把握數學本質的高三復習課堂

周先華　原坤

新課標提出：要把握數學本質，啟發思考，改進教學.下面以多面體的外接球相關計算問題為例說明把握球的本質來解題的過程并歸納、總結其解題的一般規律.

一、柱體的外接球問題

【例1】 （2017年全國II卷）長方體的長、寬和高分別為[3，2，1]，其頂點都在球[O]的球面上，則球O的表面積為 .

解析：定義法.長方體的對角線的交點[O] 為其外接球的球心.令其半徑為[R]，所以[2R=32+22+12=14，S=4πR2=14π].

[點評]

（1）長方體的對角線交點就是其外接球球心.長、寬、高分別為[a、b、c]的長方體的外接球的半徑為[R=a2+b2+c22].

（2）同理，棱長為[a]的正方體的外接球半徑為[R=32a].

（3）長方體的上、下底面中心連線交點即為其外接球球心.

（4）一切直棱柱的外接球球心為上、下底面外接圓圓心連線之交點.

（5）若圓柱的上、下底面圓在同一個球面上，則此球的球心為其上、下底面圓心邊線之交點.

二、圓錐與特殊的棱錐的外接球

【例2】 求棱長為[a]的正四面體的外接球的半徑.

【解法一】定義法（利用球體的定義找球心）

如圖1，設E為底面[△ADC]的中心，則外接球球心[O]必在直線BE上，令外接球半徑為[R]，在[RT△ODE]中，[R2=（63a-R）2+（33a）2]，得[R=64a].

【解法二】構造法（或補形法）

如圖2，在正方體中取其四個頂點，此正四面體的外接球即為正方體的外接球.其外接球半徑為[R=32×22a=64a].

[點評]

（1）解法一是利用球的定義尋找其球心，是抓住了數學本質的方法.

（2）利用球的定義，類比上述方法可求圓錐的外接球（即其底面圓和頂點均在同一個球面上）的半徑.

如圖3，圓錐PS的高為[h]，底面半徑為[r].令其外接球半徑為[R]，則[R2=r2+（h-R）2]，得[R=r2+h22h].

（3）其他一切棱錐的外接球問題均可以用解法一.

（4）解法二是一種技巧性方法，把正四面體放入正方體中，則正四面體與正方體的外接球重合，化難為易.

（5）可以構造成長方體的常見模型有：

①從一個頂點出發的三條側棱兩兩垂直的三棱錐構造如圖4所示長方體.如圖4.[PA，PB，PC]兩兩互相垂直，則三棱錐的外接球與長方體的外接球重合.

②三組對棱對應相等的三棱錐.如圖5左圖，PA=BC，PB=AC，PC=AB.將它放入右圖長方體中，則此三棱錐的外接球與長方體的外接球重合.

③四個面都是直角三角形，但沒有從一個頂點出發的三條棱兩兩垂直的三棱錐.如圖6左圖，[PB⊥]面[ABC]，[AC⊥BC].將其放在右圖的長方體中，其外接球與長方體的外接球重合.

三、特殊多面體的外接球

【例3】 在四面體中[S-ABC]，[AB⊥BC，AB=BC=2，SA=SC=2]，二面角[S-AC-B]的余弦值是[-33]，則該四面體外接球的表面積是 .

解析：定義法.

如圖7，取AC中點D，連接BD，SD，則[∠SDB]為二面角S-AC-B的平面角，取SB的中點[O]，則點[O]即為此四面體的外接球的球心，則半徑為[R=12SB=62]，所以其表面積為[S=4πR2=6π].

[點評]本題利用定義尋找到其外接球的球心，抓住了其概念的本質.

四、一般多面體的外接球

【例4】 已知三棱錐[P-ABC]中，側面[PAC⊥]底面[ABC]，[∠BAC=90°， AB=AC=4， PA=10， PC=2]，則三棱錐[P-ABC]外接球的表面積為 .

解析：

【解法一】定義法（把與底面垂直之側棱BA豎直放置）

如圖8，令平面PAC的外心為G，作直線[OG⊥平面PAC]， 取線段AB的中點D，取[GO=AD]，則點O為三棱錐的外接球的球心.令外接球的半徑為[R]，可求得[R2=9]，其表面積為[S=36π].

【解法二】定義法（圖形任意放置）

如圖9，取BC中點G，過點G作[OG⊥平面ABC]，設三角形PAC之外心為D，取AC的中點H，連接DH，取[OG=DH]，則點O為三棱錐P-ABC的外接球的球心.下同解法一求解.

[點評]

（1）這兩種方法均為直接利用定義先找外接球的球心，體現了對球的概念本質把握.

（2）兩種解法中均利用了結論：過三角形的外心且與該三角形所在平面垂直的直線上任意一點到三角形的三個頂點等距.

（3）利用上述結論，可以按下面的步驟確定三棱錐的外接球的球心，如圖10，E、F分別為[△PAC，△ABC]的外心，取AC中點M，連接EM，FM.作[OF⊥平面ABC]，[EO⊥ME]，交直線FO于點O，則點O為三棱錐的外接球的球心.

（4）針對有一條側棱垂直于底面的三棱錐，可以利用方法一的解題步驟確定其外接球的球心并求其半徑.

如圖11，若三棱錐P-ABC 中，[PA⊥平面ABC].

第一步，過底面三角形ABC的外接圓圓心G作直線[OG⊥平面ABC]；

第二步，取PA的中點D，取[OG=DA]，則點O為三棱錐的外接球球心；

第三步，在[RT△OAG]中求外接球半徑[R=OA=GA2+OG2].

縱觀近年高考試題中的外接球問題，無一不是以上4個例題中所體現的四種類型，下面略舉幾例.

1.（2017年新課標3文理）如圖12，已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（ ）.

A.[π] B.[3π4] C.[π2] D.[π4]

解析：[r2=1-14=34]，則其體積為[V=πr2h=3π4].故選B.

[點評]與例1同類型.圓柱的外接球球心為上下底面圓的圓心連線之中點.

2.（2017年全國新課標I）已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為________.

解析：由于SC是三棱錐S-ABC的外接球O的直徑， 設SC之中點為點E，則點E即為球心[O].設[OA=r]，則[VA-SBC=13×S△SBC×OA=13×12×2r×r×r=13r3]，[13r3=9?r=3]，所以球的表面積為[4πr2=36π].

[點評]與例3同類型.直接利用定義法找球心.

3.（2014年大綱版理科）正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為（ ）.

A.[81π4] B.[16π] C.[9π] D.[27π4]

解析：

如圖13，由正四棱錐的對稱性，其外接球球心必在高PG上，令球心為O，球半徑為[R]，則有[R2=（4-R）2+2，R=94，]則其表面積為[S=4πR2=81π4].選A.

[點評]與例2同類型.正四棱錐的外接球球心必在其高上.利用勾股定理列方程求其半徑.

4.（2017年成都市高中畢業班第三次診斷性檢測題）如圖14，某三棱錐的正視圖、側視圖和俯視圖分別是直角三角形、等腰三角形和等邊三角形.若該三棱錐的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為（ ）.

A. [27π] B. [48π] C. [64π] D. [81π]

解析：定義法.如圖15，此三棱錐側棱PA與底面垂直，底面是邊長為6的正三角形.與類型4同法，可得外接球半徑為[R=OA=4]，表面積為[S=4πR2=64π].選C.

[點評]與例4同類型.由球的定義找球心后再計算其半徑.

只有追求數學本質的高三復習課堂才會是真正的高效課堂.我們要和學生一起，更加深入地學習和研究數學知識的內在聯系、數學規律的形成過程、數學思想方法的提煉和數學理性精神的體驗.這樣才能在高三復習課堂中高屋建瓴，確保對學生的指導方法恰當，條理清晰，課堂效益達到最大化.

（責任編輯 黃桂堅）