例談數(shù)與形的相互作用及相互關(guān)系

符曉全

【摘 要】筆者根據(jù)自己多年的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，把常常會(huì)用到數(shù)形結(jié)合的幾種題型進(jìn)行歸納，以此拋磚引玉例談數(shù)與形的相互作用及相互關(guān)系。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；數(shù)與形；以形助數(shù)；以數(shù)輔形

一、以形助數(shù)問題

1.與不等式有關(guān)的問題

例1：若不等式|x-4|+|3-x|

這道題目是已知不等式的解集求未知的參數(shù)，是考查不等式解法的逆向運(yùn)用，解這道題的一般思路是：先對(duì)a分類討論：（1）a≤0時(shí)不等式的解集為空集，符合題意；（2）a>0時(shí)，先求不等式有解時(shí)a的取值范圍：a>1，從而得當(dāng)0

|x-4|+|x-3|表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到3和到4的距離之和（圖一），其最小值為1。即|x-4|+|x-3|≥1，若|x-4|+

|3-x|

后一種方法明顯比前一種方法簡(jiǎn)單，清楚，運(yùn)算量小，出錯(cuò)機(jī)會(huì)少。

例2：已知a，b，m∈（0，+∞），且a■。

分析：本題包含了多種的幾何特征。

思路1：不等號(hào)兩邊是比值形式，可考慮直角坐標(biāo)系下直線的斜率，再結(jié)合傾斜角，斜率的大小去證之。

思路2：根據(jù)三角形相似可得到比值關(guān)系，因此可以利用相似關(guān)系把欲證的式子兩端轉(zhuǎn)化為相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比，再結(jié)合線段長(zhǎng)度去證之。

證法一：如圖二，設(shè)點(diǎn)A（b，a），點(diǎn)B（-m，-m）其中m>0，其中直線OA的傾斜角為α■，直線AB的傾斜角為α■

∵0

∴直線OA的斜率K■=tana■=■<1

直線AB的斜率K■=tana■=■<1

∵B在第三象限平分線上

∴AB必與x軸正半軸相交，且有0

∴tana■>tana■，即■>■

證法二：如圖三，在Rt△ABC及Rt△ADF

中，AB=a，AC=b，BD=m

作CE∥BD交DF于E，由△ABC∽△ADF

∴■=■<■=■=■

例3：解不等式x+1-x-3>2

分析：此題若用分段討論或用兩邊平方的方法來解，則過程復(fù)雜且容易出錯(cuò)。若把x視為復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)利用幾何意義來研究，則過程簡(jiǎn)化，方法較新穎。

解：在復(fù)平面內(nèi)，滿足條件z+1-z-3=2的復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以（-1，0），（3，0）為焦點(diǎn)，以（1，0）點(diǎn)為中心且實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的右半支（如圖四），圖象與x軸的交點(diǎn)為（2，0）?？梢妜是實(shí)數(shù)時(shí)，不等式x+1-x-3>2的解集是{x|x>2}。

2.與函數(shù)有關(guān)的問題

例4：方程sin2x=sinx在區(qū)間（0，2π）內(nèi)解的個(gè)數(shù)是？

分析：這是一個(gè)涉及三角方程的問題。因?yàn)橹灰笳页鼋獾膫€(gè)數(shù)而不需要求出具體的解，所以我們不必直接解方程?？紤]到方程的左右兩邊分別是sin2x和sinx，如果把它們分別看成是函數(shù)y=sin2x和函數(shù)y=sinx（如圖五），那么方程的解就是兩函數(shù)曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，解的個(gè)數(shù)就是交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，為3。

例5：求函數(shù)y=■的值域。

分析：一般的解題思路是：函數(shù)本身就是一個(gè)二元方程，求函數(shù)值域，實(shí)質(zhì)就是要使方程y=■有解，求y的取值范圍。因此可以轉(zhuǎn)化為方程問題解決。主要的步驟有：（1）把函數(shù)化為三角函數(shù)sin（x+ ）=■（ 為輔助角）（應(yīng)用兩角和的三角函數(shù)公式）；（2）利用正弦函數(shù)的有界性得出關(guān)于y的不等式■≤1；（3） 解該不等式得原函數(shù)的值域是[-■，■]。如果借助圖象解決，主要的步驟是：y=■=■，其幾何意義（cosx，sinx），（-2，0）兩點(diǎn)的斜率（如圖六），于是求函數(shù)的值域問題就轉(zhuǎn)化為求該斜率的最大值和最小值問題，即求單位圓上任意一點(diǎn)與點(diǎn)（-2，0）連線的斜率的取值范圍，易得函數(shù)y=■的值域是[-■，■]。

3.與最值有關(guān)的問題

例6：已知x■+y■+5x≤0，求3x+4y的最大值與最小值。

解：x■+y■+5x=0可轉(zhuǎn)化為（x+■）■+y■=（■）■

這是圓心在（-■，0），半徑為■的圓，滿足x■+y■+5x≤0的點(diǎn)（x，y）在此圓內(nèi)或圓周上。

設(shè)3x+4y=m，即y=-■x+■，這是斜率為-■的平行直線系。于是可歸結(jié)為這組直線在上述區(qū)域上平行移動(dòng)時(shí)何時(shí)縱截距為最大，何時(shí)縱截距為最小。由圖七知，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，m有最大值或最小值。故問題可歸納為方程組

3x+4y=m……（1）

x■+y■+5x=0……（2）

有唯一解，求m的值。

把y=-■x+■代入（2）得：25x■+（80-6m）■+m■=0……（3）

方程（3）有等根的充要條件是△=（80-6m）■-4×25m■=0。即m■+15m-100=0，解之得m■=-20，m■=5。所以3x+4y的最大值為5，最小值為-20。

例7：①在-1≤x<0內(nèi)，求滿足不等式x■-2≤kx的k的最大值；

②在-1≤x<0內(nèi)，求滿足不等式x■+1≥kx的k的最大值。

解：①令 y=x■-2…（1）

y=kx… （2）

（1）是以（0，-2）為頂點(diǎn)，y為對(duì)稱軸，開口向上的拋物線；（2）是過原點(diǎn)的直線，從圖象（圖八）上易見：滿足-1≤x<0且x■-2≤kx的k的最大值：過點(diǎn)（-1，-1）的直線y=kx的斜率k=1（當(dāng)k>1時(shí)，不等式x■-2≤kx不成立）。

②令 y=x■+1…（1）

y=kx… （2）

義是：（1）是以（0，1）為頂點(diǎn)，y軸對(duì)稱軸，開口向上的拋物線；（2）是過原點(diǎn)的直線。從圖形上易見：滿足-1≤x<0且x■+1≥kx的斜率是k≥-2，故k的最大值為-2。

4.與解方程（組）有關(guān)的問題

例8：復(fù)數(shù)z滿足 z+3+z-3=10

z-5i-z+5i=8

分析：聯(lián)想“形”：z+3+z-3=10表示中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為A（-3，0），B（3，0），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓；z-5i-z+5i=8表示中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為C（0，5），D（0，-5）實(shí)軸長(zhǎng)為8的雙曲線的下支（如圖十）。

于是，復(fù)數(shù)z是上述兩曲線（橢圓和雙曲線下支）的交點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)。作圖可知交點(diǎn)為Z（0，-4），故復(fù)數(shù)z=-4i。

例9：實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，方程sin■x-sinx+m=0，（-■≤x≤■）有兩解，一解，無解？

分析：把原方程轉(zhuǎn)化成函數(shù)式：m=-sin■x+sinx，（-■≤x≤■），再令t=sinx，則，m=-t■+t，（-1≤t≤1）。由此方程聯(lián)想到“拋物線弧段y=-t■+t，（-1≤t≤1）與直線y=m的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)”即得（如圖十一）：

當(dāng)0≤m<■時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；

當(dāng)-2≤m<0或m=■時(shí)，方程有唯一的實(shí)數(shù)解；

當(dāng)m<-2或m>■時(shí)，方程無解。

二、以數(shù)輔形問題

與立體幾何有關(guān)的問題

例10：已知ABCD-A■B■C■D■的棱長(zhǎng)為a，求異面直線A■C■與AB■的距離。

分析：這是一道典型的求異面直線的距離的問題，解決的方法有很多，如把問題轉(zhuǎn)化為平行平面間的距離；或轉(zhuǎn)化為直線與平面的距離；或用等體積法；或建立函數(shù)關(guān)系求最值；或用異面直線兩點(diǎn)間的距離公式；或通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量這個(gè)工具把空間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算等等。

解：（公式法）如圖十二，設(shè)EF為A■C■與AB■的公垂線，且EF=d，又設(shè)A■E=m，C■E=n，則m+n=■a，由正方體的對(duì)稱性有：B■F=m，AF=n，因?yàn)锳■C■在公垂線EF兩側(cè)，根據(jù)異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式有：A■C■=d■+n■+n■+2n■cos60■

A■B■■=d■+m■+m■+2m■cos60■

∴3a■=d■+3n■…（1）

a■=d■+3m■…（2）

（1）-（2）得：2a■=3（n■-m■）…（3）

將n=■a-m代入（3）中得：m=■a，再將m=■a代入（2）得：d=■a。

【參考文獻(xiàn)】

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