自回歸模型參數和的置信區間估計

彭毳鑫,殷珍妮,趙志文

（吉林師范大學a.大學外語部；b.數學學院，吉林 四平 136000）

0 引言

考慮自回歸模型：

其 中 Yr（t-1）= （Yt-1， Yt-2，…，Yt-p）τ, α（r）=（α1，…，αr）τ為未知參數向量,{εt}為獨立同分布的隨機變量序列,滿足E（εt）=0，E）=σ2。

自回歸模型是一個重要的時間序列模型,在實際中被廣泛應用于各種時間序列觀測數據的建模分析[1-3]。對于自回歸模型的統計推斷,陳敏與吳國富在延遲參數、門限以及模型階數給定的情況下，討論了門限自回歸模型殘差方差以及模型參數的最小二乘估計的強收斂速度[4]；林正華和馮仁忠利用約束規劃及計算數學理論,討論了自回歸模型參數的精確估計方法[5];王黎明分別討論了模型白噪聲序列的方差已知和未知情形下一階自回歸模型參數的AbruptChange-Point和GradualChange-Point的檢測問題[6];金陽和安鴻志討論了非線性自回歸模型的平穩解邊際尾概率與擾動項尾概率之間的關系，在模型滿足平穩遍歷性的條件下,證明了一維平穩解邊際分布的重尾概率指標與擾動項指標相同[7];趙志文和王德輝研究了廣義隨機系數自回歸模型中參數的估計問題,獲得了一個估計類中的最小漸近方差估計[8]。Chambers研究了平穩自回歸模型的Jackknife估計問題,證明了當誤差非正態時Jackknife估計優于普通的最小二乘估計[9]。Chambers和Kyriacou研究了單位根自回歸模型的Jackknife估計，證明了Jackknife估計沒有充分地估計一階偏差[10];Chen和Yu則進一步討論了單位根模型的最優Jackknife估計問題[11]。

本文在上述研究基礎上，進一步討論模型參數的估計問題。給出了模型參數和的估計,證明了該估計量的極限分布為正態分布，同時對極限分布的漸近方差進行估計。也給出了模型參數和的置信區間估計，該結果可以用于檢驗觀測數據為白噪聲序列還是自回歸序列。

1 方法和主要結果

給出模型（1）中未知參數和的估計方法。

參數 β 的估計。基于觀測數據 （Y1-γ， Y2-γ，…，Yn）,利用最小二乘法，考慮最小化關于α（r）的函數：

對Q關于α（γ）求導，建立關于α（γ）的估計方程：

進而可以獲得α（r）的估計：

由α（r）的估計進一步可以獲得β的估計：

定理1：若假設條件A1和A2成立，則：

考慮定理1中漸近方差V的估計。為了估計V，首先考慮未知參數α（r）的估計。本文仍采用α（r）的最小二乘估計?（r）作為 α（r）的估計。在此基礎上，進一步考慮 V的估計?。令：

定理2：若假定條件A1-A2成立，則：

定理3：若假定條件A1-A2成立，則：

定理4：若假定條件A1-A2成立，則：

基于定理4,可以構造未知參數β的置信區間。對于給定的置信水平0＜δ＜1，令ξδ滿足

dx=δ，可知：進而可知未知參數β的置信區間為：

2 模擬

對于模型（1），在不同的模型階數、模型參數、樣本量以及置信水平下計算模型參數和的置信區間的覆蓋率。對于模型階數r，分別模擬了r=1、r=2、r=3以及r=4四種情形，對于每一種情形，本文選取不同的模型參數真值。樣本量n分別取為50、100與300，置信水平取為0.90以及0.95。模擬結果由表1給出。

由表1中的模擬結果可以看出，無論置信水平取為0.90還是0.95，隨著樣本量的增加，本文所構造的置信區間的覆蓋率更接近真實的置信水平。并且對于不同的模型階數和模型參數以及不同的樣本量，本文所構造出來的置信區間同樣具有較好的覆蓋率，這說明本文的方法具有一定的穩健性。

3 定理的證明

3.1 定理1的證明:

注意到：

表1 置信區間的覆蓋率

由條件A1和遍歷性定理知：

接下來證明：

令：

顯然式（8）成立，下面證明式（5）。對于?ε＞0，

對于式（6），由遍歷性定理可知：

最后證明式（7）。注意到:

由此證明了定理1。

3.2 定理2的證明

注意到：

由遍歷性定理易知：

下面考慮Hn2。注意到：

由遍歷性定理易知：

此外，注意到：

由此可知：

進而有：

由遍歷性定理知以及式（10）易知：

同理可證：

綜合式（10）、式（12）以及式（13）可知定理2成立。

4 總結

本文給出了自回歸模型參數和的估計方法，同時討論了估計量的極限性質，證明了該估計量具有相合性，并且其極限分布為正態分布。基于該估計，可以構造自回歸模型參數和的漸近置信區間，給出參數和的區間估計。本文也對上述的理論研究結果給出了數值模擬分析，模擬結果表明本文所提出的的方法在實際中具有可行性。此外，該方法也可以用于檢驗模型的參數是否為0，進而對模型定階，這在實際的建模分析中具有重要的統計意義。