知識有形，思想無形——從一道平行線“折線形”習題談數(shù)學思想

黑龍江省五常市第一中學校 曹雨杰

隨著新課程改革的不斷推進，中高考制度進一步深化改革，數(shù)學思想方法的地位和作用越發(fā)凸現(xiàn)出來。《數(shù)學課程標準（2011年版）》提到：“課程內(nèi)容要反映社會的需要、數(shù)學的特點，要符合學生的認知規(guī)律。它不僅包括數(shù)學的結(jié)果，也包括數(shù)學結(jié)果的形成過程和蘊涵的數(shù)學思想方法。”本文筆者將結(jié)合一道初中數(shù)學習題的教學，談一談教學中數(shù)學思想的滲透。

一、截大補小，巧用轉(zhuǎn)化

在七年級數(shù)學第五章《相交線與平行線》的一節(jié)習題課上，遇到了這樣一道習題：

已知：如圖1，AB∥CD。

求證：∠ABE +∠EDC =∠BED。

圖1

本題的考點是：平行線的性質(zhì)。由于之前的習題大多是“三線八角”式的基本圖形訓練，這道“折線形”的習題無疑讓學生不知如何下手，所以，引導學生將其轉(zhuǎn)化成我們熟知的平行線基本圖形，便是解決這道題的關(guān)鍵點。經(jīng)過老師的引導，學生容易想到過轉(zhuǎn)折處的E點作EF∥AB，進而將原圖拆分成如圖2的形狀，這樣，證明兩個角和等于第三個角的問題，就轉(zhuǎn)化成了兩組平行線基本圖形中內(nèi)錯角的問題了，將未知轉(zhuǎn)化為已知，問題迎刃而解。

圖2

“轉(zhuǎn)化”思想在數(shù)學中的應用，不僅可以開拓學生的思路，更能提高學生的學習興趣，使學生在輕松愉快中享受數(shù)學學習的快樂。接下來，我們可以繼續(xù)引導學生思考：既然我們可以將大角分成兩個小角，再證明它們與各自的內(nèi)錯角相等，那么，我們可不可以將兩個小角合在一起，證明得到的兩角和與大角相等呢？于是便有了如圖3的證明方法。（過點D作DG∥BE，交AB延長線于點G）

圖3

“截大”與“補小”殊途同歸。“分”與“合”之中，不動聲色地滲透了數(shù)學中較為常用的轉(zhuǎn)化思想。通過訓練，讓學生養(yǎng)成多角度考慮問題的習慣，形成科學的思維習慣，優(yōu)化學生的思維品質(zhì)。

二、逆向發(fā)散，變中不變

如果我們將本題的題設(shè)與結(jié)論交換位置，那么，一道平行線的性質(zhì)題就會轉(zhuǎn)變成平行線的判定問題。即：

已知：如圖4，∠ABE +∠EDC =∠BED。

求證：AB∥CD。

圖4

既然圖形沒有改變，仿照原題的證明方式，學生便可以很快找到解決問題的方法。其實好多老師在注重轉(zhuǎn)化思想的同時，卻忽視了“變中有不變”的數(shù)學思想，我們可以從一道習題入手，給出多種解題路徑，引導學生通過將未知轉(zhuǎn)化成已知解決新的問題，從中培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學思維能力。

因勢利導，我們可以將點E的位置適當改變，形成一道新的平行線性質(zhì)題：

已知：如圖5，AB∥CD。

求證：∠ABE+∠EDC+∠BED=360°。

圖5

雖然圖形變了，結(jié)論也變了，但學生依舊能夠很快根據(jù)原題的思想和方法，過轉(zhuǎn)折點E作AB的平行線，輕松解決問題，也許，這也正是數(shù)學的魅力所在。莫斯科大學教授C.A.雅潔卡婭演講時曾提出：“解題就是把要解題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題。”透過有形的文字和圖形，挖掘隱藏在背后的無形的數(shù)學思想，則可以讓學生從整體上、本質(zhì)上理解數(shù)學，科學靈活地使用數(shù)學方法解決問題。

三、舉一反三，聯(lián)想類比

《論語·述而》中有：“舉一隅不以三隅反,則不復也。”如果我們繼續(xù)將原題中點E的位置進行改變，形成圖6的樣子，已知不變，并將結(jié)論開放，這樣就可以進一步拓展學生的思維能力，幫助學生學習新技能,達到舉一反三、觸類旁通的目的。

圖6

已知：如圖6，AB∥CD，連接BE，DE。

探究：∠ABE、∠EDC、∠BED 有何關(guān)系？

通過類比之前的習題，過轉(zhuǎn)折點E作AB的平行線，學生能夠很快得出結(jié)論：∠ABE-∠EDC=∠BED。由此知彼，由舊知新，我們只要發(fā)現(xiàn)此題與原題之間的聯(lián)系，加以認真思考,就能夠在新的圖形中模仿學過的數(shù)學方法解決問題。

既然可以改變點E的位置，那么，點E都可以在哪里呢？每個相應位置的結(jié)論又是怎么樣的呢？學到這里，學生不免有這樣的好奇心理了。言有盡而意無窮，難道點E的位置有無限多嗎？答案當然是否定的。

四、一網(wǎng)打盡，分類討論

要想知道點E到底有多少位置，這里就不得不使用分類討論了。所謂分類討論，就是分別歸類再進行討論的意思，為了尋找它們各自的共同點及內(nèi)在的規(guī)律性，首先就要找到區(qū)別于不同位置的分類標準。深入思考以后我們不難發(fā)現(xiàn)，平行線AB、CD和截線BD將平面分成了六個部分（如圖7），如果不考慮點E落到這三條線上，則點E的位置共用六處。正確選擇分類的標準，進行合理的分類后，就可以逐類討論解決，所用方法類比之前的，學生可以很快給出各個位置上的結(jié)論。

圖7

五、授人以漁，建立模型

為了進一步激發(fā)學生的學習興趣，根據(jù)“學數(shù)學、做數(shù)學、用數(shù)學”的理念，鼓勵學生探究，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神，除了改變點E的位置外，還可以改變折線的條數(shù)和方向，如圖8、圖9。仿照原題建立模型，由哪轉(zhuǎn)折，在哪作線，即可解決類似問題。

圖8

圖9

總之，數(shù)學的世界是豐富多彩的，我們要學會用數(shù)學的眼光看世界。一節(jié)課不能讓你通曉所有的數(shù)學奧秘，但卻可以啟發(fā)你探究數(shù)學的思維。與“有形”的數(shù)學知識相比，那些“一切已學過的東西都忘掉時所剩下的東西”就是“無形”的數(shù)學思想。作為一名中學數(shù)學教師，只有領(lǐng)悟并掌握數(shù)學的基本思想,才能更加準確地理解教材，有效組織教學，進而讓學生在學習中體悟到數(shù)學思想，使學生的思維水平得到提高。