剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量綜合演示儀在教學(xué)上的應(yīng)用

楊振清 宋 頂 林春丹 周廣剛 張萬松

(中國石油大學(xué)(北京) 1理學(xué)院； 2 機(jī)械與儲(chǔ)運(yùn)工程學(xué)院，北京 102200)

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是反映剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性量度的重要物理量，在工程、工業(yè)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。大學(xué)物理中剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量部分是教學(xué)重點(diǎn)也是教學(xué)難點(diǎn)[1,2]。目前轉(zhuǎn)動(dòng)慣量演示實(shí)驗(yàn)主要是外形相同質(zhì)量分布不同的圓柱體在斜面上滾動(dòng)快慢來研究轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)滾動(dòng)速度的影響，因其形狀單一，難以進(jìn)行定量分析。為此我們?cè)O(shè)計(jì)了能夠演示并定量比較典型形狀包括薄圓筒、圓柱體、薄球殼、實(shí)心球體在斜面上滾動(dòng)快慢的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量綜合演示儀，同時(shí)能夠測(cè)量桿狀剛體的轉(zhuǎn)軸位置變化引起桿狀剛體轉(zhuǎn)動(dòng)速度變化,從而有助于學(xué)生理解剛體轉(zhuǎn)軸位置變化會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小變化的平行軸定理[3-6]。通過該裝置的演示加強(qiáng)學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的理解。

1 裝置的組成結(jié)構(gòu)及原理

1.1 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量演示儀的組成

實(shí)驗(yàn)裝置結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要由斜面基座、豎直基座、光電計(jì)時(shí)器組成。豎直基座用于觀察桿狀剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)情況。轉(zhuǎn)軸用于固定桿狀剛體，繞在滑輪上的繩索設(shè)有擋光片且其自由端連接重錘，滑輪在重錘的作用下轉(zhuǎn)動(dòng)，擋光片在下降過程中依次經(jīng)過光電門A1和光電門A2，使光電計(jì)時(shí)器A隨之啟動(dòng)計(jì)時(shí)和停止計(jì)時(shí)并顯示下落時(shí)間。斜面基座用于觀察剛體在斜面滾動(dòng)的快慢。剛體初時(shí)被第一擋剛體板固定在斜面頂部，當(dāng)向上抬起擋剛體板的瞬間，第一擋光門桿通過光電門B1，使光電計(jì)時(shí)器B開始計(jì)時(shí)，剛體開始沿斜面滾落；隨著剛體滾落至下面，第二擋光門桿轉(zhuǎn)動(dòng)后通過第二光電門B2時(shí)停止計(jì)時(shí),光電計(jì)時(shí)器B顯示剛體滾動(dòng)時(shí)間。滾動(dòng)斜面的底端設(shè)有制動(dòng)擋板,以防止剛體滾出斜面基座外。

圖2是制作完成的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量綜合演示儀實(shí)物圖，光電計(jì)時(shí)器A 和B的計(jì)時(shí)單位可以分別調(diào)整為秒或毫秒。桿狀剛體下落時(shí)間較短，所以以毫秒為單位來顯示。剛體在斜面滾動(dòng)時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng),所以以秒為單位顯示。

1.2 實(shí)驗(yàn)測(cè)量原理

實(shí)驗(yàn)分為半徑相同的圓柱、球形剛體沿斜面純滾動(dòng)時(shí)間(斜面夾角滿足純滾動(dòng))的測(cè)量和桿狀剛體繞不同的軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)系統(tǒng)在垂直轉(zhuǎn)動(dòng)架中下落的時(shí)間測(cè)量?jī)刹糠帧０霃较嗤膱A柱、球形剛體在斜面頂部由靜止開始滾動(dòng)到底部光電計(jì)時(shí)器B記錄滾動(dòng)時(shí)間。第二部分實(shí)驗(yàn)滑輪轉(zhuǎn)軸中心與桿狀剛體中心連接或與剛體一端連接以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)軸在桿狀剛體中心或轉(zhuǎn)軸在剛體一端的兩種情況。光電計(jì)時(shí)器A記錄上述兩種情況下系統(tǒng)從光電門A1到A2的所需時(shí)間。通過上述兩個(gè)實(shí)驗(yàn)可以驗(yàn)證質(zhì)量分布對(duì)滾動(dòng)速度的影響及桿狀剛體系統(tǒng)轉(zhuǎn)軸位置對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響。

1.2.1 圓柱、球形剛體實(shí)驗(yàn)

如圖3所示，半徑為R,

質(zhì)量為m的剛體在傾角為θ的斜面上作純滾動(dòng)。質(zhì)心為O點(diǎn)。過質(zhì)心平行于斜面的坐標(biāo)軸為y軸,過質(zhì)心垂直斜面的坐標(biāo)軸為x軸，建立坐標(biāo)軸并進(jìn)行受力分析。設(shè)質(zhì)心滾動(dòng)距離為L(zhǎng),滾動(dòng)時(shí)間為t1，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。(設(shè)靜摩擦力f沿斜面向上)

圖1 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量綜合演示儀結(jié)構(gòu)圖

圖2 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量綜合演示儀實(shí)物圖

圖3 斜面滾動(dòng)剛體受力分析圖

由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理可得剛體的動(dòng)力學(xué)方程[7,8]：

解方程組可得

(6)

1.2.2 桿狀剛體實(shí)驗(yàn)

如圖4所示,質(zhì)量為m，長(zhǎng)度為l的桿狀剛體固定在轉(zhuǎn)軸上，繞在半徑為r的轉(zhuǎn)軸上的細(xì)線與質(zhì)量為M1的重錘連接，滑輪質(zhì)量為M2,擋光門桿依次經(jīng)過光電門A1和A2所花費(fèi)時(shí)間為t，下落的距離為H。設(shè)下落的加速度為a，滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為α。

圖4 桿狀剛體系統(tǒng)受力分析圖

圖4中，M1受到的拉力T2和滑輪受到的拉力T1大小相等，以T表示。定滑輪和桿狀剛體組成的系統(tǒng)總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J*。對(duì)軸O,有

對(duì)細(xì)繩受力分析,得

M1a=M1g-T

(9)

同時(shí)有

(10)

解此方程組可得

(11)

2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理與分析

2.1 圓柱、形球形剛體實(shí)驗(yàn)

學(xué)生在學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，常常認(rèn)為剛體在斜面上滾動(dòng)的快慢與質(zhì)量有關(guān)；半徑小的球體或短的柱體滾動(dòng)比半徑大、較長(zhǎng)的柱體要滾動(dòng)得快。因此我們針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)存在的理解誤區(qū)，利用該轉(zhuǎn)動(dòng)慣量演示儀做了對(duì)比實(shí)驗(yàn)。

為了定性地了解剛體在斜面做無滑動(dòng)滾動(dòng)的快慢與哪些因素有關(guān)，如表1中所示相鄰兩個(gè)為一組，共進(jìn)行了4組對(duì)比實(shí)驗(yàn)：除對(duì)比因素外，其他條件相同。

表1 材質(zhì)、半徑及長(zhǎng)度不同時(shí)的滾動(dòng)對(duì)比實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

前3組實(shí)驗(yàn)中滾動(dòng)時(shí)間幾乎相同，說明了剛體在斜面上純滾動(dòng)快慢與剛體的材質(zhì)(即質(zhì)量)、長(zhǎng)度、半徑無關(guān)。而第4組半徑不同的球殼滾動(dòng)時(shí)間有偏差，這是因?yàn)榍驓び幸欢ǖ暮穸龋舭辞驓ぬ幚戆霃叫〉谋劝霃酱髢?nèi)徑厚度的影響更大,所以兩個(gè)半徑不同的薄球殼滾動(dòng)時(shí)間有一定的偏差。因此半徑不同的實(shí)心剛體如第1組實(shí)驗(yàn)演示滾動(dòng)時(shí)間與半徑無關(guān)的現(xiàn)象效果更為理想。

為了進(jìn)一步探究說明不同形狀對(duì)剛體滾動(dòng)快慢有何影響，半徑相同的薄球殼、球體, 底面圓半徑相同的薄圓環(huán)、圓盤圓形在斜面無滑滾動(dòng)測(cè)得時(shí)間如表2所示。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示薄球殼與薄圓筒的質(zhì)量及半徑相同,但二者滾動(dòng)時(shí)間不相同。而形狀半徑相同的球殼與球體、薄圓筒與圓柱體滾動(dòng)時(shí)間仍然不相同，但是球殼比實(shí)心球體、薄圓筒比圓柱體需要的時(shí)間長(zhǎng)，這是因?yàn)榍罢叩馁|(zhì)量分布相對(duì)于轉(zhuǎn)軸遠(yuǎn)一些。

表2 不同形狀、半徑相同時(shí)的剛體滾動(dòng)對(duì)比

設(shè)測(cè)量剛體標(biāo)準(zhǔn)J/m剛R2為λ，將式(6)兩邊同時(shí)平方可得：

(12)

根據(jù)測(cè)量的剛體滾動(dòng)時(shí)間計(jì)算對(duì)應(yīng)的λ(J/m剛R2) 數(shù)據(jù)如表3所示，與理論值偏差在3.0%以內(nèi)。

表3 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量系數(shù)比較

利用最小二乘法處理數(shù)據(jù)擬合得曲線如圖5所示，其方程為

t2=0.7898λ+0.8095

(13)

圖5 t2與J/m剛R2擬合圖

2.2 桿狀剛體實(shí)驗(yàn)

常有學(xué)生誤認(rèn)為一個(gè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是一個(gè)定值。本裝置通過巧妙的設(shè)計(jì)可以改變桿狀剛體轉(zhuǎn)軸的位置:轉(zhuǎn)軸在桿狀剛體中心和在剛體一端兩種情況。假設(shè)定滑輪和桿狀剛體組成的系統(tǒng)總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J*可表示為

(14)

(15)

由此得桿狀剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

(16)

我們進(jìn)行了無桿狀剛體、桿狀剛體中心安裝在滑輪中心及剛體一端連在滑輪中心3種情況下的實(shí)驗(yàn)。本實(shí)驗(yàn)剛體下落高度H=58.30cm,M1=105g,r=18.14mm。通過改變其轉(zhuǎn)軸位置測(cè)量的系統(tǒng)下落時(shí)間及根據(jù)式(16)求出的轉(zhuǎn)軸在中心及轉(zhuǎn)軸在桿一端時(shí)的桿狀下落高度剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量值見表4所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明改變轉(zhuǎn)軸位置,引起了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化,從而影響了桿狀剛體轉(zhuǎn)動(dòng)速度。

表4 桿狀剛體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果得出的轉(zhuǎn)軸在桿的中心位置和轉(zhuǎn)軸在桿一端時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量滿足1∶4的關(guān)系,說明剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小隨著轉(zhuǎn)軸位置改變而發(fā)生變化，同時(shí)也驗(yàn)證了剛體的平行軸定理,該裝置可以用于實(shí)現(xiàn)定量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量。

3 結(jié)語

我們?cè)O(shè)計(jì)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量綜合演示儀可以演示幾種典型形狀的剛體在斜面上的純滾動(dòng)現(xiàn)象，既可以定性比較滾動(dòng)時(shí)間長(zhǎng)短與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的關(guān)系，同時(shí)還可以進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定量測(cè)量。通過改變桿狀剛體的轉(zhuǎn)軸位置從而改變其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小，可以用于驗(yàn)證平行軸定理。該設(shè)備桿狀剛體的轉(zhuǎn)軸設(shè)計(jì)非常巧妙，演示現(xiàn)象直觀生動(dòng)，不僅能夠幫助學(xué)生理解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量概念及影響其大小的相關(guān)因素，顯著提高教學(xué)效果。由于該設(shè)備具備定量測(cè)量系統(tǒng)，所以可以開發(fā)新的力學(xué)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目。

■