基于單次傅里葉變換的分段衍射算法

胡 琪，王 喆，劉洪順，薛智文，鄧家春

(天津理工大學(xué) 理學(xué)院，天津 300384)

1 引 言

計(jì)算全息是在實(shí)驗(yàn)全息術(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，利用惠更斯-菲涅爾衍射原理，通過對光場衍射行為的數(shù)值計(jì)算，可模擬光場在各種光學(xué)系統(tǒng)中的衍射行為。由于不受實(shí)驗(yàn)環(huán)境因素的影響，這種分析方法具有較大的靈活性，經(jīng)常用來做復(fù)雜系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)的仿真模擬。隨著光場測量技術(shù)的不斷進(jìn)步，計(jì)算全息在光場調(diào)控、光通訊、激光技術(shù)、衍射元件設(shè)計(jì)、光學(xué)系統(tǒng)開發(fā)等領(lǐng)域迸發(fā)出了巨大的活力[1-7]。在波前傳感器[8-11]取得巨大進(jìn)步的今天，人們開始嘗試?yán)脤ξ锕獠ㄇ暗南辔粩?shù)據(jù)進(jìn)行采集，并計(jì)算其通過光學(xué)成像系統(tǒng)后的成像結(jié)果，從而獲得層析圖像、深度圖像或者三維立體圖像，這些工作的開展都離不開較長距離衍射的精確計(jì)算[12-17]。因此，優(yōu)化較長距離的衍射算法，具有很大的研究價(jià)值。本文依據(jù)采樣定理[18]中對傳輸距離和衍射面畫幅尺寸的關(guān)系，提出了一種分段衍射算法，解決傳輸距離對衍射面畫幅尺寸和有效像素分辨率的影響，使算法可以靈活調(diào)整衍射面畫幅尺寸。數(shù)據(jù)顯示，計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)算法結(jié)果一致，而分辨率可提高2～3個(gè)數(shù)量級。

2 基本理論

在利用菲涅爾衍射積分計(jì)算光場衍射行為的過程中，單次快速傅里葉變換算法(Single Fast Fourier Transform Algorithm，S-FFT)在衍射距離較長的情況下表現(xiàn)出失真率低、計(jì)算速度快、抗欠采樣性較強(qiáng)、內(nèi)存使用少等諸多優(yōu)勢[19]。但是，由于采樣定理的限制，此算法計(jì)算得到的衍射面畫幅尺寸受衍射距離影響較大，特別是在傳輸距離較長的情況下出現(xiàn)畫幅很大的情況，導(dǎo)致有效內(nèi)容的像素分辨率很低，不利于分析有效數(shù)據(jù)和應(yīng)用。本文基于采樣定理分析了上述問題的產(chǎn)生原因，并提出了通過分割衍射距離的方法解決上述問題。模擬計(jì)算表明，該方法行之有效，并保留了S-FFT算法的優(yōu)點(diǎn)。

根據(jù)惠更斯-菲涅爾原理，如圖1所示，衍射面上P0處的光場U(P0)為從孔徑S上各點(diǎn)發(fā)出的次級發(fā)散球面波exp(ikr01)/r01的相干疊加[9]。

(1)

圖1 在傍軸情況下衍射坐標(biāo)示意圖 Fig.1 Schematic diagram of diffraction coordinates in paraxial

利用標(biāo)量衍射理論[20]，通過求解麥克斯韋方程[21-22]，并運(yùn)用傍軸近似將積分簡化，可以得到菲涅爾衍射積分的傅里葉變換形式[18]：

(2)

利用菲涅爾衍射積分，如圖1所示，我們可以計(jì)算得到初始光場U(x0,y0,0)傳播一段距離d之后等到的光場U(x,y,d)。

式(2)中設(shè)U(x0,y0)為物光平面波復(fù)振幅，U(x,y)為衍射面光波復(fù)振幅，傳播距離為d，則菲涅爾衍射積分可以表示為：

(3)

(4)

該算法稱為S-FFT算法(single fast Fourier transform algorithm)[19-20]。由于僅運(yùn)用了一次傅里葉變換，其計(jì)算速度和失真率均較低。

另外計(jì)算光場衍射行為較為常見的還有D-FFT算法(double fast Fourier transform algorithm)和T-FFT(triple fast Fourier transform algorithm)算法。經(jīng)過實(shí)驗(yàn)比較，三種算法各有所長。其中D-FFT算法和T-FFT算法適用于較短距離衍射范圍，其衍射面畫幅尺寸等于初始畫幅尺寸，二者之中D-FFT算法具有更強(qiáng)的抗欠采樣性，而T-FFT算法則具有更強(qiáng)的衍射圖案細(xì)節(jié)描繪能力。S-FFT算法更加適用于較長距離的衍射范圍，彌補(bǔ)了另外兩種算法在長距離上面的不足[19，23]。而本論文進(jìn)一步優(yōu)化了S-FFT算法在長距離衍射方面的表現(xiàn)出的衍射面畫幅尺寸相比衍射圖案過大、衍射圖案分辨率低等缺點(diǎn)，為能夠完滿地獲得整個(gè)菲涅爾衍射區(qū)域的衍射場做出了一點(diǎn)貢獻(xiàn)。

3 采樣定理對S-FFT算法中衍射面畫幅尺寸的影響

下面討論一下衍射面觀察屏的最大坐標(biāo)，以x軸方向?yàn)槔?。圖2中繪制了單條光線在x-z平面中傳播的過程，其傳播方向?yàn)椴ㄊ竗的方向，與x軸夾角為α。圖中，x0軸為次級波源所在x-y平面的橫軸坐標(biāo)，x軸為衍射面觀察屏所在平面的橫軸坐標(biāo)；虛線為光場的等陣面；光線從次級波源O點(diǎn)(x0=0,z=0)發(fā)出，傳輸?shù)窖苌涿嬗^察屏上的P點(diǎn)(x=x,z=d)。根據(jù)等陣面可知，光場在x方向的空間周期為X。

由圖2可以得到光傳播方向與空間頻率的關(guān)系

(5)

(6)

圖3 衍射計(jì)算中衍射面觀察屏再現(xiàn)范圍示意圖 Fig.3 Sketch map of viewing screen reproduction range in diffraction calculation

根據(jù)式(6)可以知，基于S-FFT算法計(jì)算衍射光路時(shí)，衍射觀察屏的大小與采樣數(shù)、光的波長、衍射距離以及初始衍射面大小(即衍射圖案大小)4個(gè)因素相關(guān)。在實(shí)際中，由于波長、采樣數(shù)、初始衍射面大小均由實(shí)驗(yàn)設(shè)備決定，衍射面觀察屏的大小只與衍射距離有關(guān)，無法改變。當(dāng)平行光照射物體，衍射距離過長時(shí)，衍射面畫幅尺寸過大，會得到一個(gè)很小區(qū)域的衍射圖像；當(dāng)球面波照射物體，并使用凸透鏡成像時(shí)，衍射距離過長會導(dǎo)致衍射面畫幅尺寸過小，只能得到圖像的某一個(gè)區(qū)域。這會使該算法在實(shí)際運(yùn)用中，受到極大限制并嚴(yán)重影響圖像中有效畫面的像素質(zhì)量。圖5模擬計(jì)算了波長為532 nm的均勻平面光波垂直照射一個(gè)邊長為5 mm的初始衍射面，中央開有邊長為2.5 mm的正方形透光孔(如圖4所示)后，經(jīng)過不同距離d后在衍射面觀察屏上的衍射光場及其光強(qiáng)分布。

圖4 程序模擬的透光孔 Fig.4 Transparent hole simulated by program

圖5 在不同衍射距離下的衍射圖樣 Fig.5 Diffraction patterns at different diffraction distances

由圖5可以看出，在默認(rèn)初始衍射圖案大小變化不大的情況下，隨著衍射距離d的變化，衍射面畫幅尺寸的區(qū)域變化很大。當(dāng)衍射距離d過長時(shí)，衍射再現(xiàn)結(jié)果相比較衍射面畫幅尺寸來說過小，很難觀測。

為了解決上述問題，本文提出一種分段衍射算法。該方法是將衍射距離d劃分為兩段，分別記為d1、d2。這樣，在每次衍射計(jì)算中，衍射面畫幅尺寸在x和y方向的尺寸(Lx1、Ly1、Lx2、Ly2)都會因波長λ、采樣數(shù)(M、N)、衍射距離(d1、d2)和初始衍射面大小(Lx0、Ly0、Lx1、Ly1)而改變。其中，衍射d1距離衍射面畫幅尺寸為:

(7)

繼續(xù)衍射d2距離的衍射面畫幅尺寸為:

(8)

不難看出，衍射面畫幅尺寸的決定因素就由d1，變成了d2/d1。

因此，該方法可有效、靈活的通過調(diào)整d1、d2的比值來控制最終衍射面畫幅尺寸的大小，獲得更高分辨率的有效像素?cái)?shù)據(jù)，并保留S-FFT算法的高精度及低失真率。

4 模擬計(jì)算結(jié)果與分析

圖6和圖7分別計(jì)算了波長為532 nm的均勻平面光波垂直照射一個(gè)邊長為5 mm中央開有邊長為2.5 mm的正方形透光孔(如圖4所示)的初始衍射面，經(jīng)過d=1 m(圖6)和d=10 m(圖7)后，衍射面觀察屏上的衍射光場及其光強(qiáng)分布。圖中分別按照直接計(jì)算(圖6(a)、圖7(a))和分段衍射算法(圖6(b)～(d)、圖7(b)～7(d))計(jì)算得到的觀察屏光強(qiáng)分布。

圖6 衍射1 m后的衍射圖像 Fig.6 Diffraction patterns after 1 meter of diffraction

圖7 衍射10 m后的衍射圖像 Fig.7 Diffraction patterns after 10 meters of diffraction

可以看出，分段衍射算法可以靈活有效的調(diào)整衍射面畫幅尺寸大小，有效數(shù)據(jù)的分辨率得到了調(diào)控。在傳輸距離為1 m時(shí)，由于式(7)衍射面畫幅大小為2 970.25 mm2，衍射圖案占據(jù)的范圍不到畫幅范圍的0.26%(以下簡稱“占比”)，有效內(nèi)容像素只有676個(gè)。而利用分段衍射算法(以d1=d2=0.5 m為例)，根據(jù)式(8)可將畫幅調(diào)整為25 mm2，使得衍射圖案占據(jù)總畫幅的43.58%，有效內(nèi)容像素為114 244個(gè)，數(shù)據(jù)量增加了169倍。同樣，在衍射距離為10 m時(shí)，傳統(tǒng)S-FFT算法得到的衍射面畫幅為296 807.04 mm2，其中有效像素僅為9個(gè)(占比0.34%)，而通過分段衍射算法(以d1=d2=5 m為例)實(shí)現(xiàn)的S-FFT算法得到的畫幅為25 mm2，有效像素仍保持在154 449個(gè)(占比58.77%，數(shù)據(jù)量增加了17 285倍)，極大的提高了有效像素的數(shù)量。同時(shí)，通過表1和表2可知，其計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)算法保持一致。

表1和表2分別分析并統(tǒng)計(jì)了直接計(jì)算和分段衍射算法兩種方法獲得的衍射面畫幅尺寸相應(yīng)比例圖像的失真度。其方法是(以d=1 m，d1=d2=0.5 m為例)首先根據(jù)衍射面畫幅尺寸(直接計(jì)算的衍射屏邊長為La=54.5 mm，分段衍射算法計(jì)算的衍射屏邊長為Lb=5 mm)比例截取其中主要能量部分并作歸一化(所有像素點(diǎn)數(shù)值除以像素中最大數(shù)值)，所得到圖像作為對比圖，把直接計(jì)算結(jié)果作為參考圖，將對比圖中的對應(yīng)像素點(diǎn)做加權(quán)平均后形成一張與參考圖像素個(gè)數(shù)相同(x像素?cái)?shù)為M，y像素?cái)?shù)為N)的比照圖，然后用比照圖fe(x,y)和參考圖f(x,y)中的對應(yīng)像素點(diǎn)數(shù)值對比計(jì)算均方根誤差erms和峰值信噪比Rsn[24]。其計(jì)算方法為：

(9)

(10)

表1 衍射距離d=1 m時(shí)，直接計(jì)算與分段衍射算法計(jì)算圖像的erms和Rsn

由表1可見，兩幅圖的均方根誤差均小于0.1，而峰值信噪比均大于20，兩幅圖的保真度較高。其誤差產(chǎn)生的主要原因，除了對應(yīng)像素點(diǎn)個(gè)數(shù)不是整數(shù)之外，還應(yīng)考慮到分辨率較高的對比圖本身細(xì)節(jié)增多，其平均強(qiáng)度值與參考圖中對應(yīng)像素的數(shù)值理應(yīng)存在一定偏差。這種偏差其實(shí)也反映了圖像分辨率增加后導(dǎo)致圖案細(xì)節(jié)增多。因此在一定程度上，本問題中分析失真度時(shí)，誤差并非越小越好。

同樣的，運(yùn)用上述方法在表2中總結(jié)了衍射距離為10 m時(shí)，兩種計(jì)算方法獲得結(jié)果的均方根誤差和峰值信噪比。從中可以看出，與d=1 m時(shí)結(jié)果類似，對照圖和參考圖相似度也很高。而由于在較長衍射距離的情況下，直接計(jì)算得到的衍射面畫幅尺寸過大，導(dǎo)致有效內(nèi)容的像素點(diǎn)僅有9個(gè)，致使誤差比前種情況大。根據(jù)前面的分析，這其中有較大部分原因是由于對照圖中分辨率的提升導(dǎo)致圖案細(xì)節(jié)更加豐富，而在對比時(shí)使用了對比圖中對應(yīng)像素點(diǎn)的平均值，制作與參考圖像素個(gè)數(shù)一致的對照圖，因此背景噪聲有所增加，在超過一定分辨率放大率的情況下，均方根誤差應(yīng)該有所升高而峰值信噪比應(yīng)該下降，這是提高分辨率增加有效像素?cái)?shù)量的一種體現(xiàn)。

表2 衍射距離d=10 m時(shí)，直接計(jì)算與分段衍射算法計(jì)算圖像的erms和Rsn

5 結(jié) 論

S-FFT算法中，由于采樣定理的約束，衍射距離將嚴(yán)重限制衍射面畫幅尺寸，在較長衍射距離上有效數(shù)據(jù)分辨率很低。由于實(shí)際應(yīng)用中采樣率、波長、原始衍射面尺寸等因素均需要根據(jù)實(shí)驗(yàn)確定，因此直接計(jì)算無法解決上述問題。本文模擬計(jì)算結(jié)果表明，分段衍射算法可利用采樣定理實(shí)現(xiàn)對衍射面畫幅尺寸的靈活調(diào)整，從而使上述問題得以解決。如傳輸距離為1 m時(shí)，畫幅大小為2 970.25 mm2，占比約為0.26%，有效像素只有676個(gè)。而利用分段衍射算法(以d1=d2=0.5 m為例)，畫幅調(diào)整為25 mm2，占比提高到43.58%，有效像素為114 244個(gè)，數(shù)據(jù)量增加了169倍。造成誤差的一個(gè)主要原因來自有效數(shù)據(jù)分辨率提高后，細(xì)節(jié)分布與低分辨率像素值之間的差別。在圖像細(xì)節(jié)較豐富時(shí)，其差別較大。因此這種差別應(yīng)視為優(yōu)于直接計(jì)算的一種結(jié)果。波前采集進(jìn)而對立體物體進(jìn)行層析成像計(jì)算是課題組接下來研究的重點(diǎn)方向，而提高圖像細(xì)節(jié)的有效數(shù)據(jù)分辨率，靈活控制衍射面畫幅尺寸，對該工作的研究具有重要的基礎(chǔ)作用。結(jié)果表明，分段衍射算法對于提高優(yōu)秀算法的適用衍射距離，具有較高的推廣價(jià)值。