一類平面向量問題的解題技巧

福建省武夷山第一中學(xué) 葛香珠

高考試題“源于教材，高于教材”，從教材中尋找試題的生長點，鉆研教材，有利于發(fā)揮教材的教育教學(xué)功能。下面利用平面向量的共線定理，我們可以得到一個很實用的結(jié)論，限于篇幅，略舉三例。

結(jié)論：已知A,B,C三點共線，O是平面內(nèi)的任意一點，則存在實數(shù)x,y,使得

證明：因為 A,B,C三點共線，所以存在實數(shù)λ，使得 ，

下面將從三個例子解釋其應(yīng)用規(guī)律。

解：由題設(shè)知A,M,Q三點共線,根據(jù)上面結(jié)論得，存在實數(shù)x,y,

圖1

例2 如圖2，給定兩個長度為1的平面向量 和 ，它們的夾角為120°，點C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上移動。若其中x，y∈R，則x+y的最大值為 __________。

解：設(shè)AB與OC交于點D,

根據(jù)上面定理及結(jié)論，存在實數(shù)m，n，λ,

根據(jù)平面向量的基本定理得m+n=λx+λy=1（λ＞0），

圖2

故x+y的最大值為2。

例3 （2017課標(biāo)3，理12）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上。若則λ+μ的最大值為( )。

解：如圖3所示，建立平面直角坐標(biāo)系，

圖3

設(shè)AP與BD交于點E，

根據(jù)上面定理及結(jié)論，存在實數(shù)x，y，λ，

過點P作PF∥AB交直線BD于點F，則△ABE與△PFE相似，

以上例題采用建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用函數(shù)與方程的思想方法解題，也是不錯的思路，讀者不妨試試。

我們可以把上面的定理和結(jié)論作為一個解題模板，用來研究形如的題型，特別注意三點共線時，x+y=1是解決這類問題的關(guān)鍵點和難點所在，必要時結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運算，幾何知識與三角函數(shù)會加快解題速度。