線性空間的定義

繆應鐵

【摘 要】線性空間的定義是代數(shù)中一個較為抽象但又十分重要的概念，在認識代數(shù)關(guān)于空間上具有基礎性的作用，而線性空間的定義中涉及代數(shù)運算與代數(shù)結(jié)構(gòu)，本文從代數(shù)運算的角度給出線性空間的定義，并在此基礎上引入平常意義上線性空間加法的定義，與通常意義上的加法做出區(qū)分。

【關(guān)鍵詞】運算；代數(shù)運算；線性空間

現(xiàn)實世界的空間形式中表現(xiàn)為線性的有直線、平面。研究直線、平面的工具是向量。把線性空間又可稱為向量空間，把線性空間的加法與純量乘法稱為線性運算。因此，一個線性空間必須有由線性運算規(guī)定的代數(shù)結(jié)構(gòu)（由集合與滿足一定運算規(guī)律的一些代數(shù)運算合在一起組成的系統(tǒng)），以便于用數(shù)學方法對它研究。為了說明它的來源，在引入定義之前，先看幾個熟知的例子。

例1.幾何空間中的向量、n維向量、矩陣等例子有一個共同之處：就是一個集合，一個數(shù)域，兩種運算加法和純量乘法，再加8條運算法則。由此可以抽象出一個線性空間的定義。

例2.為了解線性方程組，我們討論過以n元有序數(shù)組（a■，a■，…，a■）作為元素的n維向量空間。對于它們，也有加法和數(shù)量乘法，那就是：

（a■，a■，…，a■）+（b■，b■，…，b■）=（a■+b■，a■+b■，…，a■+b■）

k（a■，a■，…，a■）=（ka■，ka■，…，ka■）

從這些例子中我們可以看到，所考慮的對象雖然不同，但它們有一個共同點，那就是它們都有加法和數(shù)量乘法這兩種運算。

研究線性空間，必須理解他的定義和簡單性質(zhì)，以及線性相關(guān)和線性無關(guān)，極大線性無關(guān)組和向量組的秩的定義和性質(zhì)之后，就著重研究線性空間的結(jié)構(gòu)，指出任一線性空間的結(jié)構(gòu)由它的一個基所決定，而維數(shù)對于研究有限維線性空間的結(jié)構(gòu)起著重要作用。

定義1 設V是一非空集合，F(xiàn)是數(shù)域（本書特指實數(shù)域），對V中任意兩個元α，β，定義一個加法運算，記為“+”：α+β∈V（元α+β稱為α與β的和）；定義一個數(shù)乘運算：kα∈V，k∈F（元kα稱為k與α的數(shù)積）。這兩種運算（也稱為V的線性運算），滿足下列規(guī)則，則稱V為數(shù)域F上的線性空間（或向量空間）。加法滿足下面四條規(guī)則：

（1）α+β=β+α；

（2）（α+β）+γ=α+（β+γ）；

（3）在V中存在零元素0；對任何α∈V，都有α+0=α；

（4）對任何α∈V，都有α的負元素β∈V，使α+β=0，記β=-α；

數(shù)量乘法滿足下面兩條規(guī)則：

（5）1α=α；

（6）λ（μα）=（λμ）α；數(shù)量乘法與加法滿足下面兩條規(guī)則；

（7）（λ+μ）α=λα+μα；

（8）λ（α+β）=λα+λβ。

數(shù)域F上的線性空間V，記為V（F），V中的元稱為向量；當F是實數(shù)域時，稱V為實線性空間；當F是復數(shù)域時，稱V為復線性空間。在不需要強調(diào)數(shù)域時，就稱V為線性空間。

例3. 由數(shù)域F上的元素構(gòu)成的全體mxn矩陣所成的集合，稱為矩陣空間，記為F■，其中R■為由一切mxn實矩陣構(gòu)成的實線性空間。但秩為r（r>0）的全體矩陣所構(gòu)成的集合F■不構(gòu)成線性空間。事實上，零矩陣0∈F■。

例4.設X為實數(shù)域R的任一非空子集，定義域為X的所有實值函數(shù)組成的集合，它對于函數(shù)的加法，以及實數(shù)與函數(shù)的數(shù)量乘法，成為實數(shù)域上的一個線性空間。

例5.數(shù)域K上所有一元多項式組成的集合，它對多項式的加法，以及k中元素與多項式的數(shù)量乘法，成為k上的一個線性空間。把復數(shù)域C可以看成是實數(shù)域R上的一個線性空間，其加法是復數(shù)的加法，其數(shù)量乘法是實數(shù)a與復數(shù)z的乘法。

例6.數(shù)域F按照本身的加法與乘法，即構(gòu)成一個自身上的線性空間。設x是任意一個非空集合，F(xiàn)是一個數(shù)域，從X到F的每一個映射稱為X上的一個F值函數(shù)。X上的所有F值函數(shù)組成的集合。對函數(shù)的加法與數(shù)與函數(shù)的純量乘法。容易驗證它們滿足加法交換律、結(jié)合律等8條運算法則。因此可以形成一個線性空間，零元是零函數(shù)。這時既可用實數(shù)乘向量，從而構(gòu)成實線性空間；又可以用復數(shù)乘向量，構(gòu)成復線性空間，記為C■。

上面例子告訴我們，線性空間這一數(shù)學模型適應性很廣，我們將從線性空間的定義出發(fā)，作邏輯推理，深入揭示線性空間的性質(zhì)，它們對于所有的具體的線性空間都成立。

性質(zhì)1 零向量是唯一的。

性質(zhì)2 負向量是唯一的。

性質(zhì)3 0α=0；（-1）α=-α；k0=0。

性質(zhì)4 若kα=0，則k=0或α=0。

（1）線性空間V是一個集合（向量），它滿足一定條件。

（下轉(zhuǎn)第31頁）（上接第14頁）

（2） 線性空間中的加法運算和乘法運算可以有不同的定義。

例如：在正實數(shù)集R■中，F(xiàn)為實數(shù)域R，定義加法和數(shù)乘運算為a b=ab，k a=a■，其中ab∈R■，k∈R，“ ”表示加法，“。”表示數(shù)乘。那么R■構(gòu)成實線性空間。此時加法零元素是R■中的數(shù)1，R■中元素α的負元素是a■。

【參考文獻】

[1]陳重穆，施武杰.高等代數(shù).重慶：西南師范大學出版社，1987

[2]陳重穆.有限群基礎.重慶：重慶出版社，1991