米級口徑經緯儀保護窗口鏡面變形分析

趙曉東，王 晶

(1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033;2.中國科學院大學,北京 100049)

1 引 言

在常規武器靶場任務實驗中，現代光電經緯儀系統的主要作用是觀察目標的全過程，為指揮中心提供高清晰、直觀的目標實況圖像[1]。對特定觀測波長而言，望遠鏡口徑越大，理論分辨率越高，作用距離越遠[2-3]。米級口徑經緯儀主系統前加裝保護窗口的主要目的是防鹽霧侵蝕及防濕熱防潮、防霉。然而，另一方面，保護窗口鏡面變形會直接影響系統的成像質量。以往600 mm口徑光電經緯儀的窗口設計基本能夠保證成像質量要求，但當口徑達到米級水平時，情況發生很大改變，窗口的質量、面積、厚度都有所增加，這就意味著窗口的變形更加難以預測。為了保證米級口徑經緯儀最終的成像質量，必須對保護窗口的鏡面變形進行分析。

光學元件工程分析面臨的主要問題是接觸所帶來的邊界條件的非線性問題[4]。工程分析在很多情況下采用線性分析方法，對諸如螺釘聯結、零部件接觸等非線性環節通常進行線性簡化建模[5-6]，這會造成結構內部應力得不到有效釋放，通常用于接觸條件要求不高的仿真中。對于經緯儀這種鏡面微小變形就會引起成像質量很大變化的精密儀器，簡化模型存在的連接自由度或連接件剛度與實際情況不一致的問題將會突顯，導致鏡面變形分析的精確性降低。

為了精確描述米級口徑經緯儀保護窗口部件之間的接觸關系，本文采用接觸有限元理論，針對模型中螺栓聯結部位進行了接觸非線性分析，提高了分析精度。在進行面形擬合前，應用齊次坐標變換法去除結構剛體位移，分離出鏡面畸變數據。將Zernike多項式作為本文的面形擬合和光機集成分析的接口工具，并結合ZEMAX光學設計軟件，從波前圖獲得鏡面波前像差RMS值，以波前像差RMS衡量鏡面變形對成像質量的影響。最后，通過與線性剛性連接仿真方法和干涉儀檢測結果進行對比，判斷保護窗口設計是否合理。

2 接觸有限元理論

本文使用懲罰法[7]求解有限元模型中的接觸非線性問題。線彈性材料接觸問題的求解可歸結為接觸體總能量最小的問題，即

(1)

(2)

(3)

在實際計算中，保護窗口有限元模型計算時，需設置接觸表面間的滑動摩擦系數、法向懲罰剛度系數和侵入量容差的大小。法向懲罰因子過大會造成收斂困難；法向懲罰因子過小會造成計算不精確。一般法向懲罰剛度系數取0.01～10，侵入量容差取0.1。

3 保護窗口的有限元分析

3.1 保護窗口的結構

保護窗口主要是由平板玻璃、橡膠墊、壓環、框體組成。窗口平板玻璃直徑為1 035 mm，厚度為85 mm。平板玻璃置于框體中，壓環和框體通過16個螺栓聯結，使用薄橡膠墊將三者隔開。保護窗口結構如圖1所示。

圖1 保護窗口結構 Fig.1 Protective window structure

3.2 螺栓預緊力

重力和螺栓預緊力是導致保護窗口鏡面變形的主要載荷。為了保證壓環和框體的可靠聯結，施加適當的螺栓預緊力是必要的。工程實際中，經常使用力矩扳手來控制施加于螺栓的擰緊力矩的大小，從而控制螺栓預緊力的大小。擰緊力矩與螺栓預緊力的關系為[8]:

T=K·d·Ff,

(4)

式中，T為擰緊力矩，K為轉矩系數，d為螺栓名義直徑，Ff為螺栓預緊力。根據工程經驗，無潤滑條件下，K值可取0.2。保護窗口壓環與框體間的螺栓擰緊扭矩為3 N·m，螺栓名義直徑為8 mm，據式(4)可計算出螺栓預緊力為1 875 N。

3.3 保護窗口的有限元模型

圖2 保護窗口有限元模型 Fig.2 Finite element model of protective window

將在UG中建立的保護窗口模型導入ANSYS有限元分析軟件進行網格劃分。其中，平板玻璃采用掃掠網格劃分方法，網格單元為六面體單元；壓環和框體采用自由網格劃分方法，網格單元為四面體單元，并對壓環和框體中的螺栓孔進行網格細化；螺釘同樣采用掃掠網格劃分，網格單元為六面體單元。最終劃分單元總數為148 838。保護窗口有限元模型如圖2所示。

3.4 接觸和約束條件

為了更加真實地反映重力和螺栓預緊力對保護窗口鏡面變形的影響，采用接觸非線性有限元分析結構變形，需要設置的接觸有：螺栓與壓環的接觸、壓環與框體的接觸，都設置為帶摩擦的接觸。為了降低分析復雜度，將不是研究重點的其余部分設置為綁定接觸。在ANSYS有限元仿真中，為了阻止接觸表面相互侵入，接觸表面間需要建立一個互不侵入的約束關系，即接觸協調條件，所有的ANSYS接觸單元都采用懲罰剛度系數來保證接觸協調性。保護窗口是固定于經緯儀上的，故在框體底面施加限制框體自由度的固定約束。

3.5 材料屬性

保護窗口中，壓環材料為45鋼，框體材料為HT250，平板玻璃材料為熔石英，墊圈是橡膠。材料屬性參數如表1所示。

表1 材料屬性參數

4 保護窗口鏡面面形擬合

光學元件表面總是趨于光滑和連續的，所以鏡面的面形變化可以表示成一個完備的基底函數的線性組合或線性無關的基底函數系的組合[9]。Zernike多項式在單位圓內正交且各項系數與賽德爾像差相對應,目前已廣泛應用于面形表征、光學設計和檢測等領域[11]。由于篇幅原因，這里列出了Zernike前五項多項式及意義，如表2所示。

表2 Zernike前五項表達式及意義

4.1 保護窗口去除剛體位移算法

光學表面變形通常包含離焦、偏心、傾斜、畸變4種形式。其中，前3種變形是由支撐結構的變形造成的，稱為剛體位移；表面畸變是由光學元件內應力造成的，用來擬合鏡面面形[13]。本文的分析對象為平板玻璃，球心位于無窮遠處，故不存在偏心，只需對離焦、傾斜、畸變進行分析。有限元軟件分析結果給出的節點坐標位移數據既有剛體位移又有表面畸變，要進行面形擬合就必須先去除節點坐標位移數據中的剛體位移。

本文采用齊次坐標變換法[14]去除剛體位移。假設用于計算剛體位移的參考坐標系定義在光學元件鏡面頂點上，z軸與光軸重合。分別用dx、dy、dz表示剛體沿x軸、y軸、z軸的平移，分別用θx、θy、θz表示剛體繞x軸、y軸、z軸的旋轉角度，通過齊次坐標變換可得剛體位移前后各相應節點間的齊次轉換矩陣。一般情況下，齊次坐標變換的順序不同，所用的齊次轉換矩陣也不同，而由于旋轉角度一般是微小變量，所以可以做cosθx≈1、cosθy≈1、cosθz≈1、sinθx≈θx、sinθy≈θy、sinθz≈θz近似處理，高階小量又可以忽略。通過近似處理后，剛體位移前后各相應節點間的齊次轉換矩陣與齊次坐標變換順序無關，其坐標變換表達式可統一表示為：

(5)

式(5)可改寫為:

(6)

根據式(6)，對包含有m個節點的保護窗口鏡面有

Y-AX=Σ

(7)

式中，

對式(7)應用最小二乘法求解剛體位移參數X，即

X=(ATA)-1ATY,

(8)

將剛體位移參數帶入式(7)，即可求得保護窗口的鏡面畸變Σ。在經緯儀俯仰角為零度時，求得保護窗口剛體位移為：繞x軸偏轉-0.413 μrad，繞y軸偏轉-0.052 8 μrad，繞z軸偏轉0.063 6 μrad，沿x軸平移-0.020 3 μm，沿y軸平移-0.793 μm，沿z軸平移-0.004 03 μm。

4.2 Zernike多項式鏡面擬合算法

在光機集成分析時，需要用結構分析得到的鏡面節點的變形數據擬合光學元件面形，再用光學設計軟件對光學元件的成像質量進行分析。n項Zernike多項式可表示為:

W(x,y)=a1Z1(x,y)+a2Z2(x,y)+…+

anZn(x,y)=ZA,

(9)

式中，A=[a1a2…an]T為Zernike多項式系數，Z=[Z1(x,y)Z2(x,y) …Zn(x,y)]為n項Zernike多項式基底函數，現有m個節點，Wi(xi,yi)表示變形后鏡面第i個節點z方向上的畸變數值，令

qij=Zj(xi,yi),

(i=1,2…m,j=1,2…n,m>n)

代入式(9)，得到矛盾方程組:

(10)

對該矛盾方程組使用QR正交分解[15]求得n項Zernike多項式系數。本文使用36項Zernike多項式進行保護窗口鏡面擬合。

5 結果分析

5.1 保護窗口有限元仿真方法對比

在保護窗口面形有限元仿真分析中，螺栓聯結的模擬是重點和難點。以往研究中采用直接剛性連接來模擬，但是這種簡化模型會引入誤差。本文采用帶摩擦接觸的有限元模型。在螺栓和框體、框體和壓環之間設置帶摩擦的接觸，摩擦接觸對間的法向懲罰剛度系數取為0.6，使得有限元模型自由度、剛度接近保護窗口真實狀態。此外，還對比了剛性連接的仿真分析方法，使用ANSYS在24 ℃環境溫度下獲得兩種方法的面形及應力分布云圖，圖3為剛性連接面形及應力圖，圖4為

圖3 剛性連接面形及應力圖 Fig.3 Contour and stress diagram of rigid joint surface

圖4 摩擦接觸面形及應力圖 Fig.4 Contour and stress diagrams of frictional contact surface

摩擦接觸面形及應力圖。可見，剛性連接使得結構應力不能有效釋放，鏡面局部變形過大，不能反映鏡面變形的真實狀態，容易引入計算誤差；而摩擦接觸的有限元模型沒有明顯的應力集中，面形更加均勻，接近于鏡面實際變形狀態，計算結果更精確。

5.2 干涉儀檢測保護窗口鏡面變形實驗

為了檢驗、對比線性剛性連接和考慮摩擦接觸仿真實驗的準確性，本文采用ESDI-VB干涉儀在24 ℃環境溫度下檢測保護窗口俯仰角為零度時鏡面變形對透射波前像差的影響。在重力及螺栓預緊力作用下，鏡面透射波前像差RMS值為40.626 nm，PV值235.654 nm。干涉儀檢測保護窗口面形，如圖5所示。

圖5 保護窗口面形的干涉儀檢測結果 Fig.5 Interferometer test results of contour diagram of protective window surface

5.3 基于ZEMAX評價鏡面變形

保護窗口俯仰角為零度時，將面形擬合算出的36項Zernike系數導入ZEMAX軟件，得到波前像差RMS、PV值。圖6為剛性連接鏡面波前圖，其波前像差RMS為71.312 nm、PV為387.768 nm，波前像差RMS與干涉儀檢測結果偏差為75.53%，波前像差PV與干涉儀檢測結果偏差為64.55%。圖7為考慮摩擦接觸鏡面波前圖，其波前像差RMS為38.095 nm、PV為205.027 nm，波前像差RMS與干涉儀檢測結果偏差為6.23%，波前像差PV與干涉儀檢測結果偏差為13%。實驗結果說明，與線性剛性連接仿真結果相比，考慮摩擦接觸的仿真結果更加接近干涉儀檢測結果，準確反映了保護窗口鏡面變形的真實狀態。

圖6 剛性連接鏡面波前圖 Fig.6 Wave front map of rigid joint mirror

圖7 摩擦接觸鏡面波前圖 Fig.7 Wavefront map of frictional contact mirror

為了滿足系統整體成像質量要求，經緯儀保護窗口波前像差RMS要小于λ/15(λ為632.8 nm)。可見，干涉儀檢測和考慮摩擦接觸仿真方法得到的結果都能滿足系統成像質量的要求，說明該米級口徑保護窗口設計合理，該摩擦接觸仿真方法可用于米級口徑保護窗口鏡面變形分析。而剛性連接仿真方法得到的結果不能滿足系統成像質量的要求，說明該方法不適用于米級口徑保護窗口鏡面變形分析。

6 結 論

在重力和螺栓預緊力作用下，本文采用摩擦接觸的仿真方法分析米級口徑保護窗口鏡面變形。與線性剛性連接仿真分析相比，面形圖沒有顯著的局部凸起和凹陷，同時應力圖分布較均勻。考慮摩擦接觸的仿真方法結果與干涉儀檢測結果的RMS值偏差為6.23%，剛性連接仿真方法結果與干涉儀檢測結果偏差為75.53%。實驗結果表明，與線性分析相比，考慮摩擦接觸邊界條件的仿真方法能更準確地反映米級口徑保護窗口鏡面變形，可用于米級口徑保護窗口鏡面變形分析。