集合問題的常見錯誤簡析

陳曦

摘 要：集合是數學學習中極為重要的知識點。通過對集合知識的學習，能夠為其他數學知識的學習奠定基礎，能夠讓我們對于相關知識的掌握程度更為牢靠。[1]通過集合問題常見錯誤的分析，不僅能夠讓我們更好地避免此類錯誤的再次發生，也有助于我們對于集合相關知識的深入領會。

關鍵詞：集合知識 常見錯誤 問題分析

中圖分類號：G630 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2018）07-0-01

前言

集合是我們數學學習過程中不可忽視的一個重要知識點，通過該知識點的學習，我們能夠更加夯實自身數學基礎，對于其他問題的進一步學習和掌握奠定基礎。而集合學習過程中容易出現一些錯誤，如能對這些常見錯誤進行分析，必可真正讓我們對該內容予以系統掌握。[2]

一、集合學習重要性

集合屬于最基本的數學語言范疇，融合了集合概念、集合與集合之間的關系以及集合的運算等相關知識。集合作為數學表達工具，具有至關重要的作用。集合屬于高中數學的基本概念，能夠為后續函數的學習奠定良好的基礎，在每年的高考中，集合這一知識內容都占有一席之地，屬于每年的必考考點，在高中數學學習中具有舉足輕重的作用。通過這些內容的學習，有助于對有關函數知識內容的掌握，為函數的學習打下扎實的基礎，有助于提升我們分析與解決問題的能力，能夠實現數學知識與技能的提升，進而顯著提高學習效率。[3]

二、集合問題常見錯誤分析

1.忽視集合為空集情形

例題1：已知，，如果計算出實數p的取值范圍。

錯解：假設的兩個根是x1，x2，由于，

故該方程具有兩個正根，推算出

因此，實數p的取值范圍是（-∞，-1）。

剖析：我們在對這類題型進行解答的過程中，經常對空集是任何集合的子集這一內容忽略，在上面的解題方法中，就對的特殊情形忽略了，當，可以推算出，則該方程無解，該類錯誤是由于分類討論不全面系統導致的，因此，實數p的取值范圍是（-∞，1）。

2.忽視結合中的元素互異

例題2：假設，

，并且集合A與集合B相交，其取值范圍為{2，5}，請計算出實數a的值。

錯解：通過該題的題意可以得出，由可以得出a=3或者a= ±1。

剖析：眾所周知，在集合中，元素具有三個特征，即確定性、無序性以及互異性。其中，所謂的確定性指的是對于任何一個元素來說，要么屬于某個指定集合，要么不屬于該集合，二者必居其一；所謂的無序性指的是通過對集合中元素的排列次序進行隨意改變，這些元素仍然對同一個集合進行表示；所謂的互異性指的是在同一個集合中的元素是互不相同的。在對集合類問題進行解答的過程中，經常忽視元素的互異性，所以，在該例題中，當a=1時，在集合B中，存在著兩個元素都是1，這與集合中元素的互異性這一特征不符合，應當將其舍去。

3.忽視集合中的代表元素含義

例題3：設，那么必須有（ ）。

A. B. C. D.

錯解：由于，可以推算出亦或是，故此，該試題的答案應當選擇（A）。

剖析：在該例題中，將集合作為例題背景，主要對有關解方程方面的知識內容進行考查，該題難度系數比較高，數集就是集合中的代表元素，也就是我們通常所說的方程的解，由于方程的解，除了受到函數定義域的限制之外，也受到函數定義域的限制，也就是說函數的解，必須與函數的定義域相符合，函數的解，則必須與函數的定義域相符合，但是，函數與函數的定義域分別限制了函數與函數的解。

又如，例題4，設，。

那么，，

得出，所以該題的正確答案應當選擇（B）。

4.忽視隱含條件的含義

例題5：如果，非空集合能使成立的實數a的取值范圍應當是（ ）。

（A）{1，9） （B）（1，9}

（C）（6，9} （D）{6，9）

錯解：因為，所以，那么

通過計算可以得出1

剖析：在對該例題進行解答的過程中，忽略了該例題中所隱藏的限制條件，由于Q屬于非空集合，在該集合中隱藏著，通過計算該不等式，可以得出a>6，因此，該類題的正確答案應當為（C）。

5.忽視能否取等號

例題6：已知，，并且=，那么請計算出a的取值范圍。

錯解：通過該題的題意，能夠將相關數軸畫出來，通過所描繪的數軸，可以得出：。

剖析：在以上的解題方法中，存在著一個錯誤，就是認為當a=-2的情況下，也與該題的題意相符合，然而，實際上，當a=-2時，B={x|x<-2}。=不等于，這與該題的題意不符合，應當將其舍棄，所以，該題的正確答案應當為。

通過相應的例題，我們可以看到我們在進行題目解答過程中出現的錯誤，也更加能夠直觀了解到我們的問題所在，為我們以后的解題正確率提升提供借鑒。此外，我們在進行題目解答過程中，也盡量建立相應的“錯題本”，將相關類別的錯題集合在一起，便于我們對問題進行分析，也更加有助于我們自身解題能力的提升。

參考文獻

[1]熊海鷗，宋靜.二類5包含型錯誤矩陣集合方程求解研究[J].數學的實踐與認識，2016，46（22）：180-185.

[2]王彬，王治華，周寧慧，董樹鋒，何光宇.基于集合論估計的電網狀態辨識（五）拓撲錯誤識別[J].電力系統自動化，2016，40（09）：9-15.

[3]胡曉飛，楊惠娟.高中生集合與函數概念學習中的典型錯誤及歸因研究[J].科技創新導報，2013（22）：157+159.