淺談如何證明平面幾何題

劉敏紅

平面幾何是以平面圖形為研究對(duì)象，以推理、論證為主體的學(xué)科。初學(xué)幾何，同學(xué)們對(duì)建立概念、分析問題、探求思路等都感到困難。下面談?wù)勛C明平面幾何題的一般思路。

一、審題

審題就是弄清楚題目的意思，即把已知條件、求證結(jié)果、圖形三者表達(dá)清楚，理解明白，在頭腦中有個(gè)整體的認(rèn)識(shí)。可采取如下的方法：

（一）列表法。就是把已知條件、求證結(jié)果、圖形三者用表格表達(dá)出來，例如：求證全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線相等。

（二）圖形表達(dá)法。把已知條件、求證結(jié)果在圖形中表達(dá)出來。

例如：求證等腰三角形兩腰上的中線相等，已知：如圖，AB=AC，BD、CE分別是AC、AB的中線，求證：BD=CE。

這種方法的特點(diǎn)是能充分利用圖形，圍繞圖形找出解題方法。

（三）卡片法。把已知條件，求證結(jié)果用卡片錄出來。例如：

這種方法把已知條件逐一展開，這樣能充分利用每一個(gè)已知條件的作用。

二、探求解題思路

探求解題思路是證明題的關(guān)鍵，也是同學(xué)們最敕手的問題，可采用以下方法：

（一）綜合圖法

把找出來的已知條件、求證結(jié)果列出來，再根據(jù)已知條件所能提供的信息，利用圖形在求證之間架起橋梁。例如：已知矩形ABCD中，E、F分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，求證EB=DF。

分析：

（二）分析圖法。與綜合圖法相反，如上例：

（三）嘗試求解法。

對(duì)于從已知條件不能直接推導(dǎo)得到的求證結(jié)果，還需要作輔助線，同學(xué)們應(yīng)大膽地進(jìn)行嘗試添加輔助線

例如：已知在△ABC中，∠C=2∠B，求證：AB2-BC2=BC·AC

分析：

（1）由AB2-AC2=BC·AC，得AB2=AC（AC+BC）。根據(jù)右邊（BC+AC）作為一個(gè)因式，猜想可否把AC、BC線段合并起來變?yōu)橐粭l線段，因此可延長(zhǎng)AC到D，使CD=BC，從而有AD=AC+BC，再連結(jié)BD。

證明：延長(zhǎng)AC至D，使CD=BC，并連結(jié)BD

∵BC=CD，∴∠D=∠CBD，

又∵∠ACB=2∠ABC

∠ACD=∠D+∠CBD，

∴∠CBD=∠ABC

即BC為∠ABD的角平分線，

∴AB2=AC·AD，即AB2=AC（AC+BC）

∴AB2-AC2=AC·BC

（2）由2∠B=∠C，可猜想是否作∠C的平分線來求解，故可作∠C的角平分線CD。

證明：作DC平分∠ACB，D在AB上，

∵∠C=2∠B，∴∠B=∠DCB=∠ACD，

在△ABC與△ACD中，

∵.∠A=∠A，∠ACD=∠ABC，

∴ABC∽ACD

∴AB/AC=AC/AD=BC/DC

有AC2=AB·AD，AC·BC=AB·BC

AC2=AB（AB-BD），即AB2-AC2=AC·BC

以上嘗試是根據(jù)題設(shè)出發(fā)和求證出發(fā)的，但是嘗試的方法是多種多樣的，要具體問題具體分析。同學(xué)們要大膽進(jìn)行嘗試，不斷提高解題能力。

（四）探求一題多解

在證明題中，要充分挖掘習(xí)題的潛在動(dòng)力，恰當(dāng)?shù)夭捎靡活}多解的方法進(jìn)行思路分析，探討解題規(guī)律和習(xí)慣。例題的多角度追蹤是有利于培養(yǎng)同學(xué)們思維的靈活性和靈活運(yùn)用知識(shí)的能力。例如這樣一道題：已知在△ABC（AB>AC）的邊AB上取一點(diǎn)D，在邊AC上取一點(diǎn)E，使AE=AD，直線DE和BC的延長(zhǎng)線交于P，求證：BP：CP=BC：CE。

這道題可根據(jù)輔助線的不同作法有不同的解法。

根據(jù)以上三種作圖方法便有三種證法（證明從略）。

還有一些證明題，它是同學(xué)們接觸到的習(xí)題里推廣或變型所得到的，同學(xué)們只要細(xì)心回顧、對(duì)比，把之與熟題聯(lián)系起來，就很容易找到解題方法。

三、表達(dá)

經(jīng)過一番努力，弄通了題目的結(jié)論與題設(shè)的通道，對(duì)題目有個(gè)全面的掌握后，書寫表達(dá)證明過程也極為重要。它不僅再現(xiàn)證明過程，而且還能提高同學(xué)們的推理思維能力。因此，同學(xué)們?cè)谶@一關(guān)也不能放松。書寫前，要求同學(xué)們根據(jù)思路重新回顧一遍，看每一步推理是否正確無誤，引用公理、定理、定義、概念是否失實(shí)等，培養(yǎng)同學(xué)們思考的的嚴(yán)密性，并且書寫要清潔明了，層次要分明、嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范。

四、檢驗(yàn)回顧解題

檢驗(yàn)解題主要是檢驗(yàn)推理是否有據(jù)，論斷是否合理，步驟是否連貫，結(jié)果是否全面。同樣，回顧解題的思路和方法，可以把此類問題的證明思路和方法進(jìn)行總結(jié)和推廣。如何證明線段相等，角相等，線段成正比例；如何進(jìn)行添加輔助線等，把它們進(jìn)行總結(jié)、歸類，對(duì)以后的證明提供可靠的方法和思想。此外，同學(xué)們還應(yīng)多去探求問題的各種情況，真正把問題搞透了，學(xué)活了，就能夠融會(huì)貫通，舉一反三。