雙重MS-代數(shù)的正則理想

趙秀蘭，陳麗娟

（1.黃河科技學(xué)院數(shù)理部，河南 鄭州，450063；2.河南工程學(xué)院理學(xué)院，河南 鄭州，450007）

1977年，Joe Berman將布爾代數(shù)推廣到Ockham代數(shù)[1]（L；∧，∨，f，0，1），即在有界分配格上賦予一個偶自同態(tài)的一元運算f，且

布爾代數(shù)、Stone代數(shù)、de Morgan代數(shù)等是Ockham代數(shù)的子代數(shù).作為Stone代數(shù)、de Morgan代數(shù)的共同抽象，Blyth引入MS代數(shù)[1]的概念.對MS代數(shù)做更深層次的研究，陸續(xù)產(chǎn)生新的擴充MS-代數(shù)，例如雙重MS-代數(shù)，雙重半偽補MS-代數(shù)等（詳細的信息見文獻[2-4]）.

對序代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究，常借助理想和濾子，是人們認(rèn)識序代數(shù)-Ockham代數(shù)類的結(jié)構(gòu)及同余關(guān)系的一個重要工具.文獻[5]給出了雙重MS-代數(shù)正則濾子同余關(guān)系的表達式；文獻[6-11]以理想與濾子為工具刻畫了相關(guān)Ockham代數(shù)的結(jié)構(gòu)，給出了相應(yīng)Ockham代數(shù)理想和濾子同余關(guān)系表達式.本文作為文獻[5]的補充，討論雙重MS-代數(shù)正則理想與正則濾子的關(guān)系，豐富序代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究.

1 預(yù)備知識

定義1.1[1]設(shè)（L；∧，∨，0，1）是一個有界分配格，其上賦予一元運算o，且滿足條件：

（1）（?x∈L）x≤xoo；（2）（?x，y∈L）（x∧y）o＝xo∧yo；（3）1o＝0.稱（L；∧，∨，o，0，1）為 MS-代數(shù).

定義 1.2[1]設(shè)（L；∧，∨，o，＋，0，1）是一個（2，2，1，0，0）型代數(shù)，且滿足條件：

（1）（L；∧，∨，o，0，1）是 MS-代數(shù)；

（2）（L；∧，∨，＋，0，1）是對偶 MS-代數(shù)；

（3）（?x∈L）xoo＝xo＋，x＋＋＝x＋o.

稱（L；∧，∨，o，＋，0，1）為雙重 MS-代數(shù).

定義 1.3[12]設(shè)（L；∧，∨）是一個格，I是格 L 的子格，若 x，y∈L，y≤x∈I總有 y∈I，稱子格I是格L的理想.對偶地，F(xiàn)是格L的子格，若x，y∈L，y≥x∈F總有y∈F，稱子格F是格L的濾子.

定義 1.4[5]設(shè)（L；∧，∨，o，＋，0，1）為雙重 MS-代數(shù)，F(xiàn) 是 L 的濾子，若 x∈F 總有x＋o∈F，則稱F是L的正則濾子.

定義 1.5[1]設(shè)（L；∧，∨，o，＋，0，1）為雙重 MS-代數(shù)，θ是 L 的一個格同余關(guān)系，若

則稱θ是L的同余關(guān)系.

便于闡述，假定L是雙重MS-代數(shù)，a，b∈L，F(xiàn)?L，用θ（F）和θlat（F）分別表示包含F(xiàn)的最小同余與最小格同余（即由F所生成的主同余和格主同余）.符號ConL表示L的全體同余關(guān)系構(gòu)成的集合.

引理 1.1[5]設(shè)（L；∧，∨，o，＋，0，1）為雙重 MS 代數(shù)，F(xiàn) 是 L 的正則濾子，則

引理 1.2[5]設(shè)（L；∧，∨，o，＋，0，1）為雙重 MS 代數(shù)，F(xiàn) 是 L 的正則濾子，則

引理 1.3[5]設(shè)（L；∧，∨，o，＋，0，1）為雙重 MS 代數(shù)，φ∈ConL，則

是L的正則濾子，且

2 主要定理

設(shè)（L；∨，∧，o，＋，0，1）是雙重 MS-代數(shù)，I是 L 的理想，若 x∈I總有 xo＋∈I，則稱 I是L的正則理想.

定理 2.1 設(shè)（L；∨，∧，o，＋，0，1）是一個雙重 MS代數(shù)，I是 L 的正則理想，則

證明 引理1.1的對偶命題.詳細證明請參見文獻[5，定理1].

以定理2.1為基礎(chǔ)，給出θ（I）的另一種形式的刻畫.

定理 2.2 設(shè)（L；∨，∧，o，＋，0，1）是一個雙重 MS 代數(shù)，I是 L 的正則理想，則

證明 引理1.2的對偶命題.詳細證明請參見文獻[5，定理2].

推論 2.1 設(shè)（L；∨，∧，o，＋，0，1）是一個雙重 MS-代數(shù)，φ∈ConL，則 kerφ 是 L 的正則理想且

證明 引理1.3的對偶命題.詳細證明請參見文獻[5，定理3].

設(shè)L是雙重MS-代數(shù)，對于L的正則濾子F和正則理想I，記集合

顯然，I0，F(xiàn)＋分別為L的濾子和理想.下面，進一步探討正則濾子F和正則理想I的關(guān)系.

定理 2.3 設(shè)（L；∨，∧，o，＋，0，1）是一個雙重 MS-代數(shù)，又設(shè) I及 F 分別是 L 的正則理想與正則濾子，則

（1）I0是L的正則濾子；（2）F＋是L的正則理想.

證明 （1）顯然，I0為L的濾子.設(shè)x∈I0，則?i∈I，使得x≥io．結(jié)合雙重MS代數(shù)的運算性質(zhì)，x＋o≥io＋o＝（io＋）o.由正則理想的定義知，io＋∈I.又有 I0的定義得，x＋o∈I0，所以I0是L的正則濾子.

（2）顯然，F(xiàn)＋為 L 的理想.設(shè) x∈F＋，則?a∈F 且 a＋o∈F，使得 x≤a＋.結(jié)合雙重 MS代數(shù)的運算性質(zhì)，xo＋≤a＋o＋＝（a＋o）＋.從而 xo＋∈F＋，所以 F＋是 L 的正則理想.

設(shè)（L；∨，∧，o，＋，0，1）是一個雙重 MS-代數(shù)，又設(shè) I及 F 分別是 L 的正則理想與正則濾子，按照定理2.3定義的Io，F(xiàn)＋，正則理想I與正則濾子F之間建立下列等式關(guān)系.

定理 2.4 （1）Io＋＝I；（2）F＋o＝F.

證明（1）由定理 2.3 知，Io＋為 L 的正則理想.設(shè) x∈Io＋，則?i∈Io，j∈I，使得 x≤i＋，i≥jo．從而 x≤jo＋.又因 I是 L 的正則理想，則 jo＋∈I，于是 x∈I，因此 Io＋?I.

另一方面，設(shè) x∈I，由正則理想的定義知，xo＋∈I.由 I0定義得，xo∈Io，易得 xo＋∈Io＋，又因 x≤xoo＝xo＋，所以 x∈Io＋，故 I?Io＋.

綜上所述，Io＋＝I

（2）由定理 2.3 知，F(xiàn)＋o為 L 的正則濾子.設(shè) x∈F＋o，則?i∈F＋，j∈F，使得 x≥io，i≤j＋.從而 x≥j＋o.又因 j＋o∈F，于是 x∈F，因此 F＋o?F.

另一方面，設(shè) x∈F，則 x＋o∈F.又因 x≥x＋o＝x＋＋，所以 x∈F＋o，故 F?F＋o.

綜上所述，F(xiàn)＋o＝F.

設(shè)L是雙重MS-代數(shù)，記I（L），F(xiàn)（L）分別表示L的理想和濾子構(gòu)成的集合，NI（L），NF（L）分別表示L的正則理想和正則濾子構(gòu)成的集合，則有下列定理.

定理 2.5 設(shè)（L；∨，∧，o，＋，0，1）是一個雙重 MS-代數(shù)，

（1）NI（L）是I（L）的子格；

（2）NF（L）是 F（L）的子格.

證明（1）令I(lǐng)1，I2∈NI（L），下證I1∧I2，I1∨I2∈NI（L）.

設(shè)x∈I1∧I2，則x∈I1，x∈I2.又因I1，I2∈NI（L），故xo＋∈I1且xo＋∈I2.故xo＋∈I1∧I2，所以，I1∧I2∈NI（L）

再令 x∈I1∨I2，由文獻[12]知，存在 i1∈I1，i2∈I2，使得 x≤i1∨i2.又由文獻[1]中雙重MS-代數(shù)的運算性質(zhì)得，又因因此xo＋∈I1∨I2，所以I1∨I2∈NI（L）定理得證.

（2）和（1）類似的方法，可證 NF（L）是 F（L）的子格.

對于L的正則理想集NI（L）和正則濾子集NF（L）之間滿足下列定理.

定理2.6NI（L）?NF（L）

證明定義映射α:NI（L）→NF（L）和映射β:NF（L）→NI（L），使得

設(shè)I1，I2∈NI（L），F(xiàn)1，F(xiàn)2∈NF（L），由定理2.5知，

又由定理2.5知，

下證 α（I1∧I2）＝α（I1）∧α（I2），α（I1∨I2）＝α（I1）∨α（I2）.

設(shè) x∈α（I1∧I2），則存在 i∈I1∧I2，使得 x≥io.由于 i∈I1，i∈I2，因此 x∈α（I1）且x∈α（I2），故 x∈α（I1）∧α（I2），所以 α（I1∧I2）?α（I1）∧α（I2）.

另一方面，設(shè) x∈α（I1）∧α（I2），則有 x∈α（I1）且 x∈α（I2）.于是存在 i1∈I1，i2∈I2，使得于是又因 i1∧i2≤i1∈I1，i1∧i2≤i2∈I2，故 i1∧i2∈I1∧I2，所以 x∈α（I1∧I2），因此 α（I1）∧α（I2）?α（I1∧I2）.所以 α（I1∧I2）＝α（I1）∧α（I2）.

設(shè) x∈α（I1∨I2），則存在 i∈I1∨I2，從而存在 a∈I1，b∈I2，有 i≤a∨b，使得 x≥io.由于 ao∈α（I1），bo∈α（I2），故 x∈α（I1）∨α（I2），即 α（I1∨I2）?α（I1）∨α（I2）.

另一方面，設(shè) x∈α（I1）∨α（I2），則存在 i1∈α（I1），i2∈α（I2），有 x≥i1∧i2.由 α（I1），α（I2）的定義知，分別存在 j1∈I1，j2∈I2，使得從而又因 j1∨j2∈I1∨I2，于是 x∈α（I1∨I2），所以 α（I1）∨α（I2）?α（I1∨I2）.因此 α（I1）∨α（I2）＝α（I1∨I2）.

同理可得 F1∧F2，F(xiàn)1∨F2∈NF（L），有

由定理2.4知，β（α（I））＝I，α（β（F））＝F，所以NI（L）?NF（L）.

3 結(jié)束語

本文在文獻[5]的基礎(chǔ)上，利用雙重MS-代數(shù)運算及同余性質(zhì)，論證了獲得雙重MS-代數(shù)正則理想集和正則濾子集是同構(gòu)的結(jié)論.這一結(jié)論幫助我們了解雙重MS-代數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu).