費希爾交點在項目投資決策中的應用

李偉

摘要： 凈現值和內部收益率指標在工程建設項目投資決策中時常會出現相互矛盾的情況，文章結合實際案例，以費希爾交點理論深入分析了矛盾產生的原因，并結合邊際理論揭示了費希爾交點的經濟學意義，最后對互斥項目比選依據提出了合理化建議。

Abstract： In the investment decision of construction projects， NPV and IRR， often appears contradictory situation. Combined with the actual case， this paper tried to analysis the causes of conflict deeply by the Fisher Intersection theory， and reveal the economic significance combined with the marginal theory. At last， this paper put forward several reasonable advice about the selection of mutual exclusion items.

關鍵詞： 凈現值；內部收益率；費希爾交點；邊際理論

Key words： NPV；IRR；Fisher Intersection；Marginal theory

中圖分類號：F031.5 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2018）21-0033-04

0 引言

隨著我國經濟的飛速發展，工程建設項目決策特別是經濟評價分析就顯得尤為重要。投資項目經濟評價是工程建設項目前期研究中的重要組成部分，也是項目可行性研究中的關鍵環節，是項目決策合理化、科學化的重要手段。縱觀國內外對財務評價指標體系，基本體現了從單維到多維、從靜態到動態、從只注重微觀到兼顧宏觀、從僅關注項目前期評價到兼顧中間評價和后評價的發展過程。

工程建設項目實際情況紛繁復雜，建立科學合理的投資決策標準難度很大，目前，國內外較為通行的項目投資決策依據包括凈現值、凈現值率、凈年值、內部收益率、投資回收期等。獨立方案的投資決策較為簡單，只需檢驗方案能否通過以上一系列的評價決策標準即可。而互斥方案則較為復雜，首先需考察各個方案自身的經濟效果（絕對效果）、其次才可考察哪個項目相對最優（相對效果），但在考察相對效果時，時常出現評價結論不一致的矛盾情況。

本文以凈現值與內部收益率的矛盾性為例，探討兩者在項目投資決策中的一致性與差異性、重點分析出現差異的原因，并將以具體案例分析費希爾交點在互斥項目投資決策中的應用，為同類型的項目投資決策提出相關建議，提高可行性分析的可靠性。

1 凈現值與內部收益率的概念及含義

1.1 凈現值

凈現值指標是按一定的折現率將各年凈現金流量折現到同一時點的現值累加值，其表達公式為：

■

其中，NPV表示凈現值，CIt表示第t年現金流入額，CQt表示第t年現金流出額，n表示項目壽命年限，it表示基準折現率。

對于單一方案來說，若NPV≥0，則項目應接受該方案；若NPV<0，則不應接受該方案。對于多方案來說，NPV越大的方案相對越優。

1.2 內部收益率

內部收益率是可使項目從建設期到生產期結束各年凈現金流量之和等于零時的折現率。公式表示如下：

其中，IRR表示內部收益率，其余與凈現值公式含義相同。

以內部收益率作為項目決策指標時，還需確定基準折現率i0，若IRR>i0，則可以接受該項目；若IRR

2 凈現值與內部收益率的一致性與差異性分析

作為項目投資決策中最常用的兩個重要評價指標，在單一方案的絕對效果評價時，通常能夠表現一致性的結果，但在互斥方案的相對評價時，卻時常出現矛盾性的情況。

2.1 一致性分析

以整個項目周期中只改變一次符號的傳統現金流量為例，根據凈現值的計算公式可以看出，凈現值是折現率的單調減函數，即凈現值隨著折現率的增大而單調遞減，隨著折現率i的減小而單調遞增。

凈現值與折現率之間的變動關系亦可用圖1表示，橫軸表示折現率，縱軸凈現值，曲線表示凈現值隨折現率的變動情況。與橫軸的交點表示該投資項目的內部收益率，NPV（i1）、NPV（i2）分別表示以i1、i2為折現率對應的凈現值。

在實際工程項目建設中，由于無風險利率、通貨膨脹率、公司對風險的可接受程度等多種因素所導致所選取的必要收益率不同。若公司對該項目選取的基準收益率為i=i10，綜合這兩種判斷指標，均應接受該投資項目；若對該項目公司選取的基準收益率為i=i2>IRR，項目的內部收益率IRR小于公司選取的基準收益率，同時NPV（i2）<0，綜合這兩種判斷指標，均應拒絕該投資項目。

從以上分析可以看出，若項目內部收益率大于公司選取的基準收益率則同時可滿足IRR>i，NPV（i）>0，應接受該項目；反之，則同時無法通過IRR與NPV的評判標準，應拒絕該項目。由此，對于單一項目的絕對效果來說，NPV與IRR的評價標準具有結論的一致性。

2.2 差異性分析

盡管在對單一方案進行絕對效果評價時，凈現值和內部收益率具有一致性，但在對互斥方案的財務評價中卻經常出現矛盾。主要原因有兩點，一是不同方案的投資規模不同，二是現金流量趨勢不同。前者可以結合凈現值率等靜態評價指標輔助判斷，但后者并沒有很好的輔助判斷標準，會給決策者帶來較大的迷惑性。因此，本節主要以現金流量趨勢不同所導致的差異性為例，詳細剖析矛盾性的來源與原因。

假設某工程建設項目，建設期兩年，生產期三年。目前存在兩種投資、收益規模基本相同的兩種方案，現金流量如表1。

具體來看，方案1與方案2建設期兩年的投資完全一致，在三年的生產期中收入總額基本相當，但現金流趨勢有較大不同，方案1為遞減型，方案2為遞增型。從評價結果來看，若以NPV作為評價指標，應選取方案2，若以IRR作為評價標準，則應選取方案1。

方案1與方案2最明顯的區別在于現金流量分布較為不同，由于折現率對凈現值的影響會隨著期數t的增大而逐漸減小，即項目期初凈現金流較期末凈現金流對凈現值的貢獻大。從凈現值的定義公式出發，也可證實此規律。

由于兩個現金流量分布不同的互斥方案，它們的凈現值曲線下降的速度不同，則兩條凈現值曲線必然會出現交點，該交點被命名為“費希爾交點”，該交點的存在是導致互斥項目決策時出現凈現值與內部收益率矛盾的重要原因。

2.3 費希爾交點

確定費希爾交點所對應的折現率和凈現值是進一步解釋出現矛盾的重要途徑。因此，選取不同的折現率對兩種方案一一進行測算，并選取幾個關鍵折現率列在表2中。

由表2可見，方案1在折現率選取29.94%時，凈現值為0，說明方案1的內部收益率為29.94%，同理，方案2的內部收益率為26.75%。另外，兩個方案凈現值的差值隨著所選折現率的增大由負變正，其中當折現率為15.47%時，兩個方案的凈現值相同。表2可用圖2表示。

由兩個方案的現金流及凈現值對折現率求導公式可以看出，由于方案1生產期的現金流前期較多、后期較少，而方案2生產期的現金流前期較少、后期較多，這就導致圖2中了方案2較方案1曲線的下降速度較快，先與橫軸取得交點，因此方案2的內部收益率小于方案1的內部收益率。另外，項目基準收益率為10%，從凈現值大小判斷，方案2的133.9優于方案1的122.4。圖2中，方案1與方案2曲線的交點，即為費希爾交點。

若公司選取大于費希爾交點對應的折現率作為基準收益率，方案1在凈現值及內部收益率兩方面均優于方案2，即可作出決策；若公司選取的基準收益率小于費希爾交點所對應的折現率，則會出現凈現值與內部收益率判別結果不同的矛盾情況；若公司選取費希爾交點對應的折現率作為基準收益率，方案1與方案2將具有相同的凈現值。

本例中，由于所選基準收益率為10%，小于費希爾交點對應15.47%的折現率，則出現了內部收益率與凈現值判別結果不同的矛盾。

3 費希爾交點的經濟理論與應用

3.1 差值法是費希爾交點理論基礎

差值法是解決互斥項目方案比選最有效也是最根本的方法，運用差值法測算凈現值與內部收益率始終可以得到一致的結論。另外，差值法也是費希爾交點存在和計算的理論依據。

仍以上例為例，運用差值法對方案1與方案2重新進行比選，從靜態現金流來看，方案2要比方案1數值大，因此可以將方案1看作“原項目”，將方案2看作“增量項目”，將兩者的現金流作差便得到增量現金流。

增量現金流的凈現值為11.49，內部收益率為15.47%，兩個評價指標均滿足項目絕對效果的評價要求，說明方案2在方案1的基礎上增加了增量現金流使得效益變好。因此，在互斥方案比選中，應選擇方案2而放棄方案1。這與凈現值的判斷一致，與內部收益率的判斷矛盾。

另外，增量現金流的內部收益率為15.47%，與上文計算得出的費希爾交點對應的內部收益率相同。將表2中不同折現率下的差值凈現值曲線添加到圖2中得到圖3，可以看出，差值凈現值曲線與橫軸折現率的交點恰為費希爾交點所對應的折現率15.47%。

3.2 邊際理論對費希爾交點的經濟學解釋

邊際理論是微觀經濟學中重要的理論之一，是指導人們理性行為的最重要支撐，在廠商的生產決策中，如何定價定產才能達到“帕累托最優”是決策者最為關心的決策內容。邊際理論恰好解決了這一決策難題，邊際成本等于邊際收益時所對應的單價和產量可使廠商利潤最大化，即圖4中SMC與MR的交點E點。

此外，圖中SAC與SMC分別代表平均成本和邊際成本，當新增加一個產品的成本尚低于平均成本時，邊際成本曲線一定位于平均成本曲線下方；當新增加一個產品的成本已高于平均成本時，邊際成本曲線將會位于平均成本曲線上方。因此，表現在圖4中為邊際成本曲線SMC必然上穿平均成本曲線SAC的最低點。

項目投資決策中應用到的費希爾交點就是以微觀經濟學中邊際理論作為理論基礎，將兩個互斥方案的差值現金流作為增量項目。可將差值現金流看作以方案1為基礎的新增邊際項目，邊際理論下的增量項目收益若大于基礎方案的項目收益則提高方案2的項目收益，若增量項目效益小于基礎方案項目效益則會降低方案2的收益。本例中，基礎方案的內部收益率為29.94%，而增量項目內部收益率僅為15.47%，小于基礎方案收益，因此將方案2內部收益率拉低至26.75%。

反映在以折現率為橫坐標及以凈現值為縱坐標的圖3中，差值現金流先負后正。由此可見，隨著折現率的升高，差值凈現值對方案2的效益影響為先負后正，即當選取小于15.47%的基準收益率時，從凈現值指標角度看，方案2優于方案1；當選取大于15.47%的基準收益率時，方案1優于方案2；當恰好選擇15.47%為基準收益率時，兩方案效益相同。

4 結論

通過以上分析可以得出以下結論：第一，凈現值和內部收益率作為項目投資決策中最常用到的兩個評價指標，有可能出現相互矛盾的情況。第二，若以凈現值為決策依據指標，互斥項目可能由于選擇不同的基準折現率導致不同的決策結果。第三，增量法是互斥項目比選中最基礎、最有效的方法，其經濟基礎是邊際理論。第四，在以折現率為橫軸、凈現值為縱軸的坐標系中，互斥項目兩曲線交點即為費希爾交點，選取大于費希爾交點所對應折現率作為基準折現率時，凈現值與內部收益率的決策結果一致，選取小于費希爾交點所對應折現率作為基準折現率時，凈現值與內部收益率的決策結果矛盾，此時應選取凈現值指標作為決策依據，費希爾交點是對矛盾的理論解釋。

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