補償目標機動和制導動力學的制導律

李富貴,賈生偉，2,卜奎晨,高 峰,佟澤友

(1.中國運載火箭技術研究院， 北京 100076; 2.南京航空航天大學， 南京 210016)

當前戰場環境日趨復雜，導彈飛行過程中面臨復雜的對抗環境[1]。諸如主動隱身、電磁干擾、目標機動等給導彈的作戰效能來了極為不利的影響。如何在高對抗條件下，提高制導性能是當前迫切需要解決的問題[2]。

制導律是制導系統的重要組成部分，對制導性能的有關鍵作用。使用先進的制導律是改善制導性能的重要措施。高對抗環境下，導引頭捕獲目標的作用距離嚴重下降，造成末制導段的飛行時間嚴重壓縮；同時目標在末制導段的機動會引起更大的需用過載[3]。

當前有部分學者對此問題進行了研究，取得了一些成果，但總體來說，工程實現難度較大。本文研究了一種制導律，通過制導動力學的補償，縮短了末制導段的需用時間，通過目標機動補償，降低了導彈需用過載，可以實現高對抗條件下的使用。時域和頻域等效方法，可實現對制導動力學的補償修正。

1 制導律模型與求解

制導律求解用的模型常為線性化模型，以便于利用最優化方法推導出最優解，且模型的復雜度不宜高，否則給求解和實際工程應用將帶來巨大的困難[4]。制導動力學包括導彈的動力學和目標的動力學。設導彈動力學模型為

(1)

式(1)中:amc為導彈加速度指令；am為導彈加速度響應； 1/ωm為彈體動力學時間常數。

目標動力學模型為

(2)

式(2)中:atc為目標加速度指令;am為目標加速度響應; 1/ωt為目標動力學時間常數。

(3)

取目標函數為命中時刻脫靶量為零且控制能量最小，即

(4)

式(4)中tF為末制導時間。式(3)對應改寫為

(5)

設t為時間，則有：

Φ(t)=L-1[(sI-A)-1]

(6)

則式(5)微分方程的的解為：

(7)

在式(7)中只取第一個狀態量，則有：

(8)

令剩余飛行時間tgo=tF-t，則式(8)中：

(9)

(10)

把終端條件y(tF)=0代入式(9)，可得：

(11)

由柯西不等式有：

(12)

當等號成立時，所需控制能量最小，則由柯西不等式等號成立的條件有：

amc(λ)=kh1(tF-λ)

(13)

把式(13)代入式(12)，可得

(14)

設彈目視線角為q，彈目接近速度為Vc，小角條件下有：

(15)

對式(15)求導得：

(16)

把式(9)、式(10)、式(14)、式(16)代入式(13)后，經過化簡可得最優制導律：

(17)

令：

(18)

則最優制導律可表示為

(19)

2 制導動力學時間常數等效方法

為使制導律的形式及使用簡單，最優制導律推導時假設導彈和目標的動力學均為一階滯后模型。而實際上導彈和目標的動力學特性是復雜的高階動力學特性。如何把這諸多的復雜動力學等效為制導律中需用的一階動力學，以維持最優制導律性能不下降太多是最優制導律應用中須解決的問題。

動力學時間常數可以使用時域或頻域特征點進行等效。對于一階系統t63特征(系統階躍響應上升到終值63%的時間)即為系統時間常數，對于高價系統也可以系統階躍響應獲得t63指標用于等效時間常數。系統帶寬ωb是重要的頻域特征點，對于一階系統，1/ωb即為系統時間常數。

為了對比在不同階數時ωb和t63等效策略，需要在不同階數的制導動力學下研究等效后制導律的性能。一個很好的方法是把系統時間常數和系統階數的影響分開，采用一個多項式動力學系統[4]：

(20)

其中n為系統階數。

在文獻[4]中T也常被取近似為制導系統時間常數，在T=1時，不同階數n下由t63和ωb計算得到的等效時間常數如表1所示。

表1 不同階數下等效時間常數

由上述計算結果可知T≈t63，而隨著階數增加，1/ωb與t63相差越大，當系統為5階時，兩種等效策略得到的時間常數相差1倍。

3 最優制導律性能

最優制導律正向分析模型如圖2所示，圖中Vm為導彈速度，HE為初始指向偏差角。

取目標機動加速度指令atc=4g，制導時間常數1/ωm=1 s，1/ωt=1 s，飛行時間為10 s。在制導信息理想的條件下本最優制導律(OPN)和比例導引律(PN)[6]及增強比例導引律(APN)[6]的需用加速度指令值如圖3所示。

從圖3可知，最優制導律加速度曲線為一條直線，末段過載收斂為0，這說明最優制導律正好消除了系統動力學，同時完全補償了目標機動和重力加速度的影響。比例導引律和增強比例導引律制導律在末端需用加速度極大。

定義無量綱參數：

對圖2進行無量綱化，并運用伴隨函數法[7]，可得到無量綱伴隨函數框圖，如圖4所示。圖4給出了在初始指向偏差和目標機動條件下的無量綱伴隨函數框圖，其中制導系數也進行了無量綱伴隨處理。

(21)

在初始指向偏差下，圖5給出了比例制導律在不同階數制導動力學下無量綱脫靶量隨無量綱末導時間變化曲線，當末制導時間大于10倍的制導動力學時間常數時，初始指向偏差引起的脫靶量才會歸零。同樣，也可得到初始指向偏差干擾下最優制導律無量綱脫靶量隨無量綱末導時間變化曲線，圖6中制導系統時間常數等于t63，圖7中制導系統時間常數取為1/ωb，當末制導時間大于4～6倍的制導動力學時間常數時，脫靶量會歸零。

同理，在目標機動下，圖8給出了比例制導律無量綱脫靶量隨無量綱末導時間變化曲線，當末制導時間大于10倍的制導動力學時間常數時，目標機動引起的脫靶量才會逐漸趨于零。最優制導律下無量綱脫靶量隨無量綱末導時間變化曲線如圖9和圖10所示。其中圖9中制導系統時間常數等于t63，圖10中制導系統時間常數取為1/ωb，當末制導時間大于6倍的制導動力學時間常數時，目標機動引起的脫靶量會歸零。

綜上可知，對于最優制導律制導動力學時間常數取t63還是1/ωb均可獲得不錯的效果，雖然高階動力學條件下兩種等效策略得到的時間常數相差近一倍，反映了最優制導律對制導動力學時間常數的魯棒性非常好，在工程中兩種制導時間常數等效策略都可以使用。最優制導律不僅減小了需用過載，而且使得所需末制導時間縮小為比例導引律的60%，這較大降低了對導引頭探測距離和導彈末端機動過載的需求，對于隱身目標、大機動目標具有非常重要的意義。

4 結論

該制導律可有效降低導彈需用過載，制導末端需用過載收斂為零；該制導律有效降低了需用末制導時間，末制導時間需要6倍的制導時間常數，是比例導引律需用末制導時間的60%；最優制導律對制導系統動力學時間常數修正值具有很強的魯棒性，時域指標t63或頻域指標1/ωb均可作為修正用的制導動力學時間常數。