數列解題中易錯問題例析

山東省青島市城陽區第一高級中學 潘繼祥

數列是高中數學的重要內容之一，也是歷年高考數學考查的熱點之一，由于數列考查學生的綜合能力較強，學生在解題的過程中經常會因為定義公式不清、審題不細、忽略條件、思想方法考慮不周等原因而錯解題目。下面就一些常見錯誤分類例析如下。

一、對概念理解不透徹致誤

例1 已知數列{an}的前n項和為Sn，，求通項an。

錯解：由 Sn+1得 Sn-1+1，兩式相減得 ，則有=2，所以數列{an}為等比數列，又 ，所以 。

錯因分析：對等比數列的概念理解不透，由 Sn+1和忽視了n≥2，從而漏掉檢驗

正解：數列{an}從第二項起構成等比數列，所以當n≥2時，

例2 等比數列{an}中，已知an＞0， ，求a5，a7的等比中項。

錯解：設該等比數列的公比為q，首項為a1，由題意得解得則的等比中項為3。

錯因分析：對等比中項的概念理解不透，誤認為a5，a7的等比中項為a6，要明確非0同號兩數的等比中項有兩個，且互為相反數。可設G為a5，a7的等比中項，則 ，所以a5，a7的等比中項為3或-3。故正確答案為3或-3。

二、公式應用錯誤致誤

例3 設等比數列{an}的前n項和為Sn，若，求數列的公比q。

錯因分析：錯誤在于用等比數列求和公式時忽視要分兩種情況q=1和q≠1討論，即當q=1時，則有 ，顯然，與題設矛盾，故q≠1；當q≠1時，解法如上。所以正確答案為

三、審題不細，抓不住問題的本質致誤

例4 已知等差數列{an}，首項a1=5，前n項和為Sn，僅當n=10時Sn取最大值，求公差d的范圍。

錯解：因為僅當n=10時Sn取最大值，由等差數列單調性知前10項為非負，所以，

錯因分析：對等差數列的單調性理解不夠，由題意知此數列為遞減數列，僅當n=10時Sn取最大值，隱含條件為前面10項都大于0，沒有0項，所以由相鄰兩項 組成不等式組解得

例5 已知等差數列{an}的首項公差d＞0，從第10項起每一項都大于1，求公差d的范圍。

錯因分析：對等差數列的單調性理解不夠，由公差d＞0知此數列為遞增數列，從第10項起每一項都大于1，隱含條件為前面的每一項都小于等于1，所以由相鄰兩項 組成不等式組得

四、混淆數列與函數的思想方法致誤

錯因分析：上述解法忽略了數列中的項數n應為正整數這個條件。由于n∈N＊，所以當n取距離最近的正整數2時，an取得最大值13。∴數列{an}中的最大項為a2=13。

例7 已知數列{an}是遞增數列且，求實數λ的取值范圍。

五、忽視分類討論思想致誤

例8 已知數列{an}的前n項和Sn=12n-n2。（1）求通項an；（2）求數列的前n項和Tn。

錯因分析：兩問都忽視了分類討論的思想，前者忽視了an=Sn-Sn-1只有n≥2時才能成立，當n=1時，a1=S1=12×1-12=11，也符合 an=13-2n，所以an=13-2n。后者忽視了對n的討論。

上面簡單地列舉了數列解題中常犯的一些錯誤，當然,易錯點遠不止這些。要想在解題過程中少出錯誤，我們首先要吃透定義與公式，掌握數列性質的內涵與外延，深刻理解數列所蘊含的數學思想。抓住問題的本質，揭示問題的內在聯系和隱含條件，明確解題方向，才能打通解題思路，同時做一些必要的針對性練習，記錄自己在練習中經常出現的錯誤并進行反思，這樣就能避免出現類似錯誤。