基于最小二乘法的GPS衛(wèi)星偽距定位橢球面擬合

馮汀 甘淑 袁希平

摘要： 針對全球定位系統(tǒng)在定位過程中產(chǎn)生的誤差的問題，提出了一種基于最小二乘法的偽距定位坐標(biāo)的橢球面擬合方法。利用4顆衛(wèi)星解出一組解，在三維空間中以多組衛(wèi)星解出的多個定位坐標(biāo)進(jìn)行球面擬合，求解的球心坐標(biāo)即為地面點的可靠解。從一定程度上提升了衛(wèi)星數(shù)據(jù)利用率，提高了衛(wèi)星定位精度。

Abstract： In view of the problem of the error caused by the global positioning system in the process of positioning， a ellipsoid fitting method based on the least square method of pseudorange positioning is proposed. It uses of 4 satellites to solve a set of solutions ， and in 3D space with multi satellite solution of multiple location coordinates to do the ellipsoid fitting， center coordinates is a reliable solution of the ground. To a certain extent， it improves the utilization of satellite data， and improves the positioning accuracy of the satellite.

關(guān)鍵詞： 全球定位系統(tǒng)；偽距定位；最小二乘法；橢球面擬合

Key words： GPS；pseudo range positioning；least square method；ellipsoid fitted

中圖分類號：P228.4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1006-4311（2018）20-0206-02

0 引言

GPS導(dǎo)航定位因為其高精度、全天候、高效率、功能多、易操作等特點可用于高精度的全國大地控制網(wǎng)的建立，陸地海洋大地測量基準(zhǔn)的建立，及高精度的車載導(dǎo)航等各個方面。GPS定位誤差來源主要有對流層折射誤差，電離層延遲誤差，多路徑效應(yīng)，與衛(wèi)星及接收機(jī)時鐘差等，這些誤差可以通過一定的模型加以改正來減弱誤差。本文介紹了GPS定位原理，運用多組GPS衛(wèi)星求得的GPS定位坐標(biāo)進(jìn)行球面擬合，從而減弱了GPS定位過程中的計算舍入誤差。

1 誤差的表現(xiàn)形式

誤差即是某一個量的觀測值或計算值與其真值之差。誤差在不同的空間中具有不同的表現(xiàn)形式。在一維空間中，誤差Δ表現(xiàn)為真值M0沿一維方向的一個區(qū)間（圖1）；在二維空間中，誤差應(yīng)表現(xiàn)為平面內(nèi)以真值M0為圓心，以誤差限Δ為半徑的圓形平面區(qū)域中（圖2）；在三維空間中，誤差應(yīng)表現(xiàn)為以真值M0為球心，以誤差限Δ為球半徑的球形三維區(qū)域內(nèi)（圖3）。

對于地面未知點M0而言，利用每一組衛(wèi)星所求得的未知點M0的坐標(biāo)，都是散布在三維球面的附近，因此，可以利用N組衛(wèi)星求解出N組未知點的解，以N組解擬合為一個球面。則該球面所對應(yīng)的球心坐標(biāo)應(yīng)為地面未知點M0的坐標(biāo)。

2 GPS偽距定位原理

電離層和對流層改正可以按照一定的模型進(jìn)行計算，衛(wèi)星鐘差？啄tj可以從衛(wèi)星導(dǎo)航電文中取得。衛(wèi)星（XS，YS，ZS）到地面接收機(jī)（X0，Y0，Z0）的幾何距離？籽有如下關(guān)系[1]：

？籽2=（XS-X0）2+（YS-Y0）2+（ZS-Z0）2（1）

式中：？籽為衛(wèi)星至接收機(jī)的幾何距離。

因為接收機(jī)鐘差？啄tk是未知數(shù)，因此共有四個未知數(shù)，接收機(jī)必須至少同時觀測到四顆以上的衛(wèi)星才能解算出接收機(jī)的三維坐標(biāo)值。則：

[（X-X0）2+（Y-Y0）2+（Z-Z0）2]=？籽′j+c？啄tk+？啄？籽+？啄？籽-c？啄tj

（2）

式中：j為衛(wèi)星數(shù)，j=1，2，3，…；k為接收機(jī)號；？啄？籽為衛(wèi)星j的電離層改正數(shù)，？啄？籽為衛(wèi)星j的對流層改正數(shù)；？籽′j是衛(wèi)星j的偽距觀測值，是待測距離與鐘差等效距離之和。

？籽′j=？籽j+c？駐t； ？駐t=？啄tj-？啄tk

則可以4顆衛(wèi)星的觀測值作為一組，解出一組地面點GPS接收機(jī)的坐標(biāo)，以多組解做橢球球面擬合，確定橢球球面的球心坐標(biāo)，該球心坐標(biāo)即為接收機(jī)的可靠解[2]。

（3）

求解出接收機(jī)坐標(biāo)M1。

直至Mn。

當(dāng)接收機(jī)可觀測到5顆衛(wèi)星時，可組成C=5組方程組，即可解出5個地面接收機(jī)的坐標(biāo)。當(dāng)接收機(jī)可觀測到6顆衛(wèi)星時，可組成C=15組方程組，即可解出15個地面接收機(jī)的坐標(biāo)；…以此類推當(dāng)可觀測到j(luò)個衛(wèi)星時，則可組成C==n個方程組，即可解出n個地面接收機(jī)坐標(biāo)。進(jìn)而將n個地面接收機(jī)坐標(biāo)進(jìn)行球面擬合，求出球心坐標(biāo)，可觀測的衛(wèi)星數(shù)量越多，最終得到的球心坐標(biāo)精度越高，但同時，所做的計算量也將越大。

3 基于最小二乘法的GPS坐標(biāo)橢球面擬合

最小二乘法作為一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)，具有的簡單、快速和穩(wěn)定的性能等特點。它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。其思想是將待擬合理想?yún)?shù)即球心坐標(biāo)與球半徑作為待定系數(shù)，每一個采樣數(shù)據(jù)（每組求得的地面接收機(jī)坐標(biāo)）和理想?yún)?shù)（地面接收機(jī)坐標(biāo)的真值）之間會有一個誤差，該誤差被稱為函數(shù)偏差亦稱為殘差。將所有殘差的平方和相加作為目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)最小時待定參數(shù)的值就是擬合值[3]。

理想的空間三維橢球面的表達(dá)式為：

（）2+（）2+（）2=1（4）

其中共有6個未知數(shù)，X0，Y0，Z0，A，B，C。其中（X0，Y0，Z0）為橢球面球心，即地面未知點的絕對真值坐標(biāo)[4]，式（4）也可表述為：

X2+aY2+bZ2+cX+dY+eZ+f=0（5）

其中

a=，b=，c=-2X0，d=-2Y0，

e=-2Z0，f=X02+Y02+Z02-A2

因為求解出的接收機(jī)坐標(biāo)（M1，M2…… Mn）都是離散在以M0（X0，Y0，Z0）為球心，以A，B，C為半軸的橢球球面上，所以將求解出的n個地面接收機(jī)坐標(biāo)Mn帶入式（5）后，其方程式并不一定等于零。

故設(shè)：

kt=Xt2+aYt2+bZt2+cXt+dYt+eZt+f（6）

在式（6）中，kt為各求解出的接收機(jī)坐標(biāo)與擬合球面的相應(yīng)的函數(shù)偏差值即殘差值。

即當(dāng)：

∑（Xt2+aYt2+bZt2+cXt+dYt+eZt+f）2=∑kt2=min（7）

為最小值時，該擬合最小二乘球面的效果最好，其橢球球心坐標(biāo)最逼近地面點的真實值。

可令：

K（a，b，c，d，e，f）=∑kt2=∑（Xt2+aYt2+bZt2+cXt+dYt+eZt+f）2（8）

要使K（a，b，c，d，e，f）最小值，則可使K對（a，b，c，d，e，f）的一階偏導(dǎo)數(shù)等于0，則[5]：

=0=0=0=0=0=0即∑kt=0∑kt=0∑kt=0∑kt=0∑kt=0∑kt=0→∑ktYt2=0∑ktZt2=0∑ktXt=0∑ktYt=0∑ktZt=0∑kt=0（9）

其中t=1，2，3……n，為擬合曲面上的點數(shù)。

通過求解式（9），即可求得a，b，c，d，e，f。從而求得球心坐標(biāo)為M0（a，b，c），即為地面點的最可靠值。擬合橢球球面短半軸為d，e，f。分別代表求得的接收機(jī)坐標(biāo)在X，Y，Z方向的最大誤差限Δ。其值越小表示擬合球面的可靠性越高，誤差越小。

在三維空間坐標(biāo)系中，空間被分為8個小區(qū)間。在大多數(shù)情況下，當(dāng)觀測條件較好時，一般能達(dá)到8顆衛(wèi)星，隨機(jī)組合4個衛(wèi)星為一組，此時可得到70個解。平均每個小區(qū)間分布有9個點；當(dāng)可觀測到9顆衛(wèi)星時，可得到126個解，平均每個小區(qū)間分布有16個點，可觀測到的衛(wèi)星數(shù)量越多，求出的觀測解數(shù)量越多，每個小區(qū)間內(nèi)分布的點越多，擬合球面的可靠性越高，對應(yīng)的球心即地面接收機(jī)坐標(biāo)值越精確。

4 結(jié)束語

傳統(tǒng)的GPS定位方法是將觀測到的GPS衛(wèi)星以4個為一組進(jìn)行求解，求出多組解，最終從中選擇最可靠的值作為地面接收機(jī)的值。然而這樣的選擇方法誤差太大，沒有充分利用觀測到的所有衛(wèi)星數(shù)據(jù)，造成數(shù)據(jù)浪費。本文通過GPS衛(wèi)星偽距定位的球面擬合可以充分利用所有觀測到的衛(wèi)星數(shù)據(jù)，不會造成數(shù)據(jù)浪費，可以充分利用各個GPS衛(wèi)星的數(shù)據(jù)，提高其擬合精度，增大定位的可靠性。但是此種方法定位精度提高，對應(yīng)所需的計算量會逐步增加，需要更高的硬件配備，所需時間也會提高。所以此種方法可應(yīng)用于高精度的大地控制網(wǎng)，建立高精度的地面控制點，在靜態(tài)定位下效果有更高的可靠性。

同時，應(yīng)在觀測時選取觀測條件較好的區(qū)域，盡量提高觀測環(huán)境的質(zhì)量，應(yīng)盡量避免大面積水面，與覆蓋物遮擋，減弱多路徑效應(yīng)帶來的影響。對于對流層折射改正模型與電離層延遲改正模型應(yīng)根據(jù)相應(yīng)地域選取符合觀測地的改正模型。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐紹銓，張華海，楊志強(qiáng).GPS測量原理及應(yīng)用[M].第三版. 武漢：武漢大學(xué)出版社，2008：61.

[2]康四林，李語強(qiáng).GPS定位中的誤差分析[J].天文研究與技術(shù)，2010（03）：222-230.

[3]楊恒亮，屠大維，趙其杰.基于三坐標(biāo)測量機(jī)的大口徑球面擬合測量方法[J].工具技術(shù)，2007（12）：78-81.

[4]潘國榮，房鶴飛，唐杭.基于等效全最小二乘準(zhǔn)則的穩(wěn)健球面擬合方法[J].測繪通報，2013（S1）：99-102.

[5]任新生，楊建國，朱訓(xùn)生，薛秉源.擬合最小二乘球的球度測量[J].機(jī)械設(shè)計與研究，1994（04）：41，45-46.