線性時(shí)變系統(tǒng)的時(shí)域分析*

陳紹榮，何 健，劉郁林，朱行濤

（1.陸軍工程大學(xué) 通信士官學(xué)校，重慶 400035；2.軍委裝備發(fā)展部軍事代表局駐成都地區(qū)軍事代表室，四川 成都 610041；3.重慶市經(jīng)信委，重慶 400015）

0 引 言

在國(guó)內(nèi)外《信號(hào)與系統(tǒng)》中[1-2]，均提到了連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)可分為線性時(shí)變系統(tǒng)和線性時(shí)不變系統(tǒng)。然而，連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的時(shí)域分析都局限于介紹線性時(shí)不變系統(tǒng)的分析方法。原因有兩點(diǎn)，一是并非所有描述線性時(shí)變系統(tǒng)的線性變系數(shù)微分方程都有解；二是即使描述線性時(shí)變系統(tǒng)的線性變系數(shù)微分方程有解，也難以找出系統(tǒng)全響應(yīng)的通解公式。本文在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上，研究了一階線性時(shí)變系統(tǒng)的時(shí)域分析問(wèn)題，采用降階解法給出了一類(lèi)可解的二階線性時(shí)變系統(tǒng)全響應(yīng)的通解公式，解決了一類(lèi)可解的高階線性時(shí)變系統(tǒng)全響應(yīng)的時(shí)域求解問(wèn)題。

1 一階線性時(shí)變系統(tǒng)全響應(yīng)的通解公式

設(shè)描述一階線性時(shí)變系統(tǒng)響應(yīng)y(t)與激勵(lì)f (t)關(guān)系的微分方程為：

利用乘積求導(dǎo)法則，對(duì)式（2）左邊作逆向改寫(xiě)，可得：

對(duì)式（3）兩邊作不定積分，可得：

由式（4）可得一階線性時(shí)變系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)的通解公式，即：

式中，C為任意常數(shù)。

2 二階線性時(shí)變系統(tǒng)全響應(yīng)的通解公式

設(shè)描述二階線性時(shí)變系統(tǒng)響應(yīng)y(t)與激勵(lì)f(t)關(guān)系的微分方程為：

其實(shí)，描述二階線性時(shí)變系統(tǒng)的非齊次微分方程式（6）可改寫(xiě)成：

為了采用降階解法，現(xiàn)定義新變量x(t)，即：

考慮到式（8），則二階線性變系數(shù)非齊次微分方程式（7）降成了一階線性變系數(shù)非齊次微分方程，即：

考慮到通解式（5），則描述一階線性時(shí)變系統(tǒng)的非齊次微分方程式（9）的通解x(t)，可寫(xiě)成：

式中，C1為任意常數(shù)。

考慮到通解式（5）和通解式（10），則一階線性變系數(shù)非齊次微分方程式（8）的通解，即式（6）描述的二階線性時(shí)變系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)的通解公式可表示為：

式中，C1和C2為任意常數(shù)。

3 線性時(shí)變系統(tǒng)的時(shí)域分析舉例

3.1 例子1

例1：設(shè)描述一階線性時(shí)變系統(tǒng)響應(yīng)y(t)與激勵(lì)f(t)關(guān)系的微分方程為：

若系統(tǒng)的激勵(lì)f(t)=e-sint-tε(t)，系統(tǒng)的初始狀態(tài)y(0_)=2，試求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)、零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)及全響應(yīng)y(t)。

3.1.1 方法1

解：利用通解式（5）直接進(jìn)行求解。由微分方程式（12）知道，λ(t)=-cost。考慮到通解式（5），則有：

式中，C為任意常數(shù)。

考慮到系統(tǒng)的初始狀態(tài)y(0_)=2，由式（13）可得y(0_)=C=2。于是，系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)為：

顯然，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)分別為：

3.1.2 方法2

采用上限積分法求解。

將系統(tǒng)的激勵(lì)f(t)=e-sint-tε(t)代入非齊次微分方程式（12），可得：

將式（17）兩邊乘以esint，可得：

利用乘積求導(dǎo)法則，對(duì)式（18）左邊作逆向改寫(xiě)，可得：

由式（19）可得：

在τ∈[0_,t]區(qū)間上，對(duì)式（20）兩邊積分，可得：

考慮到系統(tǒng)的初始狀態(tài)y(0_)=2，由式（21）可得：

于是，系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)為：

顯然，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)分別為：

3.2 例子2

例2：設(shè)描述二階線性時(shí)變系統(tǒng)響應(yīng)y(t)與激勵(lì)f(t)關(guān)系的微分方程為：

若系統(tǒng)的激勵(lì) f(t)=2e-tε (t)-δ(t)，系統(tǒng)的初始狀態(tài)y(0_)=2，y'(0_)=0，試求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)、零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)及全響應(yīng)y(t)。

3.2.1 方法1

利用通解式（11）直接進(jìn)行求解。

其實(shí)，描述二階線性時(shí)變系統(tǒng)的非齊次微分方程式（26）可寫(xiě)成：

將微分方程式（26）與微分方程式（7）比較，可知：

為了計(jì)算方便，令：

考慮到式（29）、式（30），則通解式（11）可寫(xiě)成：

考慮到式（29），由式（31）可得：

由式（32）可得：

由式（31）可得：

將C1=0、C2=2代入式（31），可得系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)，即：

顯然，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)分別為：

3.2.2 方法2

采用上限積分降階法求解。

將系統(tǒng)的激勵(lì)f(t)=2e-tε(t)-δ(t)代入非齊次微分方程式（27），可得：

將式（38）兩邊乘以et，可得：

利用乘積求導(dǎo)法則，對(duì)式（39）左邊作逆向改寫(xiě)，可得：

由式（40）可得：

在τ ∈[0-,t ]區(qū)間上，對(duì)式（41）兩邊積分，可得：

考慮到系統(tǒng)的初始狀態(tài) y (0-) = 2， y ′(0-)=0，由式（42）可得：

即：

將式（44）兩邊乘以et2，可得：

利用乘積求導(dǎo)法則，對(duì)式（45）左邊作逆向改寫(xiě)，可得：

由式（46）可得：

在τ ∈[0-,t ]區(qū)間上，對(duì)式（47）兩邊積分，可得：

考慮到系統(tǒng)的初始狀態(tài) (0) 2 y-= ，由式（48）可得：

于是系統(tǒng)的全響應(yīng) ()y t為：

顯然，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) yx( t)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)分別為：

4 結(jié) 語(yǔ)

本文基于分離變量的基本思路，巧妙地在微分方程兩邊乘以同一函數(shù)，利用乘積求導(dǎo)法則，將方程的左邊逆向改寫(xiě)成乘積求導(dǎo)形式，再對(duì)方程兩邊作不定積分，最后通過(guò)分離變量導(dǎo)出一階線性時(shí)變系統(tǒng)全響應(yīng)的通解公式。基于一階線性時(shí)變系統(tǒng)全響應(yīng)的通解公式，采用降階解法導(dǎo)出了一類(lèi)可解的二階線性時(shí)變系統(tǒng)全響應(yīng)的通解公式。這不僅揭示了線性變系數(shù)非齊次微分方程的解結(jié)構(gòu)，即齊次解加特解，而且解決了一類(lèi)可解的高階線性時(shí)變系統(tǒng)全響應(yīng)的時(shí)域求解問(wèn)題。