一題多解，多解歸一

楊露露

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)識碼：B 文章編號：1672-1578（2018）24-0146-01

解題，作為數(shù)學(xué)教學(xué)活動過程中的核心內(nèi)容，它既是推進數(shù)學(xué)認知過程的有效手段，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的重要途徑.在解題教學(xué)中，越來越多的人提倡“一題多解”.但是面對“一題多解”，教師有些茫然，導(dǎo)致他們在教學(xué)中經(jīng)常會進入一些誤區(qū).例如盲目地羅列多種解法，重“量”輕“質(zhì)”，教師以為把自己的“研究成果”無私地奉獻給學(xué)生，卻不知道學(xué)生在驚嘆于教師的高明之余茫然于各種解法的得到，甚至?xí)箤W(xué)生產(chǎn)生自卑感等消極的心態(tài).教師致力于尋找各種不同的解法卻忘了對多種解法中的思想方法理解透徹、融會貫通.目前這種狀況就需要教師對“一題多解”的教學(xué)及時反思，找出相應(yīng)的教學(xué)策略。

面對“一題多解”，教師應(yīng)何去何從呢？

1.一題多解，多解歸一，一題一解

對于書上的解答或者是學(xué)生提出的多種解法，教師都應(yīng)該對這多種解法進行分析，分析多種解法中分別運用的方法，涉及到的知識點，蘊含的數(shù)學(xué)思想方法.如果幾種解法雖然算式、程序不完全一樣，而解題的立義和根據(jù)無根本的不同，其實可以多解歸一.一個題目的多種解法中總會找到共通點，教師應(yīng)充分挖掘其內(nèi)在聯(lián)系及背后的思想方法。“一題”之所以能“多解”，往往就在于這些解法之間是有聯(lián)系的，這些聯(lián)系之間是有規(guī)律可循的，通過“多解”后的“歸一”，讓學(xué)生能站在系統(tǒng)的高度看問題，進而升華到從哲學(xué)的角度認識世界，這樣就可以形成強大的認識力，由此獲得對數(shù)學(xué)的通透理解。[1]

到底講哪些方法好？時間允許嗎？該不該給學(xué)生講所有的方法？等等這些問題困惑著一線教師。筆者認為，其實問題的關(guān)鍵不在于解法的多少，而在于透過這些不同的解法，能夠挖掘出多種解法的內(nèi)在聯(lián)系，提煉出多種解法中的思想方法。因此最根本的是掌握基本概念、定義、性質(zhì)等，進而把問題化歸轉(zhuǎn)化為已知問題求解。

2.一題多解，求善擇優(yōu)，一題一解

單墫先生指出“不管什么題目，一味地追求多種解法，勉強湊數(shù)，矯揉造作，那就不好了.解法仍以簡單、自然為上，即使有多種解法，也應(yīng)分清優(yōu)劣，擇善而從，這也是有無見識或見識高低的差別”[2]。面對“一題多解”，教師要判斷解法的優(yōu)劣，力求找出一種最優(yōu)解——“一題一解”

數(shù)學(xué)解題，應(yīng)注重通性、通法.通性、通法是最自然地，往往也是最簡單地解法。[2]

那么，教師應(yīng)該如何求“善”擇“優(yōu)”？按什么標(biāo)準(zhǔn)確定多解中哪種方法最好呢？

2.1 解題的立意與基本概念相聯(lián)系——通性。解法沒必要羅列太多，雖然有些解法比較獨特，但是如果太繁瑣就要忍痛割愛.如果刻意地去強調(diào)多種解法，貪多求全，反而不利于知識的概括和系統(tǒng)化，實際也不利于知識的記憶與掌握.所謂“通性”的方法，利用的都是基礎(chǔ)知識和基本技能，不用太多的技巧，有利于達到解題教學(xué)的目的。

高中教學(xué)一直有一個誤區(qū)，就是不重視基本概念的理解，有些題目看似復(fù)雜，但是其實只需要用基本知識就能解答出來，一般來說，書上的基本知識都是由定義的演變，公理的推算得到的，能有效地體現(xiàn)事物的本質(zhì)所在.所以數(shù)學(xué)要表達的事情，幾乎都包含在基本概念中，而對數(shù)學(xué)題的解答也是與基本概念分不開的.例如函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性判斷的問題，都可以運用知識點的概念來完成解題。

2.2 解題的方法是學(xué)生所熟悉且常用的——通法。 數(shù)學(xué)解題時會遇到多種解法，但是有些解法技巧性很強，而這些技巧不是數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，這些解法學(xué)生不一定會掌握，而且可能更容易混淆，那么就完全沒必要去要求所有學(xué)生掌握這些解法，不必‘為技巧而技巧，當(dāng)然有能力的學(xué)生就當(dāng)作積累一些解題經(jīng)驗.通法采用的是常規(guī)思維，所以數(shù)學(xué)解題時，還是要回到最常用的解法——通法，只有最常用，學(xué)生最熟悉的解法，才有利于學(xué)生對此類題的掌握，最后才能達到解題教學(xué)的目的。

如果按照上述標(biāo)準(zhǔn)，注重通性通法，加深對基本概念的理解和記憶，掌握一類題的特點和規(guī)律，不會過多地增加記憶負擔(dān).尤其對高三的學(xué)生來說，“一題一解”能夠減輕他們記憶負擔(dān)，而且也有利于掌握。

因此，簡單、自然的通性、通法是教師考慮最優(yōu)解的標(biāo)準(zhǔn)。

面對“一題多解”，如何多解歸一？這對教師要求比較高，教師應(yīng)當(dāng)有豐富的學(xué)科知識，善于歸納、推理，判斷解法的優(yōu)劣.教師應(yīng)該反復(fù)推敲多種解法，換位思考，站在解題人的角度，看看他們是怎么想出這種解法的，如果需要解決問題，需要具備哪些知識點等等。一個教師面對的學(xué)生總是存在差異性的，不同的學(xué)生由于解題經(jīng)驗、知識網(wǎng)絡(luò)以及數(shù)學(xué)思維不同，他們解決問題的思路和方法也會有所不同.作為教師，如果不能高瞻遠矚，對學(xué)生的各種不同思路和解法進行鑒別和選擇，力求使思路自然、解法簡單，那么這對學(xué)生提高解題效率、有效學(xué)會解題是極為不利的。[3]在解題教學(xué)中，教師在備課時就要想到解答此類的題目需要用到哪些知識、學(xué)生遇到此類題目容易犯哪些錯誤以及犯錯誤的原因.對于此類的題目應(yīng)該怎樣解答容易讓學(xué)生接受，符合學(xué)生的思維習(xí)慣，還有沒有其他解法？這些解法都有益于培養(yǎng)學(xué)生的解題能力嗎？都需要學(xué)生掌握嗎？ 教師只有提高了自身的解題鑒賞能力，才能居高臨下地考慮到以上這些問題，才能從容不迫地面對學(xué)生“突如其來”的“多解”。

面對“一題多解”，教師若能分析概括，而不是盲目地羅列多種解法；若能求善擇優(yōu)，而不是貪多求全；若能反思總結(jié)，而不是“過眼云煙”，那么在解題教學(xué)的道路上，教師必定能提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，能夠深入淺出地處理問題。