三參數Weibull分布有限混合模型及應用

劉福香

（哈爾濱商業大學 經濟學院，哈爾濱 150028）

0 引言

有限混合模型（Finite mixture models,FMM）是利用有限個已知分布的混合去擬合數據分布的參數方法。主要用于表現數據的分布及變異程度，特別擅長擬合數據是多峰、有偏和結尾等數據類型。FMM也可以用于頻數數據或分組數據的分布結構探索，即也可以用于分類研究，并估計每一類別的比例。本文通過介紹FMM的原理及實際應用，并與現在通用的研究方法比較，為研究者提供借鑒。

1 有限混合分布模型介紹

有限混合模型（FMM）又稱為有限混合分布模型，它是有限個已知分布的混合。現在主要應用于經濟、漁業、生物、醫藥等領域[1-3]。FMM可以估計每個已知分布函數的參數，還能估計出每個組成部分的比例[4]。FMM模型可以擬合不同分布函數的混合，例如Γ分布、正態分布、β分布、logistic分布、正態分布、Weibull分布[5]。參數估計方法有矩估計[6]、極大似然估計、Bayes估計[7]等。

1.1FMM模型原理

假設有k個分布函數混合（j=1,2,…,k），x是目標隨機變量，例如本文中的樹的胸徑。fj（x）是對應第j個組成分布的概率密度函數，f（x,p）就是對應的有限混合模型，有限混合函數表示為:

其中 p=（p1，p2，…，pk-1）是 k-1 個組成部分的比例向量。每個獨立成分必須滿足下面的限制條件：0＜pj＜1和其中，f（x,p）可以是同一分布函數，也可以是不同分布函數的混合。

在本文中，以3個參數的Weibull函數的混合為例，fj（x）:

其中aj，bj和cj分別是對應第j個組成成分的位置參數、尺度參數和形狀參數。

第j個組成成分的累計概率密度函數為：

因此，有限混合對應的累計概率密度函數為：

1.2FMM模型參數的估計

在本文中，模型的參數估計采用極大似然估計，因為極大似然估計具有均方誤差較小及相合性等比較好的統計特性。

FMM對應的似然密度函數為：

對似然函數取對數，如下：

然后對式（6）的對數似然函數求偏導，找到使得函數取得最大值的對應參數值，即偏導數為0，最后可以利用迭代法求出參數的值。

FMM模型是基于數據分類的比較有效的方法，但是對于數據中具體分成多少個成分，目前是研究界的問題之一，本文也涉及這一問題的討論。本文在以天然的混交林中已知樹種組成的前提下，利用FMM模型擬合實際林分的直徑分布，與普通的方法比較。探討FMM模型應用優勢及劣勢。

2 數據來源及模型應用

本文以兩個三參數的參數Weibull分布函數進行混合，來擬合天然混交林分中各個樹種的徑階分布,分別與全林分用一個Weibull分布函數的擬合，與每個樹種分別用一個Weibull分布函數的擬合，并于FMM模型相比較。利用統計軟件SAS9.3中的FMM Procedure過程進行數據整理和處理。

2.1 數據來源及整理

本文數據用的是大興安嶺地區，位于西林吉林業局、圖強林業局和阿木爾林業局的天然混交林的四塊樣地的直徑分布數據，分別記為1號樣地、2號樣地、3號樣地和4號樣地。其中1號樣地是落葉松-白樺兩個樹種的混交林，3號樣地和4號樣地是落葉松-白樺-蒙古櫟3個樹種的混交林。分別對這四塊樣地進行徑階整理分組，以2為徑階矩，再對每個徑階的株數進行匯總，并對樹種進行分類。表1是對數據的描述性匯總。4直徑分布柱態圖如圖1所示。

表1 描述性統計

圖1 4直徑分布柱狀圖

2.2 模型應用

對應的分布函數如下：

其中i表示第i徑階，其中共s個徑階，xi是第i個徑階對應的中值。p1對應第一個樹種的比例，即p1=N1/N，也就是這一樹種占整個樹種的比例，N1，N2林分中兩樹種對應的株樹，p2同上。

因此，式（7）可以被改寫為：

擬合林分直徑采用以下三種方法并進行比較：

方法1：FMM模型方法，即三參數Weibull分布的混合；

方法2：用一個三參數Weibull分布函數模擬整個樣地的直徑分布形態，不分樹種。

方法3：分樹種進行分別擬合，然后再加總，得到整個樣地的擬合情況。

最后比較三種方法擬合優劣。

2.3 模型評價指標

模型評價指標包括AIC信息準則 （AIC）、偏差（Bias）、均方 根 誤差 （RMSE）和似然 比 χ2檢 驗 （likelihood-ratio χ2test），如下：

其中logL是對應模型的對數似然函數，m是有效的參數數量，AIC越小越好。

其中s是徑級的數，Di是第i個徑級的直徑的和，?是模型估計的第i個徑級的直徑的和。第i個徑級的直徑的和其中Ni是第i個徑級的株數，di是第i個徑級中值。

其中Oi是第i個徑級觀察株數是第i個徑級有模型預測的株數。 χ2檢驗的自由度是（N-m-1），m被估計參數的數量。

本文中，模型的殘差是：

這個殘差的優勢是可以給較大徑階的樹木有較大的權重，因為在實際的林業經營中較大徑階的樹木有較大的經濟效益。給它賦予較大的權重，有利于林業經營管理。

3 模擬結果及討論

對整塊樣地的擬合看出方法1（FMM）明顯優于方法2和方法3，方法1的平均偏差、均方根誤差和似然比卡方值都明顯優于方法2和方法3（見表2）。而且方法1考慮了每個樹種的組成比例。樣地1和樣地2直徑分布屬于反J型分布，樣地3和樣地4屬于雙峰分布，方法1都體現了很好的擬合效果，方法2對于擬合樣地1和樣地2也體現了較好的形式，只有方法3效果不佳，說明不考慮樹種分別擬合是不符合實際的。在預測方面方法2和方法3都高估了實際株樹。特別是在18cm徑級和26cm徑階有小幅的波動，方法2和方法3都沒有表現出來。對于三個樹種的混合（樣地3和樣地4），模型1（FMM）也表現了比較好的擬合效果。

對于樹種比例的預測，只有方法1（FMM）和方法3能對比例進行預測，方法2是對整塊樣地直徑分布進行擬合，所以表3比較了方法1（FMM）和方法3對樹種比例的預測結果。樣地1和樣地2，方法1（FMM）也優于方法3，樣地3和樣地4，方法1（FMM）與方法3各有優劣（見表3）。由于樣地3和樣地4是三個樹種的混合，其中蒙古櫟在林分中的比例較少，也影響了比例的估計，如果對于樣本數量增加會提高估計的效果。3種方法對4塊樣的擬合結果見圖2，其株數預測殘差圖見圖3。

表2 三種方法的Bias、RMSE和χ2檢驗結果

表3 方法1和方法3對樹種比例的估計

圖3 3種方法對4塊樣地的株數預測殘差圖

4 結論

本文研究了三參數Weibull分布函數的FMM模型的應用，擬合了混交林直徑的分布，擬合結果表明三參數Weibull分布函數的FMM模型能夠靈活地表現數據的特征，并能對每個組成部分的比例進行估計，并與傳統的方法進行比較，得到了理想的結果。核密度估計方法也可以用于描述數據的分布形態，但是它對未知分布的描述也不是最準確的，相比FMM模型有一定的優勢，在以后的研究中可以進行比較。FMM模型也可以用于聚類分析，并且能夠估計每一類的比例，且考慮數據中未被考慮到的異質性。