區(qū)間變時滯系統(tǒng)的時滯相關(guān)魯棒非脆弱H∞控制

左朝陽，吳玉彬，何 星,

(1.西京學院 機械工程學院， 西安 710123； 2.火箭軍工程大學 控制工程系， 西安 710025)

現(xiàn)實世界的許多動力學模型系統(tǒng)，例如網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)、過程控制系統(tǒng)以及核反應堆控制系統(tǒng)等，在數(shù)據(jù)和物質(zhì)的傳輸過程中，都包含非常明顯的時滯。在眾多的時滯類型中，區(qū)間變時滯更具代表性，它的時滯下界不一定為零，且時滯處于一個變化的區(qū)間之內(nèi)，常見于化學反應器、內(nèi)燃機和網(wǎng)絡(luò)控制等工程實際應用中。因而近年來，區(qū)間變時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析成為一個熱門的研究領(lǐng)域[1-29]。

針對區(qū)間時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,最常見的方法是采用基于時域內(nèi)直接構(gòu)造(L-K)泛函并結(jié)合線性矩陣不等式(LMI)來實現(xiàn)；針對其鎮(zhèn)定問題，一般采用狀態(tài)反饋的形式來實現(xiàn)。文獻[2-9]討論了在狀態(tài)反饋控制器作用下系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題，但所給出的控制器無論是無記憶或者有記憶還是H∞控制器，都要求能夠精確實現(xiàn)，不具有魯棒性。在控制器的設(shè)計實現(xiàn)中，由于硬件(如A/D、D/A轉(zhuǎn)換)和軟件(如計算截斷誤差)等原因，控制器不同程度上存在一定的不確定性[10]。Keel等[11]指出，當控制器參數(shù)存在攝動時，常規(guī)的魯棒控制器表現(xiàn)出高度的脆弱性，從而造成閉環(huán)系統(tǒng)的性能下降甚至控制器失效。因此非脆弱控制器的研究便成為大家關(guān)注的熱點問題[12-17]。文獻[12-14]和文獻[16-17]分別針對時滯系統(tǒng)的非脆弱H∞控制問題和非脆弱保性能控制問題進行了深入研究。在這些研究中，主要圍繞如何降低所得結(jié)論的保守性和滿足一定的性能指標而展開。由于時滯相關(guān)條件相比時滯無關(guān)條件具有更小的保守性，因此，如何選取合適的L-K泛函和界定條件，進一步得到保守性更小的時滯相關(guān)條件進而設(shè)計有效的控制器便成為目前時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析與控制綜合的重點問題。

本文針對一類區(qū)間變時滯不確定系統(tǒng)，提出一個形式簡單的保守性更低的時滯相關(guān)有界實判據(jù)。該判據(jù)借助于一種新型的時滯分割法，把時滯區(qū)間分割成不均勻的兩部分，針對每一分割區(qū)間構(gòu)造新的L-K泛函，并采用新的積分不等式和互凸組合技術(shù)給出不包含任何多余參量的LMI形式結(jié)論。在此基礎(chǔ)上設(shè)計了魯棒非脆弱控制器。最后把該控制器應用于VTOL直升機的飛行控制當中，仿真結(jié)論表明所推導的有界實判據(jù)相比已有文獻結(jié)論具有更低的保守性，所設(shè)計的控制器相比一般魯棒控制器具有更好的鎮(zhèn)定效果和明顯的非脆弱性。

1 問題描述

考慮如下一類具有區(qū)間變時滯的線性系統(tǒng):

(1)

針對系統(tǒng)(1)定義如下性能指標

(2)

其中，γ>0為給定標量。

本文主要目標是在外部干擾作用下，設(shè)計一個狀態(tài)反饋非脆弱H∞控制器：

u(t)=(K+ΔK)x(t)

(3)

使得滿足以下兩個條件：

第一，ω(t)=0時，由(3)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定；

第二，在零初始條件下，對于給定的γ>0， ||z(t)||2<γ2||ω(t)||有，ω(t)∈L2[0,∞)。

把非脆弱控制器(3)代入系統(tǒng)(1)，則閉環(huán)系統(tǒng)為：

(4)

其中,Ak=A+BuK+BuΔK,Ck=C+DuK+DuΔK。

為了方便穩(wěn)定性判據(jù)的證明，現(xiàn)將下一步需用到的引理歸納如下：

引理2[25]假定任意的正定矩陣M=MT>0，標量h>0和向量函數(shù)：x(t)∶[0,h]→Rn，則有以下不等式成立：

引理3[28]假定任意的正定矩陣M=MT>0，標量0≤α,ε≤1，hm≤h(t)≤hM和向量函數(shù)：x(t):[0,h]→Rn，則有以下不等式成立：

其中，

引理4[17]給定具有適當維數(shù)的矩Q=QT,H,E和R=RT，則有Q+HF(t)E+ETF(t)THT<0,對任意滿足F(t)TF(t)≤R的F(t)成立的充要條件是存在?>0,使得:

Q+?-1HHT+?ETE<0

2 時滯相關(guān)有界實判據(jù)

定理1對于給定的標量hm，hM和λ1，λ2(λ1>λ2)，且若存在正定對稱矩陣Pi(i=1,2,3,4,5)，Q1，Q2，U1，U2，Xj，Rj(j=1,2,3,4)，使得如下LMIs成立：

Φ=(Φi, j)10×10<0

(5)

則系統(tǒng)(4)在非脆弱控制器(3)的作用下不僅漸近穩(wěn)定，而且在零初始條件下具有給定的H∞擾動抑制水平γ。

其中

Φ=(Φi, j)10×10=

Φ13=X2，Φ15=2P2+hmR2

Φ16=(2-ε)(hM-hm)R4

Φ17=(1+ε)(hM-hm)R4

Φ23=-(α-2)X4，Φ24=(1+α)X4

Φ25=Φ26=Φ27=Φ28=Φ29=Φ210=0

Φ33=Q2-Q1-X2+(α-2)X4，Φ35=-2P2

Φ36=Φ37=2P3，Φ34=Φ38=Φ39=Φ310=0

Φ44=-Q2-(1+α)X4，Φ46=Φ47=-2P3

Φ45=Φ48=Φ49=Φ410=0，Φ55=-X1-R2

Φ58=-2P4，Φ56=Φ57=Φ59=Φ510=0

Φ66=(α-2)X3-(2-ε)R4，Φ69=Φ610=-2P5

Φ67=Φ68=0，Φ77=-(α+1)X3-(1+ε)R4

Φ79=Φ710=-2P5，Φ78=0，Φ88=-R1-U1

Φ89=Φ810=0，Φ99=-(2-ε)R3-U2

Φ910=-U2,Φ1010=(1+ε)R3-U2

證明：證明過程詳見附錄。

在式(5)中，新的穩(wěn)定性判據(jù)沒有涉及冗余的自由權(quán)矩陣，只是巧妙地采用新的積分不等式來界定LKF導數(shù)產(chǎn)生的交叉項，并利用極少數(shù)自由矩陣來表示相關(guān)項之間的關(guān)系，因此減少了理論推導和計算上的復雜性，從而降低了結(jié)論的保守性。

在式(10)、式(11)和式(14)中，互凸組合處理技術(shù)[22]作為一種非傳統(tǒng)方法用來更有效地界定LKF導數(shù)產(chǎn)生的交叉項，可以得到保守性更低的穩(wěn)定性結(jié)論。

3 非脆弱H∞控制器的設(shè)計

基于時滯相關(guān)有界實判據(jù)，設(shè)計非脆弱H∞控制器。

(31)

則不確定系統(tǒng)(1)在非脆弱控制器(3)的作用下不僅漸近穩(wěn)定，而且在零初始條件下具有給定的H∞擾動抑制水平γ,且控制器增益K=YΞ-T。其中，

證明：由于定理1中式(5)給出的條件為非線性矩陣不等式,不能直接得到控制器的解。下面給出控制器的設(shè)計方法，首先將式(5)中的不確定項(即含ΔK項)分離，即

(32)

其中,Φ′為Φ中分離不確定項(含ΔK項)所得結(jié)果。由引理4可得

(33)

其中

進而對式(33)應用Schur補可得

(34)

令T1=T2=Ξ-1,其中Ξ為非奇異矩陣，對式(34)兩邊左乘Ψ，右乘其轉(zhuǎn)置，其中：

通過替換容易得到定理2的條件，證畢。

4 數(shù)值仿真與比較

下面通過2個數(shù)值例子仿真來比較說明本文方法所提出時滯相關(guān)有界實判據(jù)和基于此設(shè)計的魯棒非脆弱控制器都在不同程度改善了已有文獻的結(jié)論。其中，MADB (Maximum Allowable Delay Bound) 定義為保證系統(tǒng)穩(wěn)定的最大允許時滯上界值，是時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性結(jié)論保守性最普遍的衡量標準；MAPI (Minimum Allowable Performance Index) 定義為保證系統(tǒng)穩(wěn)定的最小允許性能指標值，是時滯系統(tǒng)在零初始條件下所具有H∞擾動抑制水平的衡量標準。

例1首先考慮一類具有區(qū)間變時滯的線性系統(tǒng)，形如式(1)所示，其系統(tǒng)參數(shù)如下：

在該數(shù)值例子中，考慮兩個性能指標，即H∞性能指標γ和MADB值hM。根據(jù)定理1，當時滯變化率μ=0和hm=0時，針對不同的H∞性能指標γ，表1仿真給出相應的MADB值；針對不同的MADB值，表2仿真給出相應的H∞性能指標γ。

表1 針對不同的H∞性能指標γ，不同方法仿真給出的MADB值hM

通過表1和表2的比較，可以發(fā)現(xiàn)，對于指定的H∞性能指標γ，由定理1可以得出相應的MADB值。相比文獻[11,12,14,19,23]，本文所提出的時滯相關(guān)有界實判據(jù)擴大了系統(tǒng)穩(wěn)定的最大允許時滯上界范圍，具有更低的保守性；另一方面，對于指定的MADB值hM，也可以求得相應的MAPI值。相比文獻[11,12,14,23]，本文所提出的判據(jù)可以獲得保證系統(tǒng)穩(wěn)定的更小更佳H∞性能指標γ值。

表2 針對不同的MADB值hM，不同方法仿真給出的MAPI值γ

例2下面以VTOL直升機為研究對象進行仿真。VTOL直升機的垂直起降控制過程是一種典型的含有時滯的動態(tài)控制系統(tǒng)[18]，其模型可描述為

(35)

在不加外部控制(即u(t)=0)時，該控制系統(tǒng)的開環(huán)響應曲線如圖1所示，顯然系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

為了說明本文所設(shè)計魯棒非脆弱H∞控制器的優(yōu)越性，下面以VTOL系統(tǒng)在不同控制器作用下的鎮(zhèn)定性能來分析比較。

首先考慮控制器不存在外部干擾和增益攝動的情況。此時攝動參數(shù)Da和Ea均為零，取γ=0.9716，設(shè)時滯下界hm=0，hM=7，由定理2可得一般魯棒控制器增益矩陣為

在K1作用下，系統(tǒng)狀態(tài)響應曲線如圖2所示。

其次考慮控制器存在外部干擾和增益攝動的情況。假設(shè)外部干擾為幅值0.1的正弦信號，控制器增益攝動參數(shù)Da和Ea均不為零，取γ=0.971 6，針對hM=7的定常時滯進行仿真，其中攝動參數(shù)取為：

擾動矩陣Fa∈R2×2，由定理2可得相應的魯棒非脆弱控制器增益矩陣為：

在K2作用下，系統(tǒng)狀態(tài)響應曲線如圖3所示。以狀態(tài)x1(t)為研究對象，圖4比較給出了相同條件下，一般魯棒控制器和非脆弱控制器的鎮(zhèn)定效果。

由圖2～圖4可以看出：在非脆弱控制器K2作用下，系統(tǒng)狀態(tài)能夠獲得更佳的性能指標，且容許控制器增益的攝動；而在一般控制器K1的作用下系統(tǒng)狀態(tài)表現(xiàn)出明顯的脆弱性，振蕩較大，收斂較慢。

5 結(jié)論

本文采用時滯中點分割法和互凸組合技術(shù)并結(jié)合新的積分不等式處理方法研究了一類區(qū)間變時滯線性系統(tǒng)的時滯相關(guān)魯棒非脆弱H∞控制問題，獲得了LMI形式的時滯相關(guān)有界實判據(jù)和非脆弱H∞控制器。該控制器無需任何的參數(shù)調(diào)整和迭代處理，只需通過LMI的可行解即可得到控制器的參數(shù)表達式。最后將控制器應用于VTOL直升機的飛行過程，仿真過程說明所設(shè)計的控制器相比一般魯棒控制器具有更好的鎮(zhèn)定性能和非脆弱性。

附錄

為了有效給出定理1的證明過程，首先令hΔ=χhm+(1-χ)hM,(0<χ<1)，則有hm

情形1:當hΔ≤h(t)≤hM時，設(shè)計如下L-K泛函：

V(x(t))=V1(x(t))+V2(x(t))+V3(x(t))+

V4(x(t))+V5(x(t))

(6)

其中

計算L-K泛函V(x(t))沿系統(tǒng)(4)的導數(shù)，可得：

(7)

其中

xT(t-hΔ)Q2x(t-hΔ)-xT(t-hM)Q2x(t-hM)

(hM-hΔ)2xT(t)X3x(t)-

由引理1與引理2可得：

(8)

(9)

其中，ζ(t)同引理3中定義一致。

由引理3可得：

(10)

同樣可以得到：

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

εΓ3+(1-ε)Γ4]ζ(t)

(18)

其中

因為0≤α,ε≤1，根據(jù)互凸組合技術(shù)，如下不等式成立：

α(Γ1+λ1I)+(1-α)(Γ2+λ1I)<0

(19)

ε(Γ3-λ2I)+(1-ε)(Γ4-λ2I)<0

(20)

即

αΓ1+(1-α)Γ2<-λ1I

(21)

εΓ3+(1-ε)Γ4<λ2I

(22)

由于λ1>λ2，合并式(21)、式(22)，可得

αΓ1+(1-α)Γ2+εΓ3+(1-ε)Γ4<(λ2-λ1)I<0

(23)

對于給定的γ,考慮性能指標J(ω),則把z(t)Tz(t)-γ2ωT(t)ω(t)加到不等式(18)兩邊，可得：

(24)

其中，

如果

Ω+ΨTΨ+αΓ1+(1-α)Γ2+

εΓ3+(1-ε)Γ4<0

(25)

那么

(26)

-V(t)|t=∞+V(x(t))|t=0<0

(27)

即‖z(t)‖<γ‖ω‖2,從而閉環(huán)系統(tǒng)在零初始條件下具有給定的H∞擾動抑制水平γ。

情形2:當hm≤h(t)≤hΔ時，設(shè)計如下L-K泛函：

V0(x(t))=V01(x(t))+V02(x(t))+V03(x(t))+

V04(x(t))+V05(x(t))

(28)

其中

其中，

Pi(i=1,2,3,4,5)，Q1，Q2，U1，U2，Xj，Rj(j=1,2,3,4)，同式(6)中所定義的矩陣。利用同樣的方法，可得

εΓ03+(1-ε)Γ04]ζ0(t)

(29)

其中

(30)

如果

Ω+ΨTΨ+αΓ01+(1-α)Γ02+

εΓ03+(1-ε)Γ04<0

(31)

那么

(32)

從而閉環(huán)系統(tǒng)在零初始條件下具有給定的H∞擾動抑制水平γ。

由于hM-hΔ=hΔ-hm，對式(18)或式(29)應用引理3，則其等價于式(5)。證畢。