基于電磁力的集群航天器磁矩最優分配*

楊茗棋 胡 敏 郭光衍 徐家輝

航天工程大學，北京 101416

集群航天器[1]是指由多顆具有特定功能的模塊衛星組成的航天器群體，可以利用衛星自組織能力取代人工操作，實現一顆整星的功能，更高效地完成航天任務。基于電磁力的航天器控制一般采用3個正交的線圈實現衛星編隊的相對控制。針對集群航天器的電磁控制與電磁交會對接[2]、電磁編隊[3]和電磁拖拽[4]等的研究可以互相借鑒。基于電磁力的集群航天器的磁矩最優分配問題，是研究如何將控制電流分配到每個航天器的各線圈上，以達到期望控制效果的問題[5]。實現磁矩最優分配，能夠有效減少航天器燃料的消耗。目前關于集群航天器的控制研究比較少，關于磁矩分配問題的研究更加缺乏。

針對磁矩分配問題，Schweighart[6]提出“自由磁偶極子”概念。自由磁偶極子解法是將電磁編隊中一個航天器的磁矩設置為隨機非零的數值，再利用牛頓法和同倫延拓法等數值解法，通過磁偶極子間的相互作用力方程組求解其他磁偶極子。該方法思路簡單清晰，但是自由磁偶極子的選取極大程度影響了磁矩分配的結果，而且牛頓法雖然計算量小，但是只能得出方程組的一個解；同倫延拓法可以系統地找出滿足方程的所有解，但是計算量相對較大[7]。

徐增文等[8]求解了雙星磁矩分配問題中控制磁矩的解析解，將兩航天器線圈中的控制電流大小設置為相同，以保持線圈能量消耗的均衡性。黃顯林等[9]針對雙星電磁編隊，用一組能夠描述電磁力和力矩關系的參數代替磁矩矢量，使得到的磁矩計算結果實現系統總角動量最小。

上述方法的根本思想均采用自由磁偶極子法進行磁矩分配，該方法很難求解出磁矩分配的最優解，因此將磁矩分配問題轉化為優化問題是一個更為有效的方法。Ahsun等[10]和連克非等[11]均針對多顆電磁編隊衛星的情況，將控制分配問題轉換為一個優化問題，優化了地磁場干擾力矩，但是介紹較簡略。Abbott等[12]利用序列二次規劃方法進行求解磁矩，使線圈功耗最小，但該方法沒有考慮地磁場和航天器間的干擾力矩對航天器系統的影響。

提出一種基于電磁力的集群航天器磁矩最優分配方法，將該問題轉化為一個有約束條件的優化問題：1)建立目標函數為總干擾力矩最?。?)計算地磁場干擾力矩和航天器之間的干擾力矩；3)分析航天器間力和磁矩的約束；4)采用模擬退火算法優化計算兩航天器中各軸線圈中的電流，實現磁矩最優分配。

1 磁矩分配問題描述

基于電磁力的集群航天器磁矩分配問題，實質是從期望控制量到各航天器三軸線圈中電流的非線性映射過程。在控制律給出所需電磁力的基礎上，通過合理分配各線圈中的電流，進而控制航天器各軸磁矩，最終實現磁矩的最優分配。

集群航天器控制及分配系統結構示意圖[13]如圖1所示：

圖1 集群航天器控制系統結構示意圖

每個集群航天器在3個正交軸上分別配備1個相同的電磁線圈，如圖2所示。通過控制線圈中的電流，控制航天器的磁矩，進而控制兩航天器之間的電磁力，最終實現對集群航天器系統相對運動的控制。磁矩的分配，本質上是一個電流優化分配問題，根據控制律所需的電磁力，通過選取目標函數，合理分配各航天器的控制電流，磁矩分配流程圖如圖3所示。

圖2 集群航天器系統

圖3 磁矩分配流程圖

磁矩分配問題的優化模型可描述為：

minf(x)
s.t.gi(x)≤0,i∈{1,…,m}
hj(x)=0,j∈{m+1,…,m+l}

(1)

1.1 目標函數

優化目標為干擾力矩最小，可以將磁矩最優分配問題視為一個優化問題，目標函數為

(2)

不等式約束為電流大小最大值；等式約束為控制律計算得到的電磁力。

1.2 優化過程

選取模擬退火算法實現磁矩最優分配，兩磁矩大小相等情況的具體流程如圖4所示：

圖4 模擬退火算法的流程圖

不約束兩磁矩大小相等的情況下模擬退火算法流程與圖4基本相同，不同之處在于首先隨機生成的是I1的x，y和z軸分量和I2的x，y軸分量，然后根據電磁力約束計算I2的z軸分量。

下面介紹目標函數中干擾力矩的計算方法以及約束條件。針對等式和不等式約束條件，本文應用解方程法[14]處理。

2 干擾力矩計算

地磁場引起的電磁干擾力與航天器間的電磁力比值為10-3量級，地磁場引起的電磁干擾力可以忽略[15]。為了實現集群航天器的姿態控制并抵消電磁干擾力矩的影響，每個航天器必須安裝角動量存儲設備，例如反作用飛輪或者控制力矩陀螺等。

干擾力矩包括地磁干擾力矩和集群航天器間的干擾力矩2部分。地磁干擾力矩是指地磁場分別對2個集群航天器的力矩。

2.1 地磁干擾力矩

航天器i受到地磁干擾力矩的表達式為：

(3)

采用國際地磁參考場IGRF-12[16](the 12th Generation of the International Geomagnetic Reference Field)中2015年的地磁場模型數據，并通過校正項得到2018年1月1日00:00:00(協調世界時)的磁場強度分布(如圖5所示)。

圖5 500km高度的地磁場強度分布圖

2.2 航天器間干擾力矩

航天器間的干擾力矩是指為使兩航天器的磁矩共軸，反作用飛輪中累積的力矩。飛輪中累積的力矩的表達式為：

(4)

式中，μ0為真空磁導率；rij為航天器i相對航天器j的位置矢量；rij為rij的模；μj為航天器j的磁矩。

3 約束條件分析

約束條件包括2個：1)根據控制算法得到的兩航天器間力的約束；2)各航天器的磁矩大小固定。假設兩航天器的磁矩方向共軸。

3.1 航天器間力的約束

通過設計自抗擾控制律[17]，對集群航天器系統進行控制。通過控制律，即相對加速度，可以得到兩航天器之間的電磁力變化，即磁矩分配問題中航天器間力的約束。

(5)

如果2個磁矩方向共軸，則共軸方向上兩航天器之間的電磁力大小可以簡化為：

(6)

3.2 航天器磁矩的約束

根據電流模型，假設2個磁矩大小相同，則可以通過電磁力得到兩航天器的磁矩大小。

航天器i的磁矩μi大小可以表示為：

(7)

式中，n為線圈匝數；I為線圈中的電流大??；RC為線圈半徑。

假設2個磁矩大小相同，則可以得到兩航天器的磁矩大小可表示為：

(8)

若不約束2個磁矩大小相同，則由式(6)可得航天器j的磁矩大小：

(9)

4 仿真分析

不考慮電磁線圈產生電磁力大小的能力，假設電磁線圈能夠產生足夠大的力。線圈半徑為10 m，線圈匝數為1000匝，各軸電磁線圈中最大電流大小為50 A，每個帶線圈的航天器質量為36 kg。模擬退火算法中各參數設置為：馬可夫鏈長度為10000，衰減參數為0.95，Metropolis的步長為0.02，初始溫度為100 ℃，迭代次數為100次。控制律設計過程及軌道參數等見文獻[17]。

根據牛頓第三定律，兩航天器間的電磁力大小相等，方向相反，因此電磁力可表示為：

(10)

控制律在參考坐標系下的變化與電磁力的變化趨勢相同，質心坐標參考系中各軸電磁控制力如圖6所示：

圖6 電磁控制力

由文獻[17]可知，控制器從第9391s起控，根據模擬退火算法計算該時刻的最小總干擾力矩的過程如圖7所示：

圖7 第9391s總干擾力矩收斂情況

不約束和假設兩航天器磁矩大小相等2種情況下，實現磁矩最優分配的電流變化分別如圖8和9所示。2種情況的總干擾力矩，如圖10所示。

圖8 航天器線圈中電流的變化(不約束兩磁矩大小相等)

圖9 航天器線圈中電流的變化(假設兩磁矩大小相等)

圖10 總干擾力矩對比圖

圖10中，T1為不約束航天器磁矩大小情況的總干擾力矩；T2為兩航天器磁矩大小相等情況的總干擾力矩。由圖10可以看出，假設兩航天器的磁矩大小相等，目標函數的變化趨勢較平滑；不控制兩磁矩大小相等時，目標函數會出現過大的點，但是總體上總干擾力矩與磁矩相等的情況相比更小，即多數情況下目標函數更優。

兩航天器磁矩大小相等，可以使兩航天器線圈的耗能均衡，不會產生一個航天器的磁矩很大、另一個很小的情況，這種情況不僅不利于電流的改變，而且總干擾力矩可能會很大。因此，在進行磁矩分配問題的研究時，令兩航天器的磁矩大小相等更有利于實現更優的分配。

5 結論

提出一種基于電磁力的集群航天器磁矩最優分配方法，使地磁場干擾力矩和航天器之間干擾力矩的總干擾力矩最小。采用模擬退火算法計算兩航天器中各軸線圈中的電流，實現磁矩的最優分配。通過仿真分析不約束和假設兩航天器磁矩大小相等2種情況的磁矩分配，得出在進行磁矩分配問題研究時，令兩航天器的磁矩大小相等更有利于實現更優分配的結論。提出的磁矩最優分配方法能夠通過電流的最優分配，實現最優電磁力分配，耗能均衡。采用模擬退火算法可以更加快速得到電流的最優分配。下一步工作是針對多個集群航天器的情況，解決磁矩最優分配問題。