數學建模：讓思維真正發生

凌志花

摘要：數學建模不僅是一個概念，更是一種方法和意識。當數學深入到“建模”時，它才是真正的數學研究的開始。我們將實際問題抽象為數學模型的過程，并應用于實際問題，學生才能夠在模型中理解數學并形成一定的模型思想，讓思維真正發生。

關鍵詞：數學建模；體驗；思維

中圖分類號：G623.5文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）12-049-2

《數學課程標準（2011版）》指出，在數學教學中，應引導學生形成“模型思維”。教師應該有意識地運用建模思維來指導課堂教學，引導學生體驗獨立的“意義建模”過程，了解數學的思想和方法，促進學生數學智慧的形成和積淀。

一、研究的孵化地——建模喚醒思維

建模初期，基于兒童的生活經驗，教師要思考教學內容中隱藏著怎樣的“模”，在兒童的認知水平上思考需要幫助學生建立一個怎樣的“模”，建立多大的程度？怎樣讓學生感受到“數學模型”的力量？

比如，在兒童最喜愛的“一筆畫”游戲背后其實隱藏的是著名的“哥尼斯堡七橋問題”，這一問題經過歐拉的合理抽象，并通過“奇點”“偶點”等概念，形成了“一筆畫”的數學模型，運用這一模型可以順利解決參觀動物園路線，一次性能不重復，不遺漏走完的最佳路線問題。

又如“間隔排列”這一課，在小兔和蘑菇，夾子和手帕等等情景的背后，教師應該解讀出教材的本質，除了讓學生建立一一對應的思想，還應該讓學生理解間隔規律中的數學內涵，“首尾相同，數量相差1，首尾不同，數量相等”。只有基于兒童的認知水平和思維方式才是數學建模的研究的孵化地。

二、成長的加油站——建模點亮思維

點亮建模思維的意識就是要充分挖掘教材中的現實問題，建立數學問題的數學模型，最終解決問題。在學生親身體會、思考、動于操作以及解決問題的過程中以點亮學生的思維。

例如：一年級《5以內的加法》

老師：仔細看圖，說說你看到了什么信息？

生：我看到2個小朋友在澆花。

師：從第二幅圖里又知道了什么呢？

生：又來了1個小朋友。

師：你能把這兩幅畫的意思合起來說一說嗎？

生：有2個小朋友在澆花，又來了1個，一共有3個小朋友

老師：同學們，你能根據這兩幅圖畫的意思提出一個數學問題嗎？

生：本來有2個小朋友在澆花，又來了1個小朋友，一共有幾個？

老師：講得真好。你能用圓片代替這幾個小朋友嗎？

老師（結合情景圖和圓片描述）：2個孩子正在澆花，又來了1個，共有3人。我們先擺2個圓片，再擺1個，一共有3個。你們可以用一道算式來表示。（學生：2+1=3），（在圓片下板書：2+1=3）

生齊讀：2加1等于3。

老師：誰來說一說2在這里表示什么？1和3呢？

……

老師：2+1=3還能表達什么？

生1：1人+2人=3人，

生2：媽媽買了1個桔子，爸爸又買了2個桔子，一共有3個桔子

……

上述教學片段滲透了最簡單的數學建模思想，教師根據低年級學生的數學學習特點——從具體形象情景入手，借助于操作的內化和強化，有意識地在逐漸培養學生的抽象能力、概括能力，延伸和發思維，賦予“2+1=3”更多的“模型”意義。

三、蛻變的快車道——建模引領思維

小學數學建模主要是讓學生體驗建模的過程。通過實際的操作體驗，學生頭腦中就能形成簡單的數學模型，并可以通過模型進行一些簡單的解釋和應用。學生通過觀察、比較、分析、綜合、提煉……提高了邏輯推理、引領著思維進入快車道。

像“釘板上的多邊形”，某特級老師共設計了三次有梯度、有層次的模型猜想與驗證活動。第一次他展示了四個代表圖形——三角形、梯形、五邊形和平行四邊形，并鼓勵學生以自己的方式計算多邊形的面積，并觀察多邊形邊緣上的釘子數。

學生通過觀察找到了“算、數”兩種多邊形面積的計算方式。并且發現多邊形上釘的數量是面積的2倍（多邊形的面積是釘子數量的1/2）。在指導學生準確表達意思后，幫助學生建立第一個數學模型：S=N÷2。

第二次探究是四個具有不同特征的圖形——長方形、五邊形、六邊形和八邊形。學生還是采用“算”和“數”的方式，得到了面積。但是比較四組面積和釘子數的數據時，學生發現：S=N÷2的公式只適用于內部只有一個釘子的圖形。他們猜想多邊形的面積不僅與外面的釘子數（N）有關系，與里面的釘子數（a）也有關系。在此基礎上，老師開始指導學生用數學的方式來總結規律：當a=1時，S=N÷2，當a=2時，S=N÷2+1。

在第三次活動中，學生完全自主學習，通過合作探索活動：觀察圖形、提取數據、完成表格、比較、猜想、驗證和表達。從而得到釘子板上多邊形的面積計算公式。

四、拔節的生命場——建模拓展思維

學生能自覺、主動地運用數學建模思想，并且對數學學習中“模型”的應用有著深刻的體會和理解。才是真正拔節的生命場，建摸拓展了思維，也發展了學生分析能力和創造力。

例如某教師“雞兔同籠問題”教學片斷：

教師要求學生在研究籠子里的雞兔子的問題前說說你對雞和兔的認識？

生：兔是四只腳；雞是兩只腳。

師：假如我們不叫它雞兔同籠，是不是還可以給它取個其它的名字呢？（鴨貓問題、豬鵝問題……）

教師出示一兒歌：（一隊獵人一隊狗，兩隊并成一隊走。數頭一共是十二，數腳一共四十二。）

師：讀了這則民謠，你覺得這還是雞兔同籠問題嗎？

生：我覺得是的，因為這里的獵人有兩只腳，可以看成是雞，狗有四只腳就和兔子一樣。

這里學生已經能運用雞兔同籠問題的模型進行類推，還可以取代成年人和狗等等，進而探索解決雞兔同籠問題的方法，建立模型……

然后老師拿出7張，5元2元，總計29元。你能猜出信封里的幾張2元和幾張5元的嗎？學生在交流中一下子逼近了問題的本質，發現可用雞兔同籠問題的數學模型解決了問題。

總之，用“建模”來指導數學教學，有助于學生更準確、更清晰地理解和解決實際問題。更重要的是，學生在有效地體驗“知識建構”的過程中發展了思維。