GM(1,1)模型的在建筑物沉降預(yù)測中的應(yīng)用

魯玉芬開 明王國現(xiàn)

（1.蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑系 安徽蕪湖 241002；2.蕪湖市勘察測繪設(shè)計(jì)研究院有限責(zé)任公司 安徽蕪湖 241000）

建筑物的沉降變化是一個(gè)動(dòng)態(tài)發(fā)展過程，受多種因素綜合作用，且這些因素本身小樣本、貧信息和不確定性。在一定程度上具有很強(qiáng)的“小樣本不確定問題”的灰色特征[1-2]。結(jié)合蕪湖市弋江嘉園小區(qū)建筑物沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)，利用灰色預(yù)測GM(1,1)模型，分析該建筑物沉降的動(dòng)態(tài)變化過程，對(duì)建筑物沉降進(jìn)行定量分析預(yù)測。

一、灰色GM(1,1)預(yù)測模型

我國鄧聚龍教授在20世紀(jì)80年代就提出了灰色理論，并用該理論解決信息不完備系統(tǒng)的復(fù)雜問題。通過采集已知部分的信息或數(shù)據(jù)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立動(dòng)態(tài)模型，充分利用灰色理論中的相關(guān)方法來預(yù)測事物未來的發(fā)展趨勢。GM(1,l)模型是實(shí)際應(yīng)用中最為普遍的一種灰色預(yù)測模型，是灰色系統(tǒng)理論的核心模型[3-4]，其建模過程大致如下：

第一步：數(shù)據(jù)列的參數(shù)ɑ、級(jí)比和光滑比檢驗(yàn)

GM（1，1）模型的發(fā)展系數(shù) ɑ的可容區(qū)為（-2，2）。只有a∈(-2，2)，GM（1，1）模型才有意義。即滿足：

則：

上式σ（k）為數(shù)據(jù)列的級(jí)比，ρ（k）為數(shù)據(jù)列的光滑比。兩者關(guān)系為：

一般情況下，光滑比值越小，說明數(shù)據(jù)序列越光滑，變化趨勢越平穩(wěn)。

第二步：作累加生成數(shù)列

設(shè)原始觀測非負(fù)時(shí)間數(shù)列為：

其中n為數(shù)列長度；對(duì)x(0)進(jìn)行一次累加生成1—AGO序列x(1)：

第三步：作x(1)(k)的緊鄰均值生成序列z(1)(k)

第四步：構(gòu)造矩陣B和常數(shù)向量yN

第五步：最小二乘法求參數(shù)

第六步：確定微分方程模型

第七步：得到時(shí)間響應(yīng)式

灰色GM（1，1）模型的模擬值如下：

第八步：模型精度檢驗(yàn)

為了確定模型的優(yōu)劣性，還需要對(duì)其進(jìn)行精度檢驗(yàn)，選擇精度較好的模型進(jìn)行預(yù)測。相對(duì)于灰色模型的精度檢驗(yàn)三種方法殘差大小檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)法和后驗(yàn)差檢驗(yàn)，其中后驗(yàn)差檢驗(yàn)法運(yùn)用比較成熟，通過后驗(yàn)差比值C和小誤差概率P兩個(gè)綜合評(píng)定預(yù)測模型的精度[5-7]，具體方法如下：

設(shè)原始數(shù)據(jù)序列和殘差數(shù)列的方差分別為，S21，S22則：

計(jì)算后驗(yàn)差比值和小誤差概率得：

指標(biāo)C和P是后驗(yàn)差檢驗(yàn)的兩個(gè)重要指標(biāo)，評(píng)定一個(gè)模型時(shí)，C值越小越好，P越大越好，一般要求0.35≤C≤0.65，0.70≤P≤0.95.

二、工程實(shí)例應(yīng)用

以蕪湖市弋江嘉園小區(qū)建筑物沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)為例，隨機(jī)選取該建筑物35號(hào)樓3、4、5、6號(hào)點(diǎn)的累積沉降量進(jìn)行GM(1，1)預(yù)測分析，具體數(shù)據(jù)見如下表13。

表13 35#樓3、4、5、6號(hào)點(diǎn)的累積沉降量

根據(jù)灰色模型理論以及觀測數(shù)據(jù)，編制vb程序，分別對(duì)35號(hào)樓3、4、5、6號(hào)點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測；以2-7期累計(jì)沉降量作為原始序列，預(yù)測8-10期數(shù)據(jù)，以35號(hào)樓3號(hào)點(diǎn)為例，具體預(yù)測結(jié)果如圖1：

圖1 3號(hào)點(diǎn)GM(1，1)預(yù)測結(jié)果

根據(jù)時(shí)間響應(yīng)函數(shù)x(k+1)=98.238636exp(0.044848*k)-98.138636，預(yù)測該點(diǎn)8-10期數(shù)據(jù)，計(jì)算結(jié)果分別為：5.64，5.90，6.17。同理，可獲得4,5,6號(hào)點(diǎn)沉降預(yù)測結(jié)果。利用建立的GM(1，1)模型分別對(duì)35號(hào)樓3,4,5,6號(hào)點(diǎn)預(yù)計(jì)的預(yù)測沉降量與累計(jì)實(shí)際沉降量進(jìn)行比較，結(jié)果如圖2,圖3,圖4,圖5。

圖2 3號(hào)點(diǎn)GM(1，1)模型預(yù)測分析圖

圖3 4號(hào)點(diǎn)GM(1，1)模型預(yù)測分析圖

圖4 5號(hào)點(diǎn)GM(1，1)模型預(yù)測分析圖

圖5 6號(hào)點(diǎn)GM(1，1)模型預(yù)測分析圖

從圖2-5可以發(fā)現(xiàn)，35號(hào)樓實(shí)際沉降量與預(yù)測沉降量發(fā)展趨勢一致，均隨時(shí)間遞增，沒有異常的沉降。第8期預(yù)測值與實(shí)際值非常接近，預(yù)測結(jié)果較好。第9、10期累計(jì)沉降量實(shí)際值與預(yù)測值之間差別較大，其原因主要是灰色預(yù)測對(duì)于誤差的因素考慮的比較少，由數(shù)據(jù)內(nèi)在的規(guī)律建立模型導(dǎo)致的，同時(shí)也說明GM(1，1)模型在短期預(yù)測建筑物沉降時(shí)具有較好的預(yù)測精度，同時(shí)隨著工程周期的延長，用前期的監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行建筑物沉降預(yù)測，其預(yù)測精度會(huì)逐漸降低。

三、結(jié)語

工程實(shí)例表明，運(yùn)用GM(1，1)模型預(yù)測建筑物的沉降發(fā)展趨勢，無需采集大量的觀測數(shù)據(jù)，利用少量真實(shí)有效的觀測數(shù)據(jù)建立預(yù)測模型，便可較為真實(shí)地反映出建筑物沉降發(fā)展趨勢。但由于建筑物沉降變化是一個(gè)動(dòng)態(tài)發(fā)展過程，受到系統(tǒng)內(nèi)外多方面因素的綜合作用，利用遠(yuǎn)期的觀測數(shù)據(jù)所反映的建筑物在沉降后期的發(fā)展趨勢精確度不是很高。因此，為了提高建筑物沉降預(yù)測精度，必須及時(shí)補(bǔ)充近期新的觀測數(shù)據(jù)并修正預(yù)測模型，以獲得精度較高的建筑物沉降發(fā)展趨勢，為相關(guān)部門合理安排施工工序以及面對(duì)出現(xiàn)異常沉降及時(shí)采取應(yīng)急措施提供決策性指導(dǎo)意見。