等差數列解題十招式理論與實踐

薛超群

【摘 要】在等差數列教學中，教師對教材進行歸納總結，形成等差數列解題招式，能讓學生在學習中應用招式解決等差數列問題，增強學生學習信心，激起學習興趣，快速提高學習成績。

【關鍵詞】等差數列；解題招式；等差數列題型

在高中數學等差數列教學中，筆者在教學實踐中，對教材進行歸納總結，形成等差數列解題十招式，簡介如下：

招式一：“借力打力”：

在等差數列{a■}中，a■=a■+（n-m）d，表示a■是站在a■肩膀上，借用a■之力。

招式二：“老鼠拖蛋”：

在等差數列{a■}中，d=■，公式右邊分子，形如2只老鼠在樓上拖著雞蛋，雞蛋打碎后，字母n、m從樓上跌下。

招式三：“恩人帶路”：

在等差數列{a■}中，前n項和S■=na■+■d，公式右邊字母n（音恩人）在前面帶路，字母d（音弟弟）跟著走。

招式四：“下標和”：

在等差數列{a■}中，若n+m=p+q，則a■+a■=a■+a■，即下標和相等推出兩項和相等。

招式五：“等距抓壯丁”：

在等差數列{a■}中，等距離抽取出的項組成等差數列，如a■，a■，a■，…是等差數列。

招式六：“切豆腐，糅合”：

在等差數列{a■}中，前n項和S■，可得S■，S■-S■，S■-S■，…也是等差數列。

招式七：“等差數列四等價之一”：

數列{a■}為等差數列，等價于a■-a■=d，其中n≥2，d為常數。

招式八：“等差數列四等價之二”：

數列{a■}為等差數列，等價于a■=■，其中n≥2。

招式九：“等差數列四等價之三”：

數列{a■}為等差數列，等價于a■=pn+q，其中p，q為常數。

招式十：“等差數列四等價之四”：

數列{a■}為等差數列，等價于S■=an■+bn，其中a，b為常數。

學生用以上十個招式套路，可以提高解題速度，快速提高學習成績。

例1.在等差數列{a■}中，已知a■=5，d=2，求a■。

分析：在等差數列{a■}中，要求a■，用招式一“借力打力”，a■=a■+（n-m）d，a■=a■+6d=5+12=17。

例2.在等差數列{a■}中，已知a■=5，a■=17，求d。

分析：在等差數列{a■}中，要求d，用招式二“老鼠拖蛋”，即在等差數列{a■}中，d=■，d=■=2。

例3.在等差數列{a■}中，已知a■=5，a■=17，求S■。

分析：在等差數列{a■}中，要求S■，由前n項和公式S■=■n，S■=■×11，用招式四“下標和”，即若n+m=p+q，則a■+a■=a■+a■，S■=■×11=■×11=121。

例4.在等差數列{a■}中，已知a■，a■是方程x■+12x-8=0的兩根，求a■。

分析：在等差數列{a■}中，已知a■，a■是方程x■+12x-8=0的兩根，由韋達定理，得a■+a■=-12，要求a■，用招式五“等距抓壯丁”，即在等差數列{a■}中，等距離抽取出的項組成等差數列，得a■，a■，a■是等差數列；用招式八“等差數列四等價之二，數列{a■}為等差數列，等價于a■=■，其中n≥2”，得a■=■=-6。

例5.等差數列{a■}前n項和為S■，a■>0，已知a■，a■是方程x■-3x-28=0的兩根，求S■的最大值。

分析：等差數列{a■}前n項和為S■，a■>0，已知a■，a■是方程x■-3x-28=0的兩根，由（x+4）（x-7）=0，得兩根分別為-4和7。

當a■=-4，a■=7時，用招式二“老鼠拖蛋”，即在等差數列{a■}中，d=■，d=■=■，由a■=a■-3d=-15，與已知a■>0矛盾，舍去；

當a■=7，a■=-4時，用招式二“老鼠拖蛋”，即在等差數列{a■}中，d=■，d=■=-■，由a■=a■-3d=18，符合題意。

用招式三“恩人帶路”，即在等差數列{a■}中，前n項和S■=na■+■d，得S■=n×18+■·（-■）=-■n■+■n，當n=5■，取n=5時，S■有最大值，為■。

例6.在等差數列{a■}中，前n項和S■，已知S■=4，S■=16，求S■。

分析：在等差數列{a■}中，要求S■，用招式六“切豆腐，糅合”，即S■，S■-S■，S■-S■，…也是等差數列，可得S■，S■-S■，S■-S■，…，即4，12，S■-16，…為等差數列；

用招式八“等差數列四等價之二，數列{a■}為等差數列，等價于a■=■，其中n≥2”，可得S■=36。

例7.證明數列{a■}為等差數列，等價于a■=pn+q，其中p，q為常數。

分析：若數列{a■}為等差數列，則a■=a■+（n-1）d=dn+（a■-d），設p=d，q=a■-d，即得a■=pn+q。

若a■=pn+q，其中p，q為常數，則a■-a■=pn+q-（pn-p+q）=p，得知數列{a■}為等差數列。

例8.在數列{a■}中，前n項和S■，已知S■=n■+2n，判斷數列{a■}是什么數列，求a■。

分析：判斷數列{a■}是什么數列，用招式十“等差數列四等價之四，數列{a■}為等差數列，等價于S■=an■+bn，其中a，b為常數，即得：

當n=1時，a■=S■=3。

當n≥2時，a■=S■-S■=n■+2n-[（n-1）■+2（n-1）]=2n+1。

當n=1時，a■=2n+1=3。

綜上，得a■=2n+1。

總之，在等差數列教學中，對教材進行歸納總結，形成等差數列解題招式，讓學生在學習應用招式解決等差數列問題，這可以增強學生學習信心，激起學習興趣，快速提高學習成績。

【參考文獻】

[1]全日制普通高中數學新課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2007