關于“小孔成像”的研究

潘志民 金凱文 潘開欣

(1 南京外國語學校，江蘇 南京 210008； 2南京邁塔科創教育技術有限公司，江蘇 南京 210019)

1 從幾何光學看“小孔成像”

光在同種均勻物質中沿直線傳播，這是幾何光學中的一個基本觀點。一直以來，“小孔成像”僅僅作為光的直線傳播的實驗為大家所共知。

圖1 “小孔成像”示意圖

查百度百科“小孔成像”的實驗結論有：物距越近，像越大且亮度越暗；物距越遠，像越小且亮度越亮。像距越近，所成像越小且亮；反之，越大且暗。孔只要夠小，它的形狀不論是方的、圓的、扁圓的，對像的清晰程度和像的形狀都沒有影響。

在圖1中我們把蠟燭的火焰看成是由許多小發光點組成，每個發光點都向四面八方發射著光。總會有一小束光，筆直地穿過小孔，在白紙上形成一個小光斑。燭焰上的每一個發光點都會在白紙上形成一個對應的光斑，全部光斑在白紙上就組成了一個燭焰的像。

通常認為“小孔成像”成的是倒立的實像，其實嚴格說來，小孔成像并沒有“成像”，“小孔成像”與幾何光學中的成像含義截然不同。后者是同心光束經過光學儀器后變換為另一同心光束，若變換所得同心光束是匯聚光束則稱為實像，變換所得同心光束是發散光束則稱為虛像，成像位置即同心光束之“心”所在位置，它在空間上是一定的，因而人眼可以直接觀察物體經過光學儀器所成的像。而“小孔成像”的“像”不是同心光束之間的變換，它只是小孔選擇物體表面上各物點發出的各種光線中的各一條(由物點至小孔的直線所決定)，它需要投射到一個平面屏上，光點代表了物點在物體上的相對位置和亮度，人眼才能觀察到像(經過了人腦的綜合作用)，像的大小隨平面屏的位置而變化，平面屏離小孔越遠小孔成像就越大。

圖2 “小孔成像”的幾何關系

小孔的尺度會導致物平面上的點在像平面成像時產生模糊,原因在于小孔有一定的幾何尺寸, 并非幾何點, 所以物點發出的光線經過小孔后就形成了擴散的光束, 落在光屏上就變成了光斑(像斑) 而不是光點。光斑間發生相互重疊, 就產生了像的失真。若當像平面兩個光斑之間恰好沒有重疊(即恰好相切)時，可以視為能夠分辨。在圖2中，設物距為u，像距為v，小孔直徑為d，某點(A或B)通過小孔在像屏P上形成的光斑(A′或B′)直徑為D，則有

(1)

若物平面上相距δH的兩個點，在像平面上成的光斑恰好沒有交疊，其對應像斑中央在像平面上的距離為δH1，有

δH1≈D

(2)

在圖中存在幾何關系

(3)

綜合以上諸式，有

(4)

據此可以得出，“小孔成像”可以分辨的最小距離δH與小孔直徑d成正比，與物到小孔距離u呈正相關關系，與小孔到屏幕距離v呈負相關關系。“小孔成像”中從幾何光學看，小孔越小成像會越清晰，但實際上不會，原因是孔徑太小成像光能就會減少，從而影響成像的亮度，導致不清晰。

2 從波動光學看“小孔成像”

從波動光學的角度來看，光波是波長極短(幾百納米)的電磁波。在同一種介質中，光波的波線為直線，考慮短波長近似(忽略衍射)，光波束可以用光線來表示。通常被觀測物體的線度遠遠大于光波波長，若小孔線度滿足遠遠大于光波波長，而且還要遠小于物體的線度，物體表面上各點(物點)發出(或反射出)的光線經過小孔屏后，投射到一個平面承接屏上，平面屏上投射光的分布將體現出物體的輪廓，這就是所謂“小孔成像”。

若小孔線度不滿足遠遠大于光波波長，由于光具有波動性，衍射會對小孔成像產生影響，幾何光斑的邊界處不再亮暗分明。人眼觀察小孔成像，不僅受到像質(大小、形狀、色彩等)的影響，還會受到成像亮度(成像光強)的影響，成像太暗便觀察不清。也就是說小孔孔徑的變化，不僅影響像質，還影響亮度。

2.1 小孔衍射對成像分辨率的影響

(5)

作出最小分辨距離δH與小孔直徑d關系的趨勢示意圖如圖3所示。從圖中我們可以看到：當孔徑較大的時候，幾何光學對分辨率的影響占主要地位；當孔徑較小的時候，主要的限制因素則為衍射。圖中的“總體效果”綜合兩種因素定性地反映出總體變化趨勢，可知當小孔直徑取適當值時，有最小分辨距離，此時成像的分辨能力最強。

圖3 最小分辨距離與小孔直徑關系示意圖

2.2 孔徑、物距和像距等參數對成像亮度的影響

被觀測物體(等效為光源)均勻發光時，其光通量Φ恒定。各等效光源點到小孔的方向隨物距u變化，物體相對于物距很小時，可忽略方向的變化，各源點到小孔的發光強度均可視為一常量。記物體在小孔處的發光強度為I，則像方的光通量為

(6)

式中，d為小孔直徑；ΔΩ為小孔對某源點的方位角，在方位角的計算中運用了小角近似。

我們實驗中使用圓形物體正對小孔放置，設其直徑為H、像的尺寸為H1，在“小孔成像”中有幾何關系

(7)

像的面積為

(8)

則在光屏(毛玻璃)上所得像的照度為

(9)

光屏上像的光亮度正比于此照度。此式說明，對于確定的被觀測物體H一定，像的亮度與小孔直徑d呈正相關關系，與小孔到屏幕距離v呈負相關關系；還表明像的光亮度與物距無關，這一點與百度百科中“物距越近，像越大且亮度越暗；物距越遠，像越小且亮度越亮”的結論完全不同。

那么，物距、像距和孔徑與成像亮度、清晰度有何關系，以及小孔直徑取何值時，小孔成像的分辨能力最強，下面通過實驗來定量研究這些因素對小孔成像的影響。

3 “小孔成像”的現代物理實驗研究

3.1 研究孔徑、物距和像距對成像清晰度的影響

設物的尺度H，像的尺度H1，小孔直徑d，小孔屏到物的距離u，小孔屏距離像屏v。從實驗上得出它們的相對關系為何值(或者何范圍)時，成像效果最佳。也就是說，通過實驗結果能知道欲使成像清晰，小孔是大一些好呢，還是小一些好？物距和像距是近一些好還是遠一些好？

3.1.1 實驗研究孔徑對成像清晰度的影響

實驗中使用白熾燈作為光源，用于被觀測圓形物體的直徑為H=4mm。首先將物距u、像距v均控制在6cm，改變孔徑d大小，用CMOS照相系統(包含CMOS相機，0.6倍遠心鏡頭)對小孔的成像進行采集，以下是其中對孔徑100μm、200μm、500μm等3種小孔的成像的采集結果：

由圖4可以看到，孔徑d=200μm小孔的成像質量最佳，邊緣的亮度突變最為顯著，d=100μm時由于衍射效應導致邊緣模糊，而d=500μm時由于孔徑過大導致邊緣模糊。故，以下實驗均采用孔徑d=200μm小孔。

3.1.2 研究物距和像距對成像大小及清晰度的影響

現控制小孔直徑d=200μm，實驗中仍使用白熾燈作為光源，被觀測物體直徑H=4mm。控制曝光時間和增益為恒定值，改變物距u和像距v，測量其對成像大小及清晰程度的影響。以下為采集到的部分圖片：

對采集到的圖片進行比對，可以發現物、像距對像邊緣清晰度的影響較小。那么可以認為物、像距對成像清晰程度的影響主要在于對像尺寸和亮度的影響。我們使用Tracker軟件對圖片的像尺寸H1和亮度B進行分析，得到物距u、像距v和像尺寸H1、亮度B關系曲線如下：

由圖6至圖9可見像尺寸(大小)與像距呈正相關，而亮度與像距呈負相關；像尺寸與物距呈負相關，而像亮度在物距變化時保持了一個相對恒定的值。

圖4 3種不同孔徑小孔成像實驗采集結果

圖5 小孔成像大小及清晰程度與物距u、像距v的關系

圖6 像尺寸H1—像距v曲線(物距u=6cm)

圖7 亮度B—像距v曲線(物距u=6cm)

圖9 亮度B—物距曲線u(像距v=6cm)

要想使成像更清晰，必須保證像具有足夠大的尺寸和足夠高的亮度。對于像距而言，為使成像足夠大，像距不宜過小，而同時為使亮度足夠高，像距不宜過大。對于物距而言，由于物距不影響成像的亮度，故可以縮小物距以使成像尺寸增大至圖像采集設備的采集極限。

圖11

3.2 “小孔成像”分辨本領的實驗研究

首先使用直徑100μm的針孔作為物點，使用d=200μm小孔屏用于成像，控制物距u和像距v均為6cm，圖像采集設備得到圖像如圖10所示。

圖 10

使用Tracker軟件對圖11(a)中劃線部分的亮度進行分析，得相對亮度曲線如圖11(b)。

以最大亮度值的一半作為光斑的邊緣，可以得到光斑的直徑約為22個像素。根據所用相機(單個像素大小：5.86*5.86μm)以及遠心鏡頭的參數(0.6倍)，可以求得光屏上的成像直徑約為215μm。

由于100μm的針孔相對于成像用的d=200μm小孔來說不夠小，所以我們接下來使用分辨率板。將分辨率板置于光源前，控制物距u和像距v均為6cm，使用d=200μm的小孔進行成像實驗，以下為得到的部分圖像(圖12)(圖中數字X代表黑條紋的間距為δH=1/(2*X)mm)：

可以看到，條紋間距δH在0.18mm(1/5.6)以上時，依然可以較清晰的分辨，而在0.14mm(1/7.2)及0.12mm(1/8.0)時已經較難分辨，當條紋間距小于0.11mm(1/9.0)時已然完全無法分辨。

如果我們取δH=0.20mm(1/5.0)為能清晰分辨，恰好是由式(4)代入數據后算出結果的一半。這里固然有衍射的因素，更主要應該是我們推導式(4)要求的條件過高所致。不妨將其修改為“當像平面兩個光斑中央間的距離等于其半徑時，可以視為恰好能夠分辨。”則式(2)變為：δH1≈D/2，相應式(4)修正為

(10)

將此式變形可得

(11)

實驗中在物距u和像距v確定條件下，滿足一定的分辨率(最小分辨距離δH)要求，此式可作為在衍射可忽略時選擇“小孔成像”合適孔徑d的經驗公式。

3.3 實驗研究“小孔成像”視場范圍的限制條件

圖 12

在這部分實驗中，我們用小孔點陣代表物點，經過小孔成像后，看它們的相對位置是否與物點一致，它們的相對亮度是否與物點的一致，即它能夠得到輪廓逼真的像。通過實驗得到小孔成像視場范圍的限制條件。

現使用間距為2mm，直徑為0.5mm的小孔點陣置于光源前，控制物距u和像距v為6cm，使用d=200μm小孔成像，得到部分點的圖像如圖13所示。

圖 13

使用Tracker軟件對圖13中光斑中心的距離進行測量，可以發現距離基本一致，說明小孔成像對發光物體的形狀還原得很好，但可以很明顯地發現，圖中各點的亮度明顯不同，而實際物體亮度應是均勻的。

現采集圖13中劃出的水平線段的亮度值，得到如下曲線(見圖14)。

可以看到，對于左數第一個峰，亮度峰值已經衰減到最亮點亮度峰值的一半左右，而根據點陣參數和物距u可以求得，該點偏離主軸的偏轉角僅為7.59°。故可以推測，對于尺寸較大的物體，如果不對物距加以控制，小孔系統所成的像將會在亮度上嚴重失真。

說明在做“小孔成像”實驗時，被觀測物體當置于小孔屏的正前方，且物體對小孔的張角不宜過大。

4 結語與致謝

圖 14

一直以來，小孔成像僅僅作為光的直線傳播的實驗為大家所共知，而涉及小孔成像問題的深入研究，包括理論研究和實驗研究，未見到有相關的報道。本文為作者在指導學生研究第30屆國際青年物理學家競賽(IYPT2017)第3題的基礎上形成，題目要求設計用小孔光闌替代目鏡，自制出簡易的單透鏡望遠鏡。出于興趣和需要，我們先從幾何光學和波動光學的理論層面做了關于小孔成像問題的深入研究，進而使用現代光學實驗技術并借助于ToupView和Tracker等計算機軟件對實驗數據進行了詳細的分析。從而得到了一般性結論，發現理論和實驗具有良好的自洽性。

小孔成像的分辨率、像的大小和亮度均會影響我們觀察小孔成像清晰程度的主觀感覺。具體來說，本文研究得到的結論有：

(1) 物距和像距影響成像大小：物距越小，像距越大，成像越大。

(2) 對于孔徑，從幾何光學的角度是孔徑越小成像越清晰(不考慮亮度影響)，從波動光學的角度是孔越小，衍射越明顯，成像越模糊。理論和實驗均表明：當小孔直徑取適當值時，有最小分辨距離，邊緣的亮度突變最為顯著，此時成像的分辨能力最強，成像質量最佳。

(3) 孔徑、物距和像距均會影響成像亮度；像距增大，成像亮度減弱；物距變化，成像亮度變化不明顯；小孔孔徑在一定范圍內增大，成像亮度會增加。

(4)小孔成像對發光物體的形狀還原得很好，可以很明顯的發現，遠離成像中心亮度明顯減弱，而實際物體亮度應是均勻的，小孔成像具有邊緣模糊化的趨勢。

我們把以上研究結果引入望遠鏡系統，指導學生自制單透鏡望遠鏡，比較好地完成了IYPT2017第3題，使得研究更加深入與實際。

本文在理論研究上盡管給出了分辨率與孔徑、物距和像距的經驗公式，但略顯粗糙，希望進一步依據物理光學理論精確推導出分辨率與孔徑、物距和像距的函數關系，作為指導實驗的理論根據。在實驗研究方面，需要提高測量精度，也可以使用相干光源進一步研究，希望能精確測出在不同物距和像距條件下最佳成像孔徑，以期給成像技術應用有更好的借鑒作用。另一方面，由于“小孔成像”不是真正的物理成像，不太能被方便地處理和利用，加上小孔通光孔徑小，能量利用率低，因此“小孔成像”未能在成像科學技術中被廣泛利用。但從自然科學的角度，對小孔成像問題作深入研究是很有意義的，同時本文所做研究對指導中學物理教學以及在照相機和攝影機等成像科學技術中領域也有一定的借鑒意義。

最后在此感謝清華大學路俊嶺教授給予的理論指導和研究建議；感謝南京邁塔光電Metalab創新實驗基地給予的實驗支持，感謝雎長城博士提供寶貴意見。

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