循著學生的思路 滲透極限思想的思考

劉菊

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2018）24-0023-02

極限思想是一種重要的數學思想，靈活地借助極限思想，可以將某些數學問題化難為易，避免一些復雜運算，探索出解題方向或轉化途徑。那么，在小學數學教學中如何去挖掘并適時地加以滲透呢？以下根據自身的數學教學實踐談談自己的粗淺見解。

1.在數學公式推導過程中滲透極限思想

片段一：

在教學“圓面積公式的推導”一課時，我是這樣設計的。

師：（課件出示一個圓）要知道這個圓的面積，怎么辦？

生1：可以把它轉化為我們學過的圖形。

師：怎么轉化？

生2：把圓平均分。（大屏幕上演示把圓平均分成了2份，把兩個半圓使勁的拼，結果還是一個圓。）

師：轉化不成已經學過的圖形，怎么回事？

生2：平均分的分數不夠多。

師：是這樣嗎？那我們分得多一些，請大家仔細觀察。（演示把一個圓分割為完全相同的小扇形，并試圖拼成長方形。從平均分成4個、8個到16個。）

師：你們發現什么嗎？同桌輕輕交流一下。

生3：16個拼起來，比較像長方形。

生4：分的份數越多，拼成的圖形就越接近長方形。

師：你們都同意他的看法嗎？（學生表示同意）那我們再來分一分這個圓。

（課件演示把圓平均分成32個、64個……完全相同的小扇形。）

師：大家仔細看一看，想一想，如果一直這樣分下去，拼下去會怎樣？

生5：拼成的圖形就真的變成了長方形，因為邊越來越直了。

師：拼成的長方形與原來的這個圓究竟有怎樣的關系啊？

……

片段二：

在教學圓柱體積公式的推導這一內容時，我作過這么一次嘗試。

師：如何知道一個圓柱體的體積？

生1：以前學習的柱體都是用“底面積×高”來求積的，這次也應該是吧？

師：那你們就先借助手中的學具操作一下，看能不能有什么發現？

（學生動手操作，小組交流。）

生2：我發現圓柱體可以通過切割拼成一個近似的長方體……因此，圓柱體的體積=底面積×高。

（至此，應該說學生已經基本掌握了圓柱體體積的計算公式，進入應用階段沒多大問題，但蘊涵在其中的思維方法并沒有滲透給學生，于是我繼續追問。）

師：怎樣切割，圓柱體就真的變成一個長方體了？

生3：將圓柱的底面平均分成無數多份，它的底面就轉化為一個長方形，整個圓柱也就成了一個長方體。（師進行課件演示）

師：還有不同的思考方法嗎？

生：將圓柱沿高的方向切分成無窮多個細長的長方體。每個長方體的體積都是“底面積×高”，根據乘法分配律，這無窮多個小長方體的體積之和正好是“它們的底面積之和×高”，也即圓柱體的“底面積×高”。

……

以上兩個計算公式的推導過程，均采用“化圓為方”、“變曲為直”的極限分割思路。在“觀察有限分割”的基礎上，“想象無限細分”，根據圖形分割拼合的變化趨勢，想象它們的終極狀態。這樣不僅使學生掌握了圓的面積和圓柱體體積的計算公式，而且非常自然地在“曲”與“直”的矛盾轉化中萌發了無限逼近的極限思想。

2.在教學新的知識點時滲透極限思想

片段一：

在循環小數的教學中，許多人認為0.99……這個數無論小數點后面9的個數怎樣增多，它始終只能越來越接近1，而不等于1。我在教學過程中從兩方面來說明0.99……等于1。首先學生很容易理解 =1÷3=0.33……， =2÷3=0.66……，因為 + =1，所以0.33……+0.66……=1，也就是0.99……=1；其次，0.99……和1比較大小，讓學生找大于0.99……而小于1的數，學生找不到這樣的數，從而告訴學生0.99……=1。

教師還可以讓學生通過檢驗體會到任何一個循環小數可以改寫成分數，比如：0.888……=0.8+0.08+0.008+……= = ，0.4545……=0.45+0.0045+0.000045+……= = 。

片段二：

在教學行程問題時，我給學生講了這樣一個故事：兔子和烏龜賽跑，起初烏龜在兔子前100米，兔子每分走10米，烏龜每分走1米，兔子永遠追不上烏龜。學生們感到很詫異，接下來我就說明了兔子永遠追不上烏龜的理由：當兔子走完100米的時候，烏龜已經向前走了10米，當兔子再向前走10米的時候，烏龜又向前走了1米，當兔子繼續向前走1米的時候，烏龜又向前走了0.1米，當兔子再向前走0.1米的時候，烏龜又向前走了0.01米，……所以兔子永遠追不上烏龜。

片段一中的教學，讓學生體會到“0.99……”這個小數后面的“9”有無窮多個，到底有多少個，沒人能說清楚，但有一點是肯定的，這個數的終極狀態就是1。片段二中，學生顯然不接受“兔子永遠追不上烏龜”這個觀點，其實兔子追上烏龜的時間是10+1+0.1+0.01+0.001+……= （分），但這樣的教學卻可以使學生在頭腦中初步萌生出“無限”的概念。我以為，如此教學不但能激發學生學習數學的興趣，而且對于發展學生智力，培養學生良好的思維能力是十分有益的，更重要的是滲透給學生極限的思想方法。

總之，極限思想是人類思想文化寶庫中的瑰寶，是對數學知識的本質反映，是知識向能力轉化的紐帶。在小學數學教材中，能夠體現數學極限思想方法的因素極為廣泛，教師在教學中應該意挖掘，并抓住適當的時機，將這一思想和方法適度地滲透給學生。這樣學生沉淀下來的就不只是數學知識，更主要的是一種數學的素養，為他們以后建構新的數學知識體系，進一步拓寬數學的空間，走出校門后去獨立學習和研究更高深的數學理論夯實基礎。