Arnold變換與偽魔方變換在圖像置亂中的研究

李 博

（鄭州成功財經學院，河南 鞏義 451200）

隨著互聯網越來越融入我們的日常生活，通過網絡獲取各類信息資源已成為一種主要的途徑，開放的網絡平臺在給大家提供便利的同時也帶來了安全的隱患。為了保障信息的正常傳播，數字產品的安全，保護版權所有者的權利，很多專家學者都對數字信息的安全保護進行了深入研究，并取得了很大的進展。宋莉莉等[1]利用Arnold置亂的簡單易懂性以及Gray碼能靈活應用在位置空間等特點提出了一種基于Arnold與Gray碼變換相融合的雙置亂算法，使得加密信息在位置空間和灰度空間上都得到很好的隱藏。吳成茂[2]利用二維Arnold變換構造三維結構，將平面圖像一一映射為立體空間二值圖像，對其像素位置的置亂和恢復間接地改變了平面圖像的像素位置和像素值大小，同時結合小波變換及信息論的方法實現了圖像置亂。梁婷等[3]對傳統的僅適用于正方形區域的Arnold變換的置亂算法進行改進，提出了一種新的多區域置亂算法的圖像加密模型，該模型對于非正方形圖像采用劃分多區域，分別對每個區域進行置亂的方法，有效地提高了圖像的安全性。占履軍等[4]利用Arnold置亂和采樣置亂對水印進行二重加密，與一重置亂加密相比，二重置亂的魯棒性最好，且能夠同時保護兩人共有的圖像版權。

1 圖像置亂方法

圖像置亂是充分考慮像素的相關性，結合各種常用的變換方法，形如Logistic變換、Arnold變換、Hilbert變換、Gray碼變換等，從空域上直接改變圖像的信息，經過置換后的像素相關性被破壞，使得加密的圖像信息能夠在網絡傳輸過程中得到安全傳輸。Arnold變換是常用的置換方法，簡單易懂，但是因為周期性強的特點，安全性得不到保障。本文引入偽魔方變換，并結合使用Arnold變換，很好地提高了數字圖像的抗攻擊性。偽魔方變換可以很好地降低圖像的失真，并且對可窮舉性攻擊有很好的抵御能力。

2 Arnold變換與偽魔方變換

2.1 Arnold變換

Arnold變換又稱為貓臉變換，通過置亂的方法可以使一幅正常的圖像變得無意義，過程定義如下。

對于任意的N*N矩陣，設i，j為矩陣元素，經過Arnold變換后新的矩陣元素為i'，j'，且滿足下式：

其中i,j:0,1,.........N-1，N為圖像的長或寬。經過多次變換可以消除圖像的原始相關信息，但是Arnold變換具有一定的周期性，經過周期性的變換后，矩陣回到原始狀態, 復原初始圖像，具體如圖1所示。

圖1 Arnold變換及周期特性

圖1（a）是一幅512×512大小的lena原始圖像，經過10次置亂后的圖像如圖1（b）所示，經過一定周期后重新恢復出原始圖像，圖1（c）為周期性置亂后的圖像。通過分析可知，Arnold變換的編程實現簡單，但是周期性強，也使得攻擊者能夠通過窮舉攻擊，截獲相關信息。為了提高網絡傳輸信息的安全性，Arnold變換還需要進一步研究。

2.2 偽魔方變換

通過利用騎士移動技術[5-7]打破個別數字低階和高階模式獲得魔方矩陣，N階的魔方矩陣可以通過以下公式獲取。

其中，x,y∈[-N/2,N/2]，假設N是奇數且A≠B，A,B∈[2,N-2]，因此魔方矩陣的元素取值范圍為[0,N2-1]。偽魔方矩陣是一種沒有嚴格限制形式的矩陣，假設A≠B，不管N是奇數還是偶數，A,B∈[1,N]。通過利用公式（3），改變x,y∈[N/2,N/2-1]，A和B的值，得到偽魔方矩陣。N階偽魔方矩陣的個數通過下面公式獲取：

通過公式（4）計算可知，當N為7階魔方矩陣時，可以獲得2 058個偽魔方矩陣。圖2是魔方矩陣和偽魔方矩陣的一個示例。

圖2 魔方矩陣和偽魔方矩陣

3 Arnold與偽魔方變換的雙置亂算法

通過上述的簡單介紹，了解到Arnold變換可以改變數字圖像的像素值分布，從而達到對信息的加密，但是，由于Arnold變換具有很強的周期性這一局限性，使得加密信息對窮舉性攻擊的抵抗力較弱，所以在實際應用中的推廣使用具有很大的局限性。偽魔方變換產生的偽魔方矩陣關鍵在于N，A，B的取值，接收方和發送方每次進行消息傳播的時候都不使用同樣的參數取值，這在很大程度上提高了信息的安全性。本文著眼于利用Arnold變換的簡單性和偽魔方變換的機密性，提出Arnold和偽魔方變換的雙置亂算法。基本原理是，首先將原始圖像進行Arnold變換，然后根據圖像的實際大小信息，將變換后的圖像進行分塊，比如分成7×7大小的子塊，將每一個子塊進行偽魔方變換。

假設A為原始圖像，大小為N×N，B為置亂后的圖像，具體的置亂加密過程如下。

步驟1：對圖像A進行Arnold變換；步驟2：對步驟1中的圖像進行分塊，子塊大小為7×7；步驟3：按照從上到下，從左到右的順序依次處理像素對（x，y），并代入公式（3）中進行處理得到相應的函數值，通過查找對應的偽魔方矩陣得到下標值，將偽魔方矩陣中0的下標值（4，4）與之對應相減，得到差值對（xd，yd），利用公式（1）和公式（2）修改像素對的取值，最終得到置亂加密后的圖像B。

接收者通過公共信道收到置亂加密后的信息，需要恢復原始信息，具體的實現過程如下：

步驟1：對圖像B進行分塊，子塊大小為7×7。

步驟2：利用公式（3）和公式（4）的逆運算對子塊像素進行計算，得到第二次置亂前的像素信息。

步驟3：對步驟2中的像素信息進行Arnold逆變換，或者利用周期性特點進行原始圖像A的恢復。

4 結果分析

本文使用一幅512×512的lena圖像進行數據分析，截取其中子塊的信息進行典型案例分析。原始圖像的左上角7×7子塊像素信息如圖3所示。

圖3 原始圖像7×7子塊像素信息

第一次Arnold變換經過10次迭代置亂后的子塊像素信息如圖4所示。

第二次偽魔方變換（A=4，B=5）后的子塊像素信息如圖5所示。

經過Arnold變換和偽魔方變換，可以提高可窮舉行攻擊，實現了對圖像深層加密的目的，對數字圖像在公共信道上安全傳輸奠定了技術基礎。

圖4 第一次Arnold置亂后像素信息

圖5 第二次偽魔方變換后像素信息

5 結語

在圖像置亂方法的研究中，Arnold因為簡單易實現性得到了廣泛應用，但是周期性強局限了進一步的推廣，通過窮舉攻擊可以截獲其相關信息；偽魔方變換在不同的信息傳遞過程中可以使用不同的參數，可以有效抵抗窮舉攻擊。因此，本文在利用Arnold變換基礎上結合偽魔方變換的多樣性提高了公共信道傳輸的安全性，也為實際應用奠定一定的技術基礎。