諧振式光學陀螺環路的建模與仿真

李 霄 李少偉 蔣 海 孔凡玲 趙佳媚

1.國防科技大學，長沙 410073 2.空間物理重點實驗室，北京 100076 3.北京臨近空間飛行器系統工程研究所，北京 100076

陀螺作為測量載體相對慣性空間旋轉角速度的裝置，是慣性導航系統中的核心部件，被廣泛應用于航空航天飛行器、艦船及車輛的導航中。在現代國防和民用科技中占有非常重要的地位。隨著應用的拓展，對高精度、小型化及高可靠性陀螺的需求越來越迫切。

1913年，法國科學家Sagnac，提出了Sagnac效應[1-2], 為光學陀螺的研制奠定了理論基礎。1977年S.Ezekiel和S.K.Balsmo首次提出諧振式光學陀螺的概念。他們利用4個反射鏡搭建了一個無源的空間環形諧振腔，通過測量光學Sagnac效應引起的順時針和逆時針2路光的諧振頻差得到了系統的旋轉角速度，驗證了光學陀螺的可行性。1981年，D.M.Shupe提出了應用光纖環形諧振腔構建諧振式光纖陀螺(Resonator Fiber Optic Gyro, RFOG)的方案，相比于干涉式光纖陀螺，諧振式光纖陀螺在精度和小型化上具備優勢。2013年，Caterina Ciminelli等人利用InP制作了Q值達106的環形諧振腔。與此同時，我國也較早開展了相關研究，1996年清華大學首先提出研制諧振式光波導陀螺。2015年2月浙江大學的俞旭輝提出了一種新型的光子晶體光纖諧振腔[3]。

對諧振式光學陀螺整個系統的環路結構進行了介紹，根據其工作原理，利用Simulink建立了諧振式光學陀螺環路模型，并對模型的可行性進行了驗證。該模型可用于諧振式光學陀螺系統仿真測試，為系統優化提供依據。

1 光學Sagnac效應

Sagnac效應是一種光相對慣性空間運動的物理現象。一個任意幾何形狀的閉合光學環路，在慣性空間繞垂直于光路平面的軸轉動時，光路內兩束傳播方向相反的光波之間將因光波的慣性運動產生光程差，從而產生相位差。

一個半徑為R的環形光路以角速度Ω繞垂直于環路所在平面并通過環心的軸旋轉，環路中有2列光波同時從A點分別沿順時針方向(Clock Wise，CW)和逆時針方向(Counter Clock Wise，CCW)傳播，當環形光路靜止不動時，見圖1。

圖1 Sagnac效應原理圖

諧振式光學陀螺通過CW和CCW兩束光波的諧振頻率之差獲取角速度，對于諧振式光纖陀螺，有如下關系。

(1)

式中，Δf為CW和CCW兩束波列的諧振頻率之差；D為環路的直徑；n為折射率；λ為輸入光波長；Ω為旋轉角速率。諧振頻率之差與旋轉角速度成正比，只要檢測出頻差就可以得到相應的旋轉角速度。

2 諧振腔特性

諧振腔是諧振式光學陀螺(Resonator Optic Gyro, ROG)的核心敏感單元，以光纖諧振腔(Fiber Ring Resonator, FRR)為例， FRR按照結構的不同可分為反射式和透射式2種，反射式FRR光路傳輸損耗小、結構簡單、腔精細度和諧振深度更優[4]，原理結構見圖2。

圖2 光纖諧振腔的基本結構

光纖諧振腔中Ein是輸入光波，它經過定向耦合器一部分直接通過直通端口(Through)輸出，另一部分耦合到光纖諧振腔傳輸一周再次通過耦合器，就有部分光波從耦合器耦合到輸出端，Ecross是一系列從光纖諧振腔耦合出來的光場的疊加。輸出端的光場為Ethrough和Ecross的疊加。根據光場的疊加原理可得出光纖環形諧振腔的歸一化傳遞函數為[5]：

(2)

其中：

(3)

(4)

R=R′·e-π·δf·τ0

(5)

(6)

Q′=Τ·e-al·l/2

(7)

Q1=Q′e-π·δf·τ0

(8)

(9)

n是介質的有效折射率；l是光纖的長度；c是光在真空中的傳播速度；kc是耦合器的耦合系數；ac是耦合器的插入損耗；aL是光纖的損耗；δf是激光器的線寬；Δf是光波頻率與諧振頻率的偏差。

3 諧振式光學陀螺系統組成

諧振式光學陀螺系統結構框圖見圖3，主要包括：激光器、諧振腔、隔離器、相位調制器、耦合器、光電探測器、鎖相放大器和信號發生器等，以FPGA為核心單元的控制模塊，主要實現載波信號的發生和同步解調放大的功能，并根據解調信號實現激光頻率的反饋控制。

圖3 RFOG數字化信號檢測系統框圖

由激光器FL發出的光通過隔離器，經1∶1耦合器1分成功率相等的2束光，這2束光各自通過含有相位調制器1、相位調制器2調相后進入耦合器2和3，再由耦合器4耦合進入光纖環形諧振腔，在諧振腔中形成順時針和逆時針相向傳播的2個光束，再通過耦合器4耦合輸出，和相應的輸入光束發生多光束干涉后，經耦合器2和3耦合到光電探測器1和2。其中，順時針方向傳輸的光束經光電探測器1轉換為電信號后經鎖相放大器1解調輸出，得到用于反饋控制激光頻率的誤差信號，該誤差信號輸入給比例積分模塊(Proportional Integral Controller, PI控制器)，誤差信號的存在，使得該模塊的控制作用一直進行，最終的結果使誤差信號為0，此時的激光輸出光波頻率被鎖定在諧振腔的順時針方向的諧振頻率點處。此時的逆時針方向的諧振光束經光電探測器2給鎖相放大器2解調輸出，即為陀螺開環輸出信號[6]。其中信號發生器1和2分別用來調制相位調制器1和2，信號發生器3用來調諧激光器頻率，當激光器處于諧振腔諧振頻率的鎖定狀態時，斷開信號發生器3的掃頻作用。

4 諧振式光學陀螺模型的建立

4.1 光路部分

光源可以看成一個由光強和光頻率組成的向量，見圖4。Constant為表示光強的常數信號，三角形的Gain表示激光器輸出頻率，左邊的df表示輸入信號，右邊的黑色長條表示將常數信號I和通過增益的信號f合并成一個總線信號的Bus Creator。

圖4 光源的模型結構圖

耦合器1將激光光源發出的光分成光強大小相同、光頻率不變的2束光，是一個耦合系數為0.5的理想耦合器，其模型見圖5。

圖5 耦合器1模型結構圖

相位調制器調制經過耦合器的光。采用間接調頻，先對相位調制信號進行微分，頻率可以表示為相位的微分。然后將微分后的相位調制信號直接與光頻率信號相加便可以得到調制后的信號。相位調制器的Simulink模型見圖6。

圖6 相位調制器模型結構圖

諧振腔的設計模型見圖7，OScw和OSccw進入諧振腔后經過Bus Selector后分成了光強和頻率2種信號作為輸入信號輸入給FRR tranfun，同時，FRR tranfun有f0，f1，ac，al，L，kc和n等輸入接口。在這些接口中，f0表示逆時針光路的諧振頻率，f1表示順時針光路的諧振頻率，ac表示耦合器的損耗系數，al表示光纖環的損耗系數，L表示光纖環的長度，kc表示耦合器的耦合系數。FRR transfun輸出端為子系統的輸出為瞬時和逆時針的光強輸出。

圖7 諧振腔模型結構圖

4.2 電路部分

光電轉換器設計為一個帶通濾波器，讓調試信號的頻率的信號通過光電裝換器。光電轉換器的Simulink模型見圖8。

圖8 帶通濾波器模型結構圖

相位調制時的調制信號由信號發生器發出，為了能更好地發出需要的調制信號，未采用Simulink自帶的信號發生器，而是通過對指數函數求實部的方法得到正弦波信號，并對信號進行處理。在這種方法下可以更好地對信號發生器做出調整，模型見圖9。

圖9 信號發生器模型結構圖

鎖相放大器的作用是進行微弱信號的相關檢測，應用其數學原理可設計出如下Simulink模型結構，見圖10。

PI控制器是一種線性控制器，它通過輸出量與參考量之差作為控制偏差的判據。將偏差量進行比例運算，積分運算后相加作為控制量輸出給需要控制的對象，模型見圖11。

圖11 PI控制器模型結構圖

在諧振式光學陀螺中，需要一個掃描電壓模塊，用于改變激光輸出頻率，實現諧振頻率的掃描。找出諧振頻率后，PI控制器才能進行諧振腔光路的諧振頻率的鎖定。模型見圖12。

圖12 掃描電壓模塊模型結構圖

5 諧振式光學陀螺仿真

經過對各個模塊進行封裝后，諧振式光學陀螺系統如圖13所示。

圖13 諧振式光學陀螺simulink系統圖

對諧振式光學陀螺模型中諧振腔參數設置，見表1。

表1 諧振腔參數

環路增益系數和積分時間是影響環路響應的參數。圖14給出了不同增益系數和積分時間常數情況下，環路鎖定過程的階躍響應仿真結果。其中圖14(a)為積分時間τ=1s，k分別為400、300、200和100時的環路鎖定過程；圖14(b)為k=250，τ分別為0.6s、1.0s、1.4s和1.8 s時的鎖定過程。環路增益系數k越大，積分時間常數τ越短，環路鎖定越快；但是當環路增益系數k大于閾值點增益系數時，系統鎖定過程出現了超調現象。

圖14 不同增益系數和積分時間常數下的環路階躍響應

對于PI控制器來說，參數的選擇主要包括比例因子和積分時間。比例因子包含在環路增益k中，因此主要考慮積分時間τ如何選擇。根據上面的分析，τ的不同會影響環路的過沖量和響應速度，而這2個參數是相矛盾的。過沖量會引起R-FOG的偽轉動，影響最后的檢測結果，因此理想情況下希望過沖量為0，但為了兼顧快的響應速度，選擇過沖量在5%～15%為宜。

根據以上參數設置原則，對環路參數進行設置。其中，光電轉換器中的濾波器類型為Butterworth型的帶通濾波器，濾波器的階數為10，低頻的邊緣角頻率為80000pi rad/s，高頻的邊緣頻率為120000pi rad/s。

鎖相放大器中的增益量設為102，濾波器類型為Butterworth型的低通濾波器，濾波器的階數同樣為10，濾波器的邊緣的角頻率，20000pi rad/s。其中移相作用的延時器延時的值為1×10-5s，為調制信號的半個周期時間。

掃描信號的角頻率為10pi rad/s。

經過以上設置，可以對整個環路系統進行仿真，仿真的時長為0.3s。在0.15s左右手動切換掃描電壓模塊的開關1～PI檔，且諧振腔轉動角速度輸入為0。諧振腔逆時針輸出圖，見圖15。

圖15 諧振腔頻率鎖定過程

在0.15s左右撥動開關。其之前的輸出信號曲線符合理論要求。在0.15s對系統進行人工干預，使光源的中心頻率在PI控制器的控制下鎖定至諧振頻率上。在0.15s后經過了短時間的震蕩(如圖15中的插圖)，諧振腔的輸出一直保持在最低值上，這表明PI控制器將激光器的輸出光波頻率鎖定在了諧振腔的諧振頻率處，與預期的輸出曲線一致。

6 結論

介紹了光學諧振腔原理，分析了諧振式光學陀螺的光路部分和電路部分的特性，建立了諧振式光學陀螺的環路模型，獲得了環路模型鎖頻前后的仿真曲線，仿真結果也表明所構建的環路模型符合理論要求，可為系統優化設計提供數據支撐。