基于載彈量約束的艦艇目標價值分析和導彈分配方案?

宋貴寶 賈汝娜 李一夫 王城超

（1.海軍航空大學 煙臺 264001）（2.91959部隊 三亞 572000）

1 引言

一方面，海上形勢日益嚴峻，戰場環境日益復雜，立體化、網絡化的聯合作戰方式成為主流，反艦導彈等殺傷力巨大的武器不斷發展，給水面艦艇的生存帶來極大威脅；另一方面，作為海軍部隊作戰的重要支撐平臺，水面艦艇承擔著海上作戰、護衛巡航、保障港口和海上運輸安全等眾多艱巨使命，必須提高自身的防御和多種綜合作戰能力［1］。本文立足水面艦艇的實際情況，即出航過程較長且武器補給難以實現，威脅和任務多樣化，解決總導彈武器攜載數量存在約束條件下，合理確定對目標的導彈武器使用數量，從而確定各型導彈配置數量。

2 問題模型建立

2.1 作戰任務

作戰任務確定考慮驅護編隊在近海和遠洋戰活動中目標威脅多樣、執行多種任務的特點，按照目標作戰平臺對作戰任務進行劃分。

作戰任務：軍語中對作戰任務的定義為武裝力量在作戰中所要達到的目標及承擔的責任［2］。作戰任務的類型可依據具體作戰目標確定，本文中將對某一作戰平臺采取的導彈武器分配確定為一項作戰任務，從而根據整個作戰過程中目標平臺的類型和數量確定完成任務使命所需要完成的各個子任務，這種任務確定方法可以將任務執行與武器分配進行有效掛鉤，簡化分析模型。

作戰平臺：軍語中對作戰平臺的定義為現代各種武器系統中，具有運載功能并可作為火器依托的載體部分［2］。本文中根據具體情況，定義為可攜帶一定武器裝備、具備一定防御和攻擊能力的武器載體。如一艘裝載導彈、艦炮等武器的驅逐艦，一架裝載導彈的戰斗機。

2.2 問題模型

本文模型中為在只考慮各型導彈的總量約束情況下，設可攜載的導彈武器總量為M；要打擊的目標平臺數量為N，表示為Ti（i=1，2，…，N），不同目標平臺的價值系數VTi。打擊不同目標平臺所需的艦載導彈類型不同，由于本文主要考慮導彈總量約束，所以對具體平臺的打擊我們總選擇對其單發毀傷概率最高的導彈類型［2］。

設對平臺Ti使用的導彈數量為XTi，單發導彈對目標平臺的毀傷概率為pi，單個平臺的毀傷程度Ti毀表示為［3］

此時對該目標平臺的作戰任務價值V'Ti為

目標函數V為總作戰任務價值最大，公式為

3 目標價值系數確定

本文的目的是在驅護編隊出海作戰時導彈武器攜載量存在約束條件下，綜合考慮對各個作戰平臺所采取的打擊方式，以實現總任務價值V最大為目標函數，以此最終確定各型導彈配置數量。其中價值系數VTi的計算對于整個配置方案的合理性起到決定性作用，對各個目標的相對重要性進行合理評估確立各目標平臺價值系數，才能準確進行下一步計算。

3.1 建立目標價值指標體系

對于目標價值的計算，有文章提出使用綜合分析方法，將目標價值分解為目標個體價值和目標網絡價值兩個分量，分別通過目標個體價值分析和目標網絡價值分析得到兩個價值分量的排序，最后通過一個綜合算法得到最終目標價值排序［4］。

參照上述思路對建立目標價值體系如圖1所示。

圖1 目標價值指標體系

個體價值指標主要從目標平臺自身特性分析得出，包括［5～6］：

抗毀傷能力a1：以造成重創所需要的導彈武器數量作為衡量基準。

目標類型a2：不同目標具有不同的威脅等級排序。

距離和速度：兩者描述了目標與我方接近距離的變化情況，速度越快距離越近威脅越高，我們用兩者比率a3來表示。

武器裝備a4：武器的裝備情況反映了目標對我方毀傷能力的程度。

目標造價a5：該指標在一定程度上可以衡量對其打擊的價值。

組間價值主要從整個目標體系出發，分析其在體系中的價值，包括：

目標戰術價值a6：目標在整個體系中重要性，如航母艦艇編隊中主航母戰術價值通常最大。

戰術要求滿足性a7：從任務使命和任務角度出發，描述目標平臺在作戰中的價值，如作戰要求為破壞敵方的偵察能力，那么攜帶偵察設備的平臺戰術滿足性更高。

作戰協同地位a8：目標在目標體系中起到的通信、火力支援等作用越重要認為協同地位越高。

為方便計算，將各指標進行相應等級劃分，然后進行［0，1］區間打分法。

各指標相應處理結果如表1～表8：

表1 目標抗毀傷能力等級表

表2 目標威脅等級表

表3 距離速度比率等級表

表4 武器裝備等級表

表5 目標造價等級表

表6 目標戰術價值等級表

表7 目標戰術滿足性等級表

表8 目標作戰協同能力等級表

3.2 計算各目標價值指標權重

以上指標按照可理解性指標處理原則進行統一處理。可理解性指標可以進行理解計算，通常難以確定具體的計算函數。對其處理的過程采用二元對比排序法方法，相較于專家打分法可以減少主觀性。首先對以上指標進行兩兩比較，確定排列矩陣。通常會采用9標度排序法，但由于傳統的9標度指標判斷矩陣的約束性太強，本文采用1，0，-1的3標度法，并使用最優傳遞矩陣進行計算［7］。計算過程如下：

首先確定標度含義，如

然后對各級指標進行兩兩比較，建立比較矩陣，然后建立最優傳遞矩陣和判斷矩陣。

最優傳遞矩陣計算方法：

判斷矩陣計算方法：

那么A矩陣中最大特征值對應的特征向量記為各因素的相對權重記為（a1，a2，a3，…，a8）。

我們請十位相關專家按照上述方法進行打分，取均值后最終確定指標（a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8）的相應指標權重為

（0.14，0.25，0.18，0.11，0.09，0.05，0.14，0.04）

各指標權重分布較為均勻也側面表現了指標選取的有效性。

對于目標平臺Ti，邀請十位專家對其相關的八個指標進行等級打分，然后加權求和得到VTi(pj)，最后各得分求均值，則目標價值：

4 算法設計

4.1 整數規劃模型［8～10］

由于所求各平臺所需導彈數量均為整數，可以考慮整數目標規劃模型。求解過程如下：

首先為簡化計算公式，計算不同導彈數量下目標平臺毀傷概率。根據實際情況確定導彈數量區間：對一個目標平臺都要采取打擊和防御手段，所以XTi取值下界為1；由毀傷程度Ti毀計算公式可以看出，當導彈攻擊數量達到一定時，毀傷效果增加不明顯，我們界定XTi取值上界為10，所以1≤XTi≤10。

其次定義定義向量a=（a1，a2，…，an）T表示一個符合約束的分配決策，a1+a2+…+an=M，且其中ai表示分配給目標平臺Ti的導彈數量。

整數規劃模型如下：

以任務總價值最大化為目標函數，并約束了總的導彈需求數量不超過可攜載導彈總量。

4.2 基于動態規劃的算法設計［11～12］

采用動態規劃的思路，將該問題劃分為若干相關的過程去求解。求解思路為：將問題分為N個階段，在階段K=N時，將導彈武器分配給目標平臺N；當階段K=N-1時，將導彈武器分配給目標平臺N-1；依此類推，在任意階段都將導彈武器分配給目標平臺K；當階段K=1時，把導彈武器分配給目標平臺1。狀態變量UK表示第K階段初剩余未分配的導彈數量。由題意可知U1=M，UK+1=0。

決策變量XK表示第K階段分配給目標平臺K的設備臺數，且滿足。

用 fK（UK）表示將 UK分配給目標平臺 K，K+1，…，N時的最大任務價值，動態規劃方程為：

初始條件為fN+1（UN+1）=0，問題的求解即為計算f1（M）。

5 算例求解

下面以一個簡單的算例進行驗證求解。假設目標平臺數量N=3，表示為平臺1，平臺2，平臺3，可攜載導彈數量M=10，單發導彈對平臺毀傷概率分別取值為0.5，0.52，0.54，各平臺價值系數Vt1，Vt2，Vt3按照上文方法，邀請十位專家進行等級評分，最終計算得三個平臺價值系數0.36，0.3，0.34。計算平臺毀傷概率時發現當導彈攻擊數量取值5時各平臺毀傷概率均在95%以上，認為此時已經對平臺造成重創，所以本題中限定對各平臺分配導彈數量取值小于6。

對不同導彈數量條件下目標平臺的毀傷程度Ti毀見表9。

表9 不同導彈數量目標毀傷程度Ti毀匯總表

5.1 采用整數線性規劃求解過程

我們用（n，m）表示一個組合情況，表示對第m個平臺分配的導彈數量為n，用A表示選定的武器目標分配方案，表示為｛（X1，1），（X2，2），（X3，3）｝表示。

定義決策變量

計算出Xnm以后轉化為對應導彈數量，可以簡化計算。將導彈總數限制，Xnm取值限制作為條件約束輸入，以最大任務總價值為目標函數進行計算。

計算得出，該問題具有唯一解，對平臺1，2，3的分配數量分別為4，3，3時所求得的總任務價值最大，為0.911。

5.2 采用動態規劃思路求解

首先計算不同數量導彈攻擊時各任務價值，其結果如表10所示。

表10 不同導彈數量任務價值表

此時 u1=10，u4=0，0≤uk≤10（k=2，3）。遞推求解如下：

K=3時：U3表示將武器分配到平臺3時剩余的導彈數量，根據實際要求，U3＜ 6，又因為VK（XK）是增函數，所以

K=2時：U2表示分配到平臺2時導彈剩余未分配數量，因為平臺1所分配數量最大為5，所以U2取值最小為5，這樣可以減少計算步驟。

類似地，可以得到

根據計算過程可以看出，當X1=4，X2=3，X3=3，即對于平臺1，2，3所使用的導彈數量為4，3，3時所取得的任務價值最大，計算結果為0.92。

兩種計算方式分配方案相同，計算結果因為數值的四舍五入誤差導致。

6 結語

該問題的求解可以看做是一類運輸資源分配問題。資源分配問題考慮如何將運輸資源分配到多個區域中，以最小化整體運作成本。當假設運輸資源數量為M，待分配區域數量為P時，可行解K的數量為

當問題規模較大時，可行解的數量會非常多。因此考慮合適的求解算法降低計算復雜度也是要考慮的問題之一。本文從實際作戰條件下水面艦艇執行任務時武器不及困難、攜載數量有限的條件出發，對問題進行具體分析從而簡化了計算過程。此類問題當規模較大時可采用智能算法求解優化解，將是下一步研究的方向。