數學概念教學如何培養學生的元認知能力

謝耀清

摘 要：數學概念的作用是學習者作為數學學習的知識基礎和解決數學問題的工具。數學概念教學的意義不僅在于使學生掌握“書本知識”，更重要的是讓他們從中體驗數學家概括數學概念的心路歷程，學會應用概念思維，進而發展和培養學生的元認知能力。

關鍵詞：數學概念；元認知能力；調節、監控、完善

處于無形中的數學元認知能力控制著學習者整個概念學習的認知過程。充分利用元認知知識、元認知體驗和元認知監控調節學習者整個概念心理表征過程，不僅能使學生深刻地掌握概念的本質，同時也能增強學生的情感體驗，豐富自身的知識經驗。

一、體驗概念的形成過程，促進學生形成的正確元認知體驗

首先，概念課應有體現數學本質的核心目標，就是從學生數學元認知知識的內在需求出發，在概念課的教學中努力營造“問題背景、基本概念、研究藍圖”的求知氛圍，讓學生感受到數學概念產生、發展、概括、應用的基本過程，體會到研究數學問題的基本套路和一般步驟，進而提高學生發現問題、提出問題、研究問題的能力，并形成正確獲取新知的元認知體驗。

例如學習算術平方根概念：

（一）設置情景引入

學校要舉行美術作品比賽，小歐想裁出一塊面積為25dm2的正方形畫布，畫上自己的得意之作參加比賽，這塊正方形畫布的邊長應取多少？

解：設正方形畫布的邊長為dm2，則

x2=25

52=25

∴x=5

答：這塊正方形畫布的邊長應取5dm2。

2、聯系舊知，復習平方的概念，填空過渡：（ ）2=25；（ ）2=0；（ ）2=1.69

3、形成概念：一般地，如果一個正數x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數x叫做a的算術平方根，a的算術平方根記為，讀作“根號a”，a叫做被開方數。

4、深化理解：①求下列各數的算術平方根：（1）900；（2）1；（3）；

②求下列各式的值：

概念的形成過程充滿矛盾和沖突，這是激發學生學習興趣與學習熱情的內在條件。而在這一過程中，有獨立思考、合作交流，甚至有錯誤、爭辯和分歧，這就形成了促進概念理解的機制，更促進學生思維的深度參與，促進了學生元認知知識，元認知體驗，元認知能力的不斷完善和提升。

二、自覺進行概念反思，提升學生的調節、修復等元認知能力

當概念教學達到學生能在知覺水平上應用之后，還要引導學習學會反思。反思不僅是正確迅速解決概念理解和應用的保證，而且是優化思維品質，提高元認知能力的有效途徑。

例如學完算術平方根概念后，可以設置幾個問題引導學生對概念進行反思：

（1）-4有算術平方根嗎？答案：沒有.（讓學生理解任何數的平方都是非負數.）

（2）-3是9的算術平方根嗎？答案：不是.（強調，算術平方根的非負性.）

通過這幾題的反思，學生對算術平方根非負性的理解就更加深刻，格式的表達也更規范，概念的應用更嫻熟，教學實效性更強。概念反思是一種有益的思維活動，是消除錯誤和困惑，是深化理解和解決問題，促進實踐的再學習過程。反思學習，更能高效地培養學生評價、調節、修復、完善等元認知能力。

三、構建知識集合圖，培養學生反省、完善等元認知能力

當學生獲取概念后，老師要引導學生自覺將孤立的概念歸入一定的概念集合圖中，學生會徹底知曉所學概念的內涵和外延。概念集合圖能夠更好地體現知識的內在聯系和新舊知識之間的本質聯系，而數學元認知能力在概念集合圖形成過程中起到了揭示知識之間內在聯系的完善和補充的作用。如及時吸納新的數學概念到認知圖中，然后將所有的元認知知識進行分層次和交叉的連接和編排，使概念進行綜合性的聯系，進而形成知識結構圖和概念集合圖，提高學習者的理解能力、記憶能力及完善、補充、調節等元認知能力。

例如，學完“正方形”這節課后，老師可引導學生完成以下知識圖。

這種結構化的知識集合圖通過引導學生比較新、舊知識點間的前后聯系和內在聯系，并使新舊知識逐步形成知識網絡，進而內化為完整的認知結構，實現認知結構的整體優化。這種經過“反省—類比—歸納—編排—建構”的知識集合圖的學習策略，能有效的調節、補充、修復學生概念認知活動，高效培養學生的反省、完善的元認知能力。

數學是玩概念的，數學是用概念思維的，在概念學習中養成的思維方式、思考問題的方法和知識的遷移能力也最強。所以數學概念教學的核心不僅在于使學生掌握“書本知識”，更重要的是讓他們從中體驗數學家概括數學概念的實踐過程和心路歷程，領悟數學家用數學的觀點看待和認識世界的思想真諦，學會用概念思維，進而發展和培養學生的元認知能力。