易拉罐的設計

黃睿明

摘 要：生活中我們常看到圓柱形的包裝容器，如易拉罐、水杯、油漆桶等。那么，為什么這些容器都設計成了這樣的形狀？這樣的形狀有什么優勢呢？顯然，當一個容器需要大量使用的時候，考慮用料成本，設計一個容積足夠、美觀大方又節省材料的容器是極為必要的。

關鍵詞：易拉罐 設計 最小值

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2018）07-0-01

易拉罐是生活中常見的飲料容器，每天都有不計其數的易拉罐飲料從生產線上生產出來打包裝箱輸送到全國各地，同時被無數人購買，暢飲之后又要丟入垃圾桶。每個易拉罐的用料不多，但是有了龐大的基數支撐，用料成本便不可忽視，節約用料是一個極為重要的問題。

根據已經掌握的知識，平面中等面積的情況下圓的周長最短，那么，可以聯想到空間中等體積的情況下球體的表面積最小。按照節省用料的考慮，為什么沒有大規模使用球型的容器呢？最簡單直觀的缺點是不方便持握，不方便放置。而且還有一個問題就是球型容器運輸的時候放入箱子中也會浪費更多的空間。

思考一：假設包裝都是標準的圓柱體，忽略包裝材料的拼接，近似認為容積就等于體積，這樣把問題近似轉換為一個純粹的數學問題，即：“體積一定的圓柱體，底面半徑與高的比值為多少時，表面積最小？”

設易拉罐的高為h，底面半徑為r，有圓柱體的體積公式V=πr2h，得到h= 。又易拉罐表面積為S=2πr2+2πrh。將h= 代入表面積公式得S=2πr2+ 。[1]現在，問題轉化成為了在r取何值的時候，函數S能夠取到最小值。S= ，當且僅當2πr2= ，即 時，易拉罐有最小表面積 ，此時h=2r。

但是在實際生活中，我們絕對看不到有這樣形狀的容器裝滿飲料放在貨架上，為什么呢？這種形狀的圓柱體又叫等邊圓柱，這種形狀拿起來的手感很差，因為太粗了，不適合作為飲料的容器，作為罐頭、油桶倒是不錯。那么，還有什么因素影響了易拉罐的形狀呢？易拉罐的上底和下底經過觀察和側面是不一樣的，一般來說，下底的材料會更加厚一些，或是更加硬一些，這可能是影響易拉罐形狀的又一因素。

思考二：體積一定的圓柱形容器，上下底面的價格是側面造價的k倍，那么底面半徑和高的比為多少時表面總造價最小[2]？

經過調查，有相當一部分飲料包裝的底面的單位造價是側面單位造價的2倍左右，為了便于計算，假設k=2。設圓柱底面半徑r，高為h，側面單位造價為a，底面單位造價為ka，圓柱體總造價為y。V=πr2h，y=2aπrh+4aπr2。 = 。

當且僅當4r=h時，表面總造價最低。如果材料特殊，底面單位面積造價不為側面的2倍，計算方法相同。市面上大多數易拉罐裝的飲料符合4r=h這一比例。

目前考慮的是上下底面造價相同的情況下，實際中可能出現特殊要求，上下底面構造不同，上下底面都要求一定的抗壓能力，但是上底面還要能夠打開。價格和下底可能略有差別。

思考三：體積一定的圓柱形容器，上底面的價格是側面造價的m倍，下底面的價格是側面造價的n倍，那么底面半徑和高的比為多少時表面總造價最小[3]？

計算方法和上面類似，過程也基本一致，最終的結果是（m+n）r=h時，表面總造價最小。

此時得到的易拉罐如圖1，是一個圓柱體，但是生活中我們看到的易拉罐是如圖2的形狀，上面的圓臺顯然不可忽視，那么我們對圓臺同樣進行一下計算。

思考四：設易拉罐上部為一正圓臺，下面是圓柱體，圓臺的體積一定，底面半徑設為R，上底半徑r和圓臺高度h的比為何值時表面積最小？

圓臺的表面積=圓臺頂蓋面積+圓臺側面積。S=πr2+π（r+R） 。

依據圓臺的體積公式有 ，則有S=

。限于目前的能力不能解出正確的結果，公式求導并令導數為0，則能夠求出結果。

生活中常用的易拉罐底部也不是規則的圖形，底部是向內凹陷的造型，凹陷進去的設計有著比較優秀的性能。易拉罐作為容器，內部存放著飲料的時候對底部有一定的壓力，向內凹陷的設計可以提升抗壓能力，其次立放的時候可以更加穩定，如果是一個平面，那么支撐面不平整會導致整個易拉罐不能穩定放置，中間向上凹陷，接觸面由平面與平面的接觸變為平面與一個外圈接觸，當平面平整，兩者都能夠穩定放置，如果有一個細小的突起，凹陷的設計可以使易拉罐輕微移動之后穩定放置，而平整的底面做不到；再次，飲料在夏季冰凍或是不良反應可能會增大體積，凹陷部分可以變為突出，防止罐體破裂、泄露；最后，下面的設計可以嵌入易拉罐頂部的圓內，在大量運輸的時候可以提升穩定性。

易拉罐看似常見，但是其中的設計元素一點也不少。經過了對易拉罐的研究之后，感到生活處處皆學問。易拉罐的設計不僅僅涉及到經濟因素，還和人們的價值觀和美學觀念有一定的聯系。希望設計師能夠設計出更美觀、更實用和更經濟的易拉罐。

參考文獻

[1]周文國. 易拉罐的設計方案[J]. 中學生數學，2002，（01）：18.

[2]劉彭芝，王珉珠. 中學數學課題學習指導 數學探究、數學建模與數學文化[M]. 北京：中國人民大學出版社，2010.44-45.

[3]陶鋒. 易拉罐中的數學知識[J]. 數學大世界（高中生數學輔導版），2003，（12）：21.