關于利率類債券的久期和凸性的研究

鐘惠平

摘 要 通過對債券和債券組合所面臨的利率風險的提出，引出債券利率敏感性的兩個度量工具，即修正久期和凸性。在對麥考利久期、修正久期、凸性進行概念介紹時，同時也介紹了修正久期和凸性的適用情況，并運用實例分析進行說明。

關鍵詞 利率類債券；麥考利久期；修正久期；凸性

當投資者投資利率類債券時，總是希望獲得收益，而唯恐價格發生不利變動導致自己的資產價值受損。市場上的基準利率是債券價格的晴雨表，而基準利率是不穩定的，使得投資者的資產價值經常發生變動，這就是投資者面臨的利率風險。投資者需要了解到自己面臨的利率風險的大小，即債券價格相對于利率變化的敏感性。通俗來說，就是當基準利率變化發生變化時，對應債券價格的變化幅度。債券價格的變動程度越大，債券的敏感性越大，變動程度越小，則債券的敏感性越小。比如，同樣作為利率類債券，當利率上升（下降）0.01%，A債券的價格下降（上升）了0.5%，而B債券上升（下降）了0.4%，我們會說，A債券的利率敏感性大于B債券的，即A債券的利率風險更大。

我們通常利用修正久期和凸性去表示債券的利率敏感性。當利率水平變化幅度很小時，修正久期可以囊括利率的變化所帶來的債券價格的變化。但由于債券的價格收益率曲線并非為一條直線，而是凸型的，這就決定了當利率水平發生較大幅度的變動時，僅僅依靠修正久期，沒有辦法完全反映債券價格相對于利率變化的敏感性。這時，我們需要引進一個新的概念，就是凸性，運用修正久期和凸性去衡量債券價格相對于利率的敏感性，使得債券的預測價格和實際理論價格的誤差變得很小。以下理論的假設前提是利率期限結構是水平的。

一、久期

首先我們引入了久期的概念，久期是最早由美國經濟學家麥考利于1938年提出，被稱為麥考利久期。最初是將麥考利久期作為衡量投資者進行債券投資的回收期限，后來逐漸才將它作為衡量債券價格的利率敏感性的一個指標。麥考利久期的計算是將債券現金流現值于債券現金流總現值的比值作為權重，對回收各期現金流的期限進行加權平均得出來的，并且用字母D表示。按照定義，麥考利久期的計算公式為

二、修正久期

久期被描述為債券投資回收的平均年限，其單位為年，當其用來表示利率敏感性時，其實并不是十分準確的，這里我們引進修正久期。

修正久期的推導如下：債券價格

將債券價格對利率進行求導

兩邊除以P得到

得 得

這里的 即為修正久期，修正久期直接衡量債券價格的利率敏感性，式中表示的意義是債券價格的變動率是修正久期與利率變動量的乘積。負號表示債券價格變動與利率變動成反比關系。此時，債券價格的變化率是利率變化量的線性函數。但這個公式成立的前提條件是利率的變化量非常小，以至于我們可以忽略凸性，使得債券的預測價格和理論價格的誤差非常小。

三、凸性

在債券或者債券組合中，其久期本身也會隨著利率的變化而變化，當利率變化很小時，久期的變化也十分小，此時我們可以直接利用久期計算債券的利率敏感性，這樣計算出來的債券價格的變化量的誤差非常小。但是當利率變化程度較大時，久期不能完全描述債券價格對利率變動的敏感性，于是在1984年Stanley Diller引進了凸性的概念，表示久期對于利率變動的敏感性。久期描述了價格收益率曲線的斜率，而凸性描述了價格收益率曲線的彎曲程度，彎曲程度越大，凸性越大。

將債券價格的變動 對市場利率（i）進行泰勒展開

方程的兩邊同時除以債券的價格P，得到債券價格變動率 對利率i的泰勒展開式

上式中的一階項和二階項為債券價格對利率變動的一節敏感性和二階敏感性，二階敏感性對應的就是我們談到的凸性，即 。

將上式中的一階項和二階項保留下來，將其余部分剔除，即得到 。

四、修正久期和凸性的計算和應用

假設債券面值為100，票面利率為5%，利率期限結構為水平，到期收益率為5%，一年付息一次的五年期付息債券

（一）利率變動幅度小， 0.01%。

1.只利用修正久期去衡量債券價格變動。修正久期為4.329476671，當利率增加一個基點時，預測債券價格為99.95670523，理論價格為99.9567172，誤差率為-0.00001197%。

2.利用修正久期和凸性預測債券價格。修正久期為4.329476671，凸性為23.9359875，當利率增加一個基點時，預測債券價格為99.9567172，理論價格為99.9567172，誤差率為-0.0000000026%。

（二）利率變動幅度較大， 0.1%

1.只利用修正久期去衡量債券價格變動。修正久期為4.329476671，當利率增加十個基點時，預測債券價格為99.56705233，理論價格為99.56824652，誤差率為-0.0011993671%。

2.利用修正久期、凸性去衡量債券價格變動。。修正久期為4.329476671，凸性為23.9567875，當利率增加十個基點時，預測債券價格為99.56824913，理論價格為99.56824652，誤差率為-0.0000026219%。

從以上利用久期和凸性衡量債券價格變化的實例中可得知，當變動幅度為0.01%（利率變動幅度很小）時，只利用修正久期計算債券價格的變動所產生的誤差率為-0.00001197%；利用修正久期和凸性計算債券價格的變動所產生的誤差率為預測債券價格誤差率為-0.0000000026%。利用久期和凸性兩者共同所預測的債券價格更加精確，但是利用修正久期或者利用修正久期和凸性共同預測的誤差都不大。

當變動幅度為0.1%（利率變動幅度較大）時，只利用修正久期計算債券價格的變動所產生的誤差率為-0.0011993671%；利用修正久期和凸性計算債券價格的變動所產生的誤差率為預測債券價格誤差率為-0.0000026219%。只利用修正久期去預測債券價格的誤差將會放大很多倍，誤差率達到-0.0011993671%，而利用久期和凸性兩者共同所預測的債券價格則精確得多，誤差率只有-0.0000026219%。

說明，當利率變動幅度很小時，利用修正久期已經可以囊括債券價格的絕大多數波動，此時計算出來的結果是準確的。而當利率變動幅度很大時，只利用修正久期去預測債券價格將會產生很大的誤差，此時，務必需要使用修正久期和凸性共同預測。