考慮攝動影響的連續推力軌道修正制導方法研究

周姜濱 葉 松 張華明

北京航天自動控制研究所，北京 100854

空間飛行器因為星箭分離或長時間飛行等原因會產生一定的軌道偏差，為了能夠順利完成后續任務，需要進行軌道修正來消除這一偏差[1]。經典的Hohmann轉移、雙橢圓轉移及蘭伯特變軌等軌道轉移與修正理論和方法[2-4]都要求滿足二體假設條件，并假設發動機推力充分大，在瞬間就能獲得所需要的速度增量，因此難以直接應用于工程實踐之中。田野[5]等提出了基于軌道方程線性化的中段飛行軌道修正方法，采用對線性化方程增加J2修正項的方法，減小軌道攝動引起的終端偏差。任金磊[6]等提出了基于速度增益制導的大橢圓轉移中段制導方法，通過優化修正時間設計了終端約束小、燃料消耗少的中段修正優化軌道。

提出了一種考慮攝動影響的連續推力軌道修正制導方法，考慮地球非球形引力及大氣阻力、日月引力和太陽光壓等攝動因素，將軌道修正問題轉換為二體假設條件下的蘭伯特變軌問題，通過迭代計算給出連續推力軌道修正制導指令，由地面站將制導指令上行至空間飛行器，空間飛行器接收并執行該指令，實現軌道修正，并開展數學仿真驗證。

1 蘭伯特變軌問題

蘭伯特變軌可以描述為：給定空間飛行器初始時刻的位置矢量rc0和速度矢量vc0，目標點位置矢量rtf和速度矢量vtf，以及軌道轉移時間tf，確定作用在空間飛行器上的2次速度增量Δv1和Δv2。求解蘭伯特變軌問題其實就是求解Gauss問題。Gauss問題的定義如下：給定2個位置矢量r1和r2，以及空間飛行器從r1運行到r2的飛行時間t和初始運動方向，求解空間飛行器在r1和r2處的速度矢量v1和v2。顯然，求解了Gauss問題，就解決了蘭伯特變軌問題[4]。

蘭伯特變軌過程如圖1所示，空間飛行器在初始時刻應具有的速度為

圖1 蘭伯特變軌

到達目標點時刻的速度為

式中，a為橢圓轉移軌道的半長軸；θ為rc0至rtf的夾角。

橢圓轉移軌道的半長軸a可表示為

其中，

式中，c為空間飛行器初始時刻的位置至目標點的距離；λ是蘭伯特參數，為迭代變量，其取值范圍為-π<λ<π。

蘭伯特變軌所需要的時間為

其中，

蘭伯特變軌所需要的2個速度增量分別為

Δv1=v0-vc0
Δv2=vtf-vf

在計算中需先對蘭伯特參數λ迭代求解，得到最省燃料消耗時的λopt，然后計算出橢圓轉移軌道的半長軸a。

2 高精度軌道預報

空間飛行器軌道預報通常由解析法(如擬平均根數法)和數值積分法(如Cowell法)，隨著計算機技術的發展，數值積分法得到廣泛應用。用J2000.0地心慣性坐標系中的位置和速度描述空間飛行器狀態，則其動力學模型的狀態向量微分方程可寫成[5]

其中，ax,ay,az為空間飛行器的加速度，有

式中，aC,aE,aD,aS,aL,aR分別表示控制力、地球引力、大氣阻力、日月引力和太陽光壓產生的加速度；aO為其他攝動加速度，此處將其忽略不計。控制力由制導系統給出，其余可建立準確的數學模型，利用四階龍格-庫塔積分方法對上述微分方程進行數值積分計算，得到空間飛行器的位置速度，完成軌道預報。

下面分別對地球引力、大氣阻力、日月引力和太陽光壓加速度進行數學建模。

1)地球引力加速度

用完全正常化的球諧函數表示的地球引力場位函數V可寫成

根據地球引力場位函數V即可得到地球引力加速度

2)大氣阻力加速度

大氣阻力加速度計算公式為

其中，CD為阻力系數，通常取2.2；SD為參考面積，m為質量；ρ為大氣密度；v為相對于大氣的速度。

3)太陽引力加速度

太陽引力計算公式為

其中，GMS為太陽引力常數。

4)月球引力加速度

同太陽引力加速度，月球引力計算公式為

其中，GML為月球引力常數。

5)太陽光壓加速度

太陽光壓計算公式為

其中，CR為表面反射系數；SR/m為太陽光壓面質比；ρSR為作用在距離太陽一個天文單位處單位面積黑體上的光壓力，一般取4.560×10-6N/m2。

3 考慮攝動影響的連續推力軌道修正制導方法

蘭伯特變軌利用2個速度脈沖實現了在二體假設條件下的軌道修正，而在實際工程應用中用于軌道修正的推力往往較小，需要連續作用，工作時間較長，不能近似為速度脈沖，另一方面，空間飛行器還會受到包括地球非球形引力、大氣阻力、日月引力和太陽光壓在內的各種攝動力的作用，并不滿足理想的二體假設。為此，提出考慮攝動影響的連續推力軌道修正制導方法，具體流程如圖2所示，相應描述如下：

1)將軌道修正問題轉換為二體假設條件下的蘭伯特變軌問題，根據初始位置矢量、(虛擬)目標點位置矢量和飛行時間求解所需要的速度脈沖；

2)將該速度脈沖等效為連續推力；

3)考慮地球非球形引力、大氣阻力、日月引力和太陽光壓等攝動因素，計算在連續推力作用下空間飛行器的實際位置；

4)利用實際位置與目標點位置的偏差構造新虛擬目標點，即虛擬目標點位置矢量減實際位置與目標點位置的偏差得到新虛擬目標點的位置矢量；

5)重復步驟1)～4)，計算至實際位置與目標點位置的偏差在允許范圍內，給出連續推力軌道修正制導指令。

圖2 考慮攝動影響的連續推力軌道修正制導流程

4 數學仿真與分析

為驗證提出的連續推力軌道修正制導方法的有效性，開展了相應的數學仿真驗證，圖3～7給出了某算例500次蒙特卡洛打靶數學仿真的計算結果。從仿真結果可以看出該制導算法具有較高的制導精度，半長軸偏差的平均值為-4.529m，偏心率偏差的平均值為2.905×10-7，升交點赤經偏差的平均值為-1.312×10-5(°)，軌道傾角偏差的平均值為-1.460×10-8(°)，近地點幅角偏差的平均值為-1.671×10-2(°)。

圖3 半長軸偏差

圖4 偏心率偏差

圖5 升交點赤經偏差

圖6 軌道傾角偏差

圖7 近地點幅角偏差

5 結論

為了消除在軌空間飛行器軌道偏差，本文從工程應用角度著眼提出了一種考慮攝動影響的連續推力軌道修正制導方法，該方法易于實現，仿真表明制導精度較高，能夠以上行制導指令的方式實現連續推力軌道修正，具有一定的實用價值。