基于關機點狀態的航天器落點計算及精度分析

聶 凱 曾科軍 左玉東

中國人民解放軍91550部隊，大連 116023

航天器軌跡可分為主動段、自由段和再入段，其落區一般為漫漫荒漠或大海，惡劣的條件可能導致無法在自由段和再入段布設完備的測控系統，進而導致全程測量數據不完備，無法通過測量數據事后精確計算落點[1]。而航天器在首區測控數據較全，可以精確計算關機點狀態信息，同時再入段不做機動的航天器關機后靠慣性飛行，動力學模型可以精確建立，通過外推可以求解后續軌跡參數和落點位置，能夠彌補因測量數據不完備，導致落點計算精度較低的問題[2]。

關于落點計算，研究較多的是實時落點預報，為航天器安全控制和回收服務。實時落點預報受計算速度和內存容量的限制，一般采用簡化的模型，即用橢圓軌道方程加地球扁率修正的方法，文獻[3-5]對此進行了深入研究，該方法計算簡單，但計算精度有待提高。隨著計算機技術的高速發展，計算速度和內存容量提升很快，對航天器進行詳細的受力分析，考慮大氣動力影響，對動力學方程進行數值積分求解或濾波外推的方法也被大量研究，但航天器飛行軌跡的非線性會引入一定的誤差[6-9]。國內外學者也嘗試利用人工神經網絡的全局和最佳逼近能力，使用神經網絡等人工智能工具對動力學方程進行逼近來預報落點，但其逼近精度取決于網絡結構和訓練方法[10-11]。

在落點無法實地測量或全程測量數據不完備的情況下，事后精確計算落點位置也很必要。事后計算落點受實時性和計算容量的限制小，可以建立精確的動力學模型，基于關機點狀態進行數值積分可以求解后續軌跡參數和落點位置。Runge-Kutta法是一種應用廣泛的單步算法，但計算效率較低，可以用來積分起步。Admas-Cowell相結合的方法，可以減少誤差[12]。

針對上述情況，本文在建立自由段和再入段動力學模型的基礎上，采用復合數值積分法對動力學方程進行求解，并通過誤差系數對落點計算精度進行分析。

1 落點計算原理

在自由段航天器只在地球引力作用下運動，再入段與自由段的差別僅僅是增加了空氣阻力的影響，運動學方程如式(1)所示。

(1)

空氣阻力XD

(2)

(3)

需要引入J2項，J2=0.00108263，Re=6378140，u=3.986005x1014，φ為地心緯度，其中，

(4)

(5)

(6)

(7)

2 求解航天器動力學微分方程

利用航天器動力學模型，進行航天器軌跡參數的外推，需要求解航天器動力學微分方程。這里我們采用復合數值積分法進行計算，即使用單步法和定長多步法相結合，單步法使用四階Runge-Kutta法對積分的過程進行起步。在使用定步長方法積分速度時通常使用Adams方法，積分位置時選擇Cowell方法(KSG方法在積分位置時要引入速度項，會引起誤差的積累)。將2種方法聯合使用，稱為Adams-Cowell方法，作為本文的數值積分方法。Adams和Cowell方法，都使用預測-校正格式，用8階顯式公式提供預測值，9階隱式公式提供校正值。校正公式比預測公式高一階，既可以提高精度，又可以提高方法的數值穩定性。

2.1 Adams方法

Adams方法的i階顯式公式為：

(8)

其中，cj與步長h和fn無關，其值見表1[13]，限于篇幅，第8階系數沒有列出，表2～4與此情況類似。

表1 cj的值

(9)

表的值

i+1階校正公式可記為：

(10)

2.2 Cowell積分器

Cowell積分器的i階預報(顯式)公式為：

(11)

其中，常數cj的值見表3[13]。

表3 cj的值

(12)

表的值

類似于Adams方法，i+1階校正公式可記為：

(13)

3 誤差系數矩陣

對于再入段不做機動的航天器，主動段關機點的狀態參數和再入段大氣阻力決定了飛行器的落點位置。通常用落點偏差表示航天器的精度，它分為縱向偏差L和橫向偏差H，縱向偏差又稱射程偏差。誤差系數指關機點參數和空氣密度有偏差量時所造成的射程和橫向偏差的大小，各個誤差系數組成的矩陣稱為誤差系數矩陣，本文利用誤差系數矩陣反映關機點參數(xk,yk,zk,Vxk,Vyk,Vzk)和再入段空氣密度ρk對落點估計的影響程度，tk為飛行時間，誤差系數矩陣表達式為[14-15]：

(14)

4 仿真驗證

4.1 圓概率偏差

圓概率偏差(CEP，circular error probability)能直觀反映目標關機點及落點的估計誤差，并利用誤差橢圓面積估計誤差的大小，CEP是指中心位于估計均值，實際估計值以一定概率落在圓內的圓的等效半徑[17-18]。

4.2 計算與仿真分析

假定目標為某航天器航程3600km，發射點參數分別為T0=0s；L0=110E；B0=35N；h0=0m；射向A0=250°，主動段關機時間為290s。同時其它各次試驗發射原點、射向、飛行時間和距離與上述參數基本相同。采用8階Runge-Kutta法、復合積分法進行計算，并與實際測量落點作差，落點偏差結果如表5所示。

表5 落點偏差計算結果

從表5可以看出，同樣階數的Runge-Kutta法和復合積分法，復合積分法的精度較高，主要是Adams-Cowell法的精度高于Runge-Kutta法。同時對完成整個積分過程的時間進行了統計，復合積分法的平均用時25.3s，8階Runge-Kutta法的平均用時56.7s，可見復合積分法的計算效率高，因為Runge-Kutta法每計算一個點都需要進行多次右函數的計算，消耗了時間。

同時，基于標準模板法對2種方法進行1000次Monte Carlo仿真，仿真步長為0.05s，得到CEP結果，復合積分法的CEP=1.658km，8階Runge-Kutta法的CEP=1.974km。

基于式(14)，設速度的初始偏差量為0.02m/s，然后以0.001m/s的步長遞增至0.05m/s，其它參數保持不變；設位置的初始偏差量為100m，然后以1m的步長遞增至400m，其它參數保持不變；設飛行時間的初始偏差量為1s，然后以0.1s的步長遞增至4s，其它參數保持不變；設空氣密度的初始偏差為5%，然后以1%的步長遞增至20%，其它參數保持不變，求解誤差系數隨各參數的變化，變化趨勢如圖1～4所示。

圖1 速度偏差量對縱向偏差的影響

圖2 位置偏差量對縱向偏差的影響

圖3 飛行時間偏差量對縱向偏差的影響

圖4 空氣密度偏差量對縱向偏差的影響

從圖1～4可見，關機點速度估計對于落點精度的影響較大，且二者成正比關系；關機點位置估計對于落點位置的影響程度不大；飛行時間越長落點位置偏差越大；空氣密度偏差對落點位置影響較大，在計算落點位置時應采用盡量精確的空氣密度和阻力系數矩陣。

5 結論

采用復合數值積分法對自由段和再入段的動力學方程進行了求解，通過誤差系數矩陣對落點計算精度進行了計算分析。實際數據計算和仿真結果表明，復合積分法采用四階Runge-Kutta法對積分的過程進行起步，采用Adams-Cowell法進行速度和位置積分，這樣既保證了積分能夠起步，又通過Adams-Cowell法提高了積分的精度和速度，且校正公式比預測公式高一階，能提高方法的數值穩定性。同時通過誤差系數矩陣對關機點狀態和空氣密度誤差對落點精度的影響進行了計算分析，找出了對落點精度影響的關鍵因素，能用于航天器精度評估與鑒定。下一步將使動力學模型更精確，尤其是再入段的空氣阻力系數矩陣。