丁婉婷 馬迎秋

【摘要】目前等比數列求和公式教學過程中，公式的發現過程一直都是教學的難點。本文通過結合日常生活中的游戲中的數學原理，類比游戲中的情境，建立并創新獨特的等比數列求和公式發現過程。

【關鍵詞】等比數列求和公式 發現過程 游戲創新

【基金項目】廣東省高等教育教學研究機構和改革項目——“數學史與數學文化”課程綜合（內容、模式、評價）教學改革與實踐。

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）08-0118-01

1.問題提出

“等比數列前n項和”此節內容是高中數學中十分重要的知識點，但通過閱讀文獻以及對高中教師的咨詢可得，教師講解此節內容最困難的環節便是引出等比數列求和公式的過程以及在推導過程中所引入的錯位相減法。

初步接觸錯位相減法的學生不理解錯位相減法的原理以及使用方法。教師則是不知如何向學生解釋為何推導等比數列求和公式時需要使用到錯位相減法，如果硬生生搬出這個方法，學生遇到復雜的求和問題時，則不知如何使用。所以教師對于如何向學生引出錯位相減法及使用此方法推導等比數列求和公式，一直都是一個難題。

2.設計緣由

如果在課堂上將日常生活中學生會玩的一些小游戲與知識結合，可以提高學生興趣。并且現在的學生都曾接觸過一些小游戲。例如：連連看。而連連看中“使兩個圖形在同一條直線上即可將他們相消”的思想和錯位相減法中“兩式中有很多相同的項，將兩式相減，消去相同項”的思想有異曲同工之妙，但是在課堂上直接展示連連看游戲對于課堂氣氛影響較差，學生可能將精力過多放在游戲上。綜合以上原因，決定設計一款游戲，游戲中有著連連看的基本玩法，而又不會使課堂氣氛過于高漲，將游戲以故事的形式講出。既可以適度活躍課堂氣氛，提高學生興趣。同時又可以在潛移默化中傳遞給學生“錯位相減法”的基本思想。減少學生初步認識錯位相減法的難度。便于接下來使用錯位相減法推導等比數列求和公式，而此種游戲講解方式，也大大減輕教師講解知識點的難度。

3.游戲過程及過程設計理由

首先我們展示連連看的游戲過程給學生看，可以使用圖片的形式，如圖1所示。

沒有玩過連連看的學生看到圖片得知連連看游戲的過程以及原理。游戲將以故事的形式展現給學生。先用講故事的方式對學生講一遍故事大概。接下來提醒學生使用類比的方法，類比游戲過程，引導學生在不知不覺中使用錯位相減法推導等比數列的求和公式。

綜合游戲內容，將游戲起名為“小王子與惡魔”。

游戲的主人公如圖2所示，從左至右分別是：小王子、小Q、惡魔軍團和魔法師減減。

游戲故事化描述/設計理由/對應公式推導步驟：

（1）在很久以前，有一位小王子，有一天他在家里很無聊，就想著去找他的好朋友小Q，結果在半路，小王子被惡魔軍團擋住了。如圖3所示。

交代游戲背景以及可以使后期推導等比數列前n項和Sn時使小王子與惡魔軍團用Sn表示，其中，小王子所代表的項為a1，惡魔軍團所代表的項為a1q、a1q2、a1q3、…a1qn-1。類似于推導中給出等比數列前n項和Sn。

（2）小Q知道后，想去救小王子，結果也被相同的惡魔軍團綁住了。如圖4所示。

小Q與惡魔軍團即為我們使用錯位相減法所需要創造的新數列qSn，其中小Q為a1qn。類比推導創造新數列qSn。

（3）這時候有位好心的魔法師減減，他對小王子說，我的魔法就像連連看的游戲原理一樣，也和數學中的減法很類似，如果相同的惡魔在同一條豎線上，他們就會由于我的魔法而消失哦。接著，魔法師減減就對我們展示了他的魔法，消滅了惡魔軍團成功解救了小王子和小Q。這樣，小王子和他的朋友就可以在一起愉快的玩耍了。（注：給學生講解時暗示學生使用類比的方法，類比剛剛所講述的游戲過程，更好激發學生思維。）

魔法師減減的臺詞暗示學生在等比數列前n項和的推導中要使用相減的方法，而魔法的內容“惡魔在同一豎線上”這個條件給予學生一個刺激，接下來推導公式的過程中引導學生想到將兩式錯位，再相減，繼而推導出Sn的計算公式，具體對應過程如圖5所示。學生也在不知不覺中使用了錯位相減法。

4.總結

游戲的設計思路也是由推導等比數列前n項和為線索，再告訴學生推導等比數列求和公式所使用方法即為錯位相減法，過程通過類比游戲，使學生興趣增大，并且學生面對他們平時喜歡的游戲居然也可以和學習知識聯系起來這一現實，會使學生感到新奇，加大學生學習的好奇心，使學生更加集中注意力。

參考文獻：

[1]徐明. “等比數列前n項和公式”教學設計及反思[J]. 中學數學月刊， 2009（5）.

[2]謝麗麗， 李建. “等比數列的前n項和”教學研析[J]. 中國數學教育， 2015（z2）：49-52.