關于哥德巴赫猜想、孿生素數猜想的新思路以及因數分解的一個多項式算法

謝翰

【摘 要】 證明哥德巴赫猜想的思路有四種，這四種思路分別是：例外集合，小變量的三素數定理，幾乎哥德巴赫問題，殆素數。本文提出了不同以往的第五種思路，創建出了α數集和β數集，成功地將哥德巴赫猜想拆解成為兩個更基本的猜想。此外，給出了孿生素數猜想的一個證明途徑以及因數分解的一個多項式算法。

【關鍵詞】孿生素數猜想；哥德巴赫猜想；第五種思路；α數β數；因數分解多項式算法

史上和素數有關的數學猜想中，最著名的當然就是“哥德巴赫猜想”了。

1742年6月7日，德國數學家哥德巴赫在寫給著名數學家歐拉的一封信中，提出了兩個大膽的猜想：

（一）每一個不小于6的偶數，都是兩個奇素數之和；

（二）每一個不小于9的奇數，都是三個奇素數之和。

這就是數學史上著名的“哥德巴赫猜想”。顯然，第二個猜想是第一個猜想的推論。因此，只需在兩個猜想中證明第一個猜想就足夠了。證明哥德巴赫猜想的思路有四種，這四種思路分別是：例外集合，小變量的三素數定理，幾乎哥德巴赫問題，殆素數。

這四種思路中只有殆素數的思路取得了比較重大的突破。

殆素數就是素因子個數不多的正整數。現設N是偶數，雖然不能證明N是兩個素數之和，但足以證明它能夠寫成兩個殆素數的和，數學家把命題“任一充分大的偶數都可以表示成為一個素因子個數不超過a個的數與另一個素因子不超過b個的數之和”記作“a+b”。1966年，我國著名數學家陳景潤攻克了“1+2”，也就是：“任何一個足夠大的偶數，都可以表示成兩個數之和，而這兩個數中的一個就是奇素數，另一個則是兩個奇素數的積。”這個定理被世界數學界稱為“陳氏定理”。由于陳景潤的貢獻，人類距離哥德巴赫猜想的最后結果“1+1”僅有一步之遙了。但為了實現這最后的一步，也許還要歷經一個漫長的探索過程。有許多數學家認為，要想證明“1+1”，必須通過創造新的數學方法，以往的路很可能都是走不通的。據此，本文作者從基本問題出發，為學界提供了不同以往的第五種思路。

奇素數可分為兩大類：模4余3（即余-1）的素數稱為α素數，模4余1的素數稱為β素數。

α素數與1的和除以4得出來的數就是α數{1，2，3，5，6，8，11，12，15，17，18，20，21，26，27，32，33，35，38，…}，β素數與1的差除以4得出來的數就是β數：{1，3，4，

7，9，10，13，15，18，22，24，25，27，28，34，37，39，…}。

α素數可表示為4α-1，β素數可表示為4β+1。

一、證明了以下猜想（猜想一和猜想二）可以推出（從而強于）哥德巴赫猜想：

我們還需要建立“和集”的概念：設A，B是正整數集的非空子集，則它們的和集A+B={a+b：a∈A，b∈B}。

兩個α素數的和集：（4α■-1）+（4α■-1）=4（α■+α■）-2；

α素數與β素數的和集：（4α■-1）+（4β■+1）=4（α■+β■）。

當α■+α■={2，3，4，…}且α■+β■={2，3，4，…}時，4（α■+α■）-2和4（α■+β■）就構成不小于6的全體偶數的集合{6，8，10，12，…}。哥德巴赫猜想于是就歸結為以下兩個猜想（猜想一、猜想二）：

α數與α數的和集等于{2，3，4，…}。

α數與β數的和集等于{2，3，4，…}。

證明過程（以下n∈N+）：

α數與α數的和集等于{2，3，4，…，n+1，…} α素數與α素數的和集等于{6，10，14，…，4（n+1）-2，…}——①

α數與β數的和集等于{2，3，4，…，n+1，…} α素數與β素數的和集等于{8，12，16，…，4（n+1），…}——②

①、②每一個不小于6的偶數，都是兩個奇素數之和。

二、只要證明猜想三（或猜想四）：α數集與β數集的交集是一無窮數集（或α數集與β數集加1的交集是一無窮數集，也就證明了孿生素數有無窮對。這是因為當α=β時α素數4α-1與β素數4β+1兩者是孿生素數，當α=β+1時α素數4α-1=4（β+1）-1=4β+3與β素數4β+1兩者也是孿生素數。

三、對α數集的研究發現α數集缺少形如1+3n（n∈N■）的數，用2■+5n、3■+7n、4■+9n…試驗也符合，于是得到α數的重要性質（猜想五）：α數集是{x：x=a■+（2a+1）n，a、n∈N■}在正整數集中的補集。對β數集的研究發現β數集缺少2、形如k+（4k+1）n（k、n∈N■）的數、形如3k-1+（4k-1）n（k、n∈N■）的數，于是得到β數的重要性質（猜想六）：β數集是三個數集{2}、{x：x=k+（4k+1）n，k、n∈N■}、{x：x=3k-1+（4k-1）n，k、n∈N■}的并集在正整數集中的補集。

四、因數分解是數論中的一個基本問題，從其誕生到現在已有數百年歷史，然而真正引起數學家、計算機科學家及密碼學家的極大關注卻是近幾年的事，最直接的原因是因為一些新的密碼體系及簽名格式的安全性被認為是基于大整數因數分解的難解性，因而大整數因數分解的任何一點進展，都將引起密碼學家的關注；另外，大整數因數分解屬于NP類，它是否存在多項式時間的算法是數學家及計算機科學家所極為關心的。

合數中的偶合數約去2n后化為奇數，所以因數分解問題歸結為奇數的分解問題。經過多番艱苦嘗試，我發展出一套獨樹一幟的分解方法，M<100000000時分解成功率高達100%，而時間上限僅為3216·（lnM）■，（時間≤2·log■M·log■M）。以下是我的多項式算法（雙覆蓋法）：

（1）輸入被分解數M（設M是一個大于1的奇數）。

（2）執行：a=M。

（3） 執行賦值：a=[a·0.99■·0.94■]+1-mod（[a·0.99■·0.94■]，2）.x、y∈N，x+y=1。

（4）執行：求a與M的最大公因子r。

（5）條件：r>1或a窮盡了① ？否，返回（3）；是，進入（6）。

（6）條件：r>1？是，則（7）；否，則（8）。

（7）輸出：被分解數M有真因子r及M/r。

（8）執行：b=M+[M■]+mod（[M■]，2）M<[M■]*（[M■]+1）時；或b=M-{[M■]+mod（[M■]，2）}M>[M■]*（[M■]+1）時。

（9）執行：求b與M的最大公因子r。

（10） 執行賦值：b=[b·0.99■·0.94■]+1-mod（[b·0.99■·0.94■]，2）.x、y∈N，x+y=1。

（11）條件：r>1或b窮盡了①？否，返回（9）；是，進入（12）。

（12）條件：r>1？否，則（13）；是，則（14）。

（13）輸出：被分解數M不能經由本法分解或M是素數。

（14）輸出：被分解數M有真因子r及M/r。

注①：在Excel上就可直觀地看到。

設M是二素積合數，M=p■p■（p■

【參考文獻】

[1]閔嗣鶴，嚴士健.初等數論[M].第三版.北京：高等教育出版社，2003：212-214

[2]p.里本伯姆，孫淑玲，馮克勤譯.博大精深的素數[M].北京：科學出版社，2007：220-225