基于核心素養的高中生數形結合解題的現狀研究

楊 芳

（長治學院 數學系，山西 長治 046011）

1 引言

2 研究方法

2014年3月，教育部印發了《關于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務的意見》，將制訂學生核心素養發展體系成為了當前的首要任務。核心素養是學生在接受相應學段的教育過程中，逐步形成的適應個人終身發展和社會發展需要的必備品格與關鍵能力[1]。在數學課程領域，數學核心素養也在研究制訂中。高中數學課程標準修訂組的專家提出了六種數學核心素養成分：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析，這些數學核心素養既有獨立性，又相互交融，形成了一個有機整體[2]。

2.1 調查問卷

調查問卷是由兩部分組成，第一部分主要是考察學生對數形結合思想的認識，由2道題組成。第1題是了解學生對數形結合思想及應用范圍的認識；第2題是了解學生認為運用數形結合思想解題的優勢有哪些。第二部分主要是考查學生運用數形結合解題的能力，根據數與形轉化的方向可以分為三種類型：一是“由數及形”，二是“由形及數”，三是“數形結合相互轉化”。問卷第3、4題考查由數及形的解題能力，第5、6題考查由形及數的解題能力，第7、8題考查學生“數”與“形”相互轉化的能力。

數形結合思想是數學中極其重要的思想之一，它主要體現了邏輯推理和直觀想象兩種數學核心素養。“數形結合”一詞的出現與華羅庚先生有著密不可分的聯系。華羅庚先生用一首詞概括了數形結合思想：數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛，數缺形時少直觀，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事休；切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，莫分離[3]!運用數形結合思想解題，能夠將復雜的問題化難為易、化繁為簡，使抽象的問題變得具體化，促進了學生對數學知識的理解。文章主要調查研究高中生在運用數形結合思想解決集合與函數部分的現狀，以分析存在的主要問題。

2.2 調查對象與實施

2017年6月，在太行中學選取200名高中生進行了問卷調查。時間為30分鐘，發放問卷200份，收回200份，有效問卷196份，有效率為98%。

3 調查結果分析

根據學生回答的情況可知，98%的學生聽說過數形結合思想，67%的學生認為數形結合主要解決函數、幾何以及集合等問題，23%學生只聽說過數形結合但是不知道其應用范圍，只有62%的學生答出數形結合的優點是方便計算、可以有助于理解，更好的解題。關于第二部分高中生運用數形結合解題的調查結果匯總如表1所示：

表1 高中生解題正確率統計表

從表1中可以看出學生運用“數形結合”解題的整體水平不高。從統計數據也可以看出在解決這三類問題中，數形結合相互轉化類型的問題最難，其次是由數及形類型的問題，最容易解決的是由形及數類型的問題。

3.1 “由數及形”問題的調查結果

第3題的正確率僅為21%，本題主要考查學生在解決集合相關運算的解題能力，這是典型的利用圖像求解的題目。在同一直角坐標系內畫出函數y=x2與y=2x的圖像，然后找其圖像交點的個數，有3個交點。

主要錯誤類型一：47名學生利用數形結合的方法解題，但由于在作圖過程中沒有精確作圖，或者是只做出了圖像的一部分，只找到2個交點。這種以偏概全、以局部代替整體的做法導致題目解答的錯誤。

主要錯誤類型二：21名學生利用代數的方法找特殊數代值以至于漏掉一些解，導致錯誤。這些學生沒有考慮到每個集合中的元素都有無數個，而只列出5個元素。

第4題的正確率是62%。本題是有關指數函數比較大小有關的題目，主要考察學生利用函數圖像來比較大小。主要錯誤類型是學生對指數函數的圖像不清楚，不會畫指數函數的圖像，對題中的代數信息不能準確的轉化為直觀的圖形。有學生將指數函數的圖像畫出了對數函數的函數圖像，以至于出現錯誤。

3.2 “由形及數”問題的調查結果

第5題主要考查學生由圖像求函數解析式的問題。在這道題中是分段函數，所以需要分別求其解析式。有5名學生將圖像中的值域看成是[0，2]，把點的坐標代錯，并且在作圖過程中出現作圖不規范、作圖不精準。

第6題主要是根據已知圖像寫出相應的函數關系式，本題的正確率為83%。首先要看圖形對應的x軸上的任意一個x是否都有唯一的y與之對應，若是，則該圖形是函數的圖像；若至少有1個x值存在兩個或兩個以上的y與之對應，則此圖形一定不是函數圖像。或者過圖形上任一點作x軸的垂線，若該垂線與圖形無任何其他的公共點，則此圖形是函數的圖像，否則該圖形一定不是函數的圖像。其次，還要注意函數的定義域、值域與圖像中所示的定義域、值域是否一致。在調查中，主要錯誤類型是學生將定義域中元素看成是離散的點，函數的基本定義不理解，區間概念沒掌握好。

3.3 “數形結合相互轉化”問題的調查結果

第7題主要考查利用數形結合的方法比較三類函數指數函數、對數函數、以及冪函數的函數值的大小。有8名學生將三個函數分別畫在了三個直角坐標系內，不能直觀地比較它們的大小。有17名學生傾向于運用代數的方法解題，這種方法雖然也可以解得正確答案，但使用圖形會更直觀。

第8題考查利用數形結合的思想求函數解析式，正確率僅為23%。

主要錯誤類型一：有11名學生在將y=x2+1的圖像畫錯，應該是拋物線卻畫成了直線，并且不知道對稱后的函數解析式是什么。這些學生對二次函數的定義以及圖像沒有掌握。利用數形結合思想解題時，沒有將給出的已知條件等價轉化為圖形語言。

還有6名學生畫出了圖像，但所設解析式是二次函數的一般式，導致結果錯誤。如果知道對稱后的頂點坐標就可以設二次函數的頂點式，再找一個點代入就可以得到正確答案。

有部分學生使用代數的方法，將對稱后的函數看成是由y=x2+1向右平移了2個單位，然后根據平移的性質，“上加下減，左加右減”得到最后的答案。這種方法具有一定的局限性，如果換成其他類型的函數，則這種方法就不適用了。

4 結論與建議

通過調查可以看出學生運用數形結合思想解題的意識不強。例如，在問卷第3題中有部分學生采用代數方法解題，以至出現錯誤。因此，在教學中教師要注重對數形結合思想方法的滲透。例如在講解集合時，教師可以借助數軸、韋恩圖等來講授集合的有關概念與相關運算，向學生滲透數形結合思想。在學習函數時可以通過圖像的直觀性來講解函數的單調性，對數函數、指數函數、以及冪函數的性質，以強化學生利用圖像來掌握基本概念。