構造輔助數列證明不等式

張建新

【內容摘要】數列不等式證明的方法靈活多變，學生往往無從下手，本文主要探究利用構造輔助數列方法證明數列不等式的技巧，解題中我們要根據題情特征，機智巧妙地選擇證法，靈活變通，巧妙構造，達到出奇制勝的效果。

【關鍵詞】構造數列不等式

構造法就是通過類比聯想，適當變形，改造變通等技法，組裝成有利于解決問題的新方法，因此數學中的“構造”既不神秘，也不是難以捉摸，而是目的性和方向性很強，有章可循，有法可依的一種操作性技能技巧。

本文就“構造輔助數列”證明不等式展開探索研究，歸納總結出一般規律，從而消除大家對構造的神秘感、陌生感和畏懼感。

一、神奇類比，巧妙構造

“類比”就是一種“相似”，她是從一種特列到另一種特列的推理。類比不是瞎猜、亂猜，而是以已存儲知識為基礎，以直覺為先導，以思維為核心地類比，巧妙的構造，達到證明問題的目的。

例1.已知數列{an}，{bn}的每一項都是正數，a1=4， b1=8，且an，bn，an+1成等差數列，bn，an+1，bn+1成等比數列 （n∈N*）

（Ⅰ）求a2，b2；

（Ⅱ）求數列{an}，{bn}的通項公式；

（Ⅲ）證明：對一切正整數n，都有1a1-1+1a2-1+…1an-1<23.

分析：

（Ⅰ）a2=12，b2=18；

（Ⅱ）an=2n（n+1），bn=2（n+1）2；

（Ⅲ）1an-1=12n（n+1）-1，由不等式結構可知左邊無法求和，也就不能直接證明不等式，我們只能提取已經存儲的基礎知識，展開類比聯想進行探究。

思路：看到不等式的通項是關于自然數n的一個二次式，我們想到在數列單元課本上有一個數列{1n（n+1）}，其和進行放縮可得不等式Sn=1-1n+1<1，這個數列學生非常熟悉，應用的也比較熟練。因此，引導學生觀察不等式的結構特征是左邊和之小于23，于是類比聯想構造數列{231n（n+1）}，只需證得1an-1=12n（n+1）-1≤231n（n+1）成立，就突破了此題的難點。

證明：要證1an-1=12n（n+1）-1≤231n（n+1）成立，只需證4n（n+1）-2≥3n（n+1），

只需證n2+n-2≥0，只需證（n-1）（n+2）≥0恒成立。

所以1an-1=12n（n+1）-1≤231n（n+1）=23（1n-1n+1）

所以1a1-1+1a2-1+…1an-1≤23（1-12+12-13+…1n-1n+1）=23（1-1n+1）<23

評注： 通過兩個例題的構造法探究，我們得到類比聯想構造離不開扎實的基礎和良好的數學素養。在解決問題時多從自己熟悉的知識入手，大膽嘗試構造，只要結構中出現“二次式”或 “指數式”，就可展開豐富的類比想象，提取熟悉的數列知識，巧奪天工的構造將會收到神奇的效果。

二、適當變形，和諧構造

任何方法都不是萬能的，當類比構造法難以奏效時，應考慮將不等式進行適當變形，然后再構造輔助數列。當然這種變形不是盲目的無的放矢，而是根據題情與需要制定出明確的目標，讓其充分發揮導航的作用。

例2.已知數列{an}的前n項和Sn=（n2+n）·3n

（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）證明：a112+a222+…ann2>3n

分析：

（Ⅰ） an=2n（n+2）·3n-1；（Ⅱ）觀察發現此不等式在n=1，n=2，…時都成立，那么我們可以分別將左右兩邊看為兩個數列的和，只要得到兩個數列通項滿足不等關系，則這兩個數列的和也就滿足這個不等關系。由此可以用上述思路構造兩個輔助數列證明。

證明：設數列{bn}，{cn}的和分別為Bn，Cn，且Bn=a112+a222+…ann2，Cn=3n

∴n=1時，b1=B1=6，c1=C1=3，∴b1>c1；

當n≥2時bn=Bn-Bn-1=ann2=2（n+2）·3n-1n， cn=Cn-Cn-1=2·3n-1

∵n+2n>1，∴bn>cn

綜上所述：（n∈N+），bn>cn，所以Bn>Cn。

即：a112+a222+…ann2>3n

以上用“構造輔助數列”證明不等式的兩類方法，上述各法指向性十分明確。面對不同的題情特征，要機智巧妙地選擇證法，靈活變通，巧妙構造，既達到了知識升華能力提升的要求，也達到了思想境界的升華的目的。

【參考文獻】

[1] 張毅. 神奇的類比 巧妙地構造[J]. 中學數學教學參考月刊， 2011（4）：33-34.

[2]黃元華. 構造輔助函數證明不等式[J]. 中學數學教學參考月刊， 2011（7）：34-35.

[3]陳云烽. 例說數列不等式的證明與探索（續）[J]. 中學數學教學參考月刊， 2011（12）：25-27.

（作者單位：甘肅省張掖市臨澤縣第一中學）