高考數學中的“交匯問題”探討

謝建明

摘要：文章分析了近年來全國各地的高考現狀，從向量與解析幾何交匯、向量與數列交匯、概率與數列交匯等方面，對高考數學中“交匯問題”進行探究，希望能夠為今后相關問題的研究提供一定的參考依據。

關鍵詞：高考；數學；“交匯問題”；分析引言

數學是高考中極其重要的一門課程，對學生高考成績有著十分重要的影響。在近年來來的高考數學中，越來越多的出現“交匯問題”問題，如包括導數、數列、向量、解析幾何、算法等都可以涉及到“交匯問題”。這一問題不僅注重數學知識的內在聯系，還注重知識的綜合.它主要考查學生靈活運用知識的能力以及知識的遷移能力。因此，在平常的學習和復習階段，應該加強對“交匯問題”的分析，從而為提高高中數學教學的效率提供借鑒。

1 向量與解析幾何交匯

解析幾何在高考中占據了很高的比例，是歷年高考必考題型之一。在進行教學和復習的過程中，要強化對向量與解析幾何交匯的訓練。

已知，x，y∈R，i，j為直角坐標平面內，x，y軸正上方向上的單位向量，若向量a=xi+（y+2）j，b=xi+（y-2）j，且|a|+|b|= 8.（1）求點M（x，y）的軌跡C方程；（2）過點（0，3）作直線1與曲線C交于點A，B，設向量OP+向量OB，是否存在這樣的直線1，使得四邊形OAPB是矩形？如果存在，請求出直線1的方程；如果不存在，請說明原因。

解析：（1）根據題意，可以快速地解初軌跡C的方程為x2/12+y2/16=1。（2）因為直線1過點（0，3），若直線1的斜率不存在，則A、B為橢圓的頂點，此時向量OP=OA+OB=0 ，所以0、P重合，與OAPB是矩形矛盾；所以直線1的斜率存在，設直線1的方程為y=kx+3，代人x2/12+y2/16=1得：（4+3k2）x2+18kx-21=0，則有△>0；又由韋達定理可以得到x1+x2和x1X2的值，又因為向量OP=向量OA+向量OB，所以四邊形OAPB是平行四邊形。若果存在直線使得四邊形OAPB是矩形，則有向量OA垂直向量OB，即有向量OA和向量OB=x1x2+y1y2=0，從而得到（1+k2）x1x20+3k（x1+x2）+9=0，將韋達定理得到的公式帶入其中，獲得k的值，經檢驗滿足Δ>0，所以存在直線1使得四邊形OAPB為矩形。

2 向量與數列交匯

數列是歷年高考中的必考題，考察的形式豐富多樣，經常與向量結合呈現在考生面前。大量的高考實踐證明[2]，考生在考前的學習和復習階段，缺少對向量與數列交匯的重視，將很容易導致容易分的丟失。

已知一列非零向量an滿足a1=（x1，y1），an=（xn，yn）1/2（xn-1-yn-1，xn-1+yn-1）（n≥2）。（1）證明：{|an|}是等比數列；（2）設Qn=（an-1，an），bn=2nQ-1，Sn=b1+b2+……+bn，求Sn。

解析：（1）|an|=1/2√（xn-1-yn-1）2+（xn-1+yn-1）2=√2/2√xn-12+yn-12=√2/2|an-1|（n>2），得到|an|與|an-1|的比為√2/2，且|a1|≠0，說明|an|是等比數列。（2）|an|·|an-1|=（xn-1，yn-1）·1/2（xn-1-yn-1，xn-1+yn-1）=1/2 |an-1|2，所以cos1 an，an-1）=√2/2，因此Qn=π/4，bn-2n·π/4-1=n/2π-1，即Sn=π/2=（1+2+3+……+n）- n=π/4（n2+n）-n。

3 概率與數列交匯

概率在歷年高考中也比較常見，經常會出現在應用題中，選擇題和填空題也有所出現。概率與數列交匯問題，既要掌握概率知識，又要理解數列知識，只有將概率和數列全方位掌握，才能夠更好地解決概率與數列交匯問題。

某種電子玩具按下按鍵后，會出現紅球和綠球.已知按鍵第一次按下后，出現紅球和綠球的概率都是1/2.從按鍵第二次按下起，若前次出現紅球，則下一次出現紅球、綠球的概率分別是1/'3，2/3；若前次出現綠球，則下一次出現紅球、綠球的概率分別是3/5，2/5，記錄第n（n∈N1）次按下按鍵后出現紅球的概率為Pn。（1）求出P1的值；（2）證明數列{P1-9/19}是等比數列。

解析：（1）若按鍵第一次，第二次按下后均出現紅球，則其概率為1/2x1/3=1/6；若按鍵第一次，第二次按下后依次出現綠球、紅球，則其概率為1/2x3/5=3/10.故所求的概率為1/6x3/10=7/15。（2）如果≥2，Pn-9/19與Pn-1-9/19最終計算得到-4/15，因此數列P1-9/19是等比數列，其通項為Pn=1/38（-4/15）n-1+9/19。

4 結語

高考數學中，“交匯問題”比較常見，在歷年的高考中均有所涉及，是高考中的重點內容?？忌绻胍莆蘸谩敖粎R問題”，必須要通過平常的大量練習，只有達到一定的熟練程度時，習題做起來才能夠得心應手。

參考文獻

[1]趙春祥.函數、導數與不等式的交匯問題例析[J].中學課程輔導：高考版，2014，10（9）：37-39.

[2]王德昌.高考數學試題中的交匯型問題[J].數理化學習（高中版），2014，24（z1）：29-33.