一種新型反雙曲正弦函數跟蹤微分器設計

李興格,李 剛,熊思宇，康旭超

(1.空軍工程大學 研究生院， 西安 710051； 2.空軍工程大學 防空反導學院， 西安 710051)

在控制系統的設計中，準確提取微分信號非常重要[1]。特別是當系統存在外部干擾時，傳統的低通濾波器很難發揮作用。近年來，隨著機器人[2-3]，高超聲速飛行器[4-5]等領域的迅速崛起，從干擾信號中提取精確的微分信號已成為研究的熱點。

跟蹤微分器最初由韓京清[6-8]提出。提出了3種跟蹤微分器，但跟蹤微分的效果不是很好，且沒有更好的方法來解決高階微分信號的提取問題。近年來，許多學者提出了許多種新型的跟蹤微分器[9-12]。以色列學者Levent針對高階微分問題提出了一種高階滑模微分器[13]。然而，由于此微分器對噪聲非常敏感，并且難以選擇參數。因此，設計一種參數選擇比較簡單且具有噪聲抑制能力的跟蹤微分器顯得十分必要。

基于以上考慮，本文提出了一種基于反雙曲正弦函數的跟蹤微分器，并且在前人的基礎上，減少了跟蹤微分器的整定參數，提高了跟蹤微分器的可操作性。

1 跟蹤微分器設計

在常規狀態下，跟蹤微分器需要滿足以下兩個條件以實現對受干擾的微分信號的穩定跟蹤。首先，在零點附近的線性區域下具有平滑穩定的線性特性，在遠離零點的非線性區域中，需要具有非線性特性以確保跟蹤微分器的穩定跟蹤。 因此，選擇反雙曲正弦函數作為跟蹤微分器的加速度函數。

1.1 二階跟蹤函數設計

定理1對于以下系統

(1)

證明選擇李雅普諾夫函數

(2)

由于a1>0，并且當z1>0時，a1arsinh(ξ)>0；當z1<0時，a1arsinh(ξ)<0。根據積分中值定理，可以得到

(3)

對其求導數，有

z2[-a1arsinh(z1)-a2arsinh(z2)]=

-z2a2arsinh(z2)

(4)

1.2 跟蹤微分器設計

定理2對于以下系統

(5)

其中，系統的輸入信號為u(t)；x1(t)為系統的跟蹤信號；x2(t)為系統的微分信號；R>0,a1>0,a2>0為系統的可調參數。

為證明定理2，先提出以下引理：

引理1[7]對于以下系統

(6)

若對于所有的解滿足y1(t) →0,y2(t) →0(t→0)時，則對于任意常數T>0和任意的有界可積函數u(t)，系統

(7)

的解x1(t)滿足

(8)

該引理保證了系統在任意常數T的條件下，當R趨近于無窮大時，系統的跟蹤信號x1(t)無限接近于系統的輸入信號v(t)。因此，定理2提出的系統即為本文提出的新型跟蹤微分器NATD。

2 相平面分析

應用相平面分析法不僅可以自動準確地繪制控制系統的相平面圖[14-15]，而且可以快速分析系統參數對控制系統的影響，從而研究系統參數的設置規則，對跟蹤微分器的性能提升有很大的作用。

系統式(1)在零點的雅可比矩陣為

(9)

將系統式(5)中的x1使用泰勒公式展開，可以得到

(10)

將系統式(5)中的x2使用泰勒公式展開，可以得到

(11)

其中，φ和ψ為泰勒展開式的高階無窮小項，則對系統(6)可以線性化為

(12)

對于近似線性系統式(12)，矩陣A的特征值為

由相平面分析可知，系統式(5)包含3個參數：R，a1，a2，其中，R與跟蹤效果有關，增大R可以提高跟蹤速度，但會提高微分信號的高頻噪聲。a1的效果與跟蹤效果有關，其效果與R類似;a2與微分效應有關，提高a2有利于抑制微分噪聲，但是會使跟蹤速度變慢。通常在進行參數整定時，可以粗略地選擇R以調整跟蹤效果。然后，通過a1和a2的微調來調整跟蹤和微分的綜合效果，最后使跟蹤微分器達到最佳效果。與其他文獻中提到的跟蹤微分器相比，NATD的參數比較少，參數整定比較簡單。

3 仿真驗證

為了驗證NATD的估計結果，將NATD與以下新的TD[16]和HSMD[13]進行比較。采用四階Runge-Kutta法進行仿真求解，仿真步長為0.001 s。仿真在以下兩種情況下進行。

情形1：在無噪聲干擾的情況下，選擇輸入信號為υ(t)=sin(2πt),NATD和其他2個跟蹤微分器選擇的參數如表1所示，仿真結果如圖1所示。

3個微分器的估計效果和微分效果如圖1～圖4所示。圖2和圖4顯示，在3個微分器中，NATD的估計誤差最小，精度最高。從圖4可以看出，TD具有嚴重的峰值現象，HSMD在0附近有嚴重的抖振現象。因此，當不考慮噪聲時，本文提出的NATD 與TD和HSMD相比具有一定的優勢。

表1 無干擾情況下選擇的參數

情形2：在有噪聲干擾的情況下，輸入信號υ(t)=sin(2πt),輸入信號受到的干擾為均值為0，方差為0.1的高斯白噪聲。跟蹤微分器的參數選擇如表2所示，仿真結果如圖5所示。

由仿真結果圖5～圖8可知，當輸入信號受到噪聲污染時， NATD仍然可以實現對于輸入的估計信號和微分信號的高精度和平滑估計。因此，與TD和HSMD等微分器相比，本文提出的NATD在噪聲濾波方面也具有一定的優勢。

表2 有噪聲干擾情況下的參數選擇

4 結論

設計了一種基于反雙曲正弦函數的結構比較簡單，并且在全局是漸進穩定的新型跟蹤微分器。通過相平面分析適當調節參數，可以保證系統的奇點類型為穩定節點。既可以保證在零點附近有明顯的線性特性，又能保證遠離零點時的強非線性特性。仿真結果表明：NATD在跟蹤精度，響應時間和濾波性能等方面也具有一定的優勢。