數(shù)學抽象的認知與腦機制

吳增生

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數(shù)學抽象的認知與腦機制

吳增生

（浙江省臺州市仙居縣教育局教研室，浙江 臺州 317300）

抽象是數(shù)學的本質特征．對數(shù)學抽象本質的爭論，伴隨著數(shù)學發(fā)展的歷史．從認知神經(jīng)學的視角分析數(shù)學抽象的本質后發(fā)現(xiàn)：（1）數(shù)學抽象本質爭論中的不同觀點實質上都有其合理性，它們各自在不同認識水平上反映了數(shù)學抽象的某些側面；（2）抽象過程的本質是大腦神經(jīng)細胞集群對數(shù)量和空間信息的選擇性、簡約化激活反應；（3）抽象活動的基本步驟為：分離屬性與建構模型——概括與一般化——定義與符號化——系統(tǒng)化．

數(shù)學抽象；認知與腦機制；活動步驟

抽象是數(shù)學的本質特征，抽象并不是數(shù)學所獨有，但數(shù)學除了關注數(shù)量與空間的特征外忽略了其余一切物理特征．數(shù)學抽象具有典型性、確定性和高度的形式化，使之成為抽象活動的典范，數(shù)學抽象的方法廣泛地應用于其它學科和實際問題的研究中．正因為如此，數(shù)學可以在更抽象的層次（數(shù)量關系、空間結構、邏輯關系）上一般性地研究事物的本質、關系與規(guī)律，具有應用的廣泛性，也正因為如此，數(shù)學抽象成為了數(shù)學產生和發(fā)展的思維基礎[1]，成為了數(shù)學基本思想，也成為了數(shù)學核心素養(yǎng)的主要成分[2-5]．

1 數(shù)學抽象：跨越歷史與現(xiàn)代的話題

從古希臘的畢達哥拉斯學派開始，抽象便進入了數(shù)學研究之中[6]，而從柏拉圖時期開始，已經(jīng)確定把數(shù)學概念看作是抽象物，重視把抽象的觀念作為數(shù)學思想融入哲學，他們關心證明，關心推理過程的方法論，提出需要通過演繹證明得到知識[7]．亞里斯多德創(chuàng)立的邏輯學，奠定了數(shù)學推理規(guī)范化和系統(tǒng)化的基礎[8]．歐幾里得的《原本》無疑是數(shù)學公理化抽象和推理的典范，從此，抽象和推理的思想一直貫穿于數(shù)學發(fā)展的歷史，成為數(shù)學的基本思想．

“數(shù)學在本質上研究的是抽象的東西”，這一觀點得到古今的哲學家和數(shù)學家普遍認同．但對抽象的數(shù)學概念的存在形式這一抽象本質的認識，從古到今，一直充滿著爭論．自從數(shù)學抽象概念出現(xiàn)以來，就存在著數(shù)學抽象概念的“唯實論”與“唯名論”之爭．

這種爭論是從柏拉圖和亞里士多德開始．柏拉圖的“理念說”把抽象的概念作為人的思想“理念”，認為這種理念是客觀存在的，需要用思想領悟；強調概念的普適性，認為經(jīng)驗是不可靠的．亞里斯多德則認為抽象的概念不是客觀存在，而是主觀意識的反映，是要借助知覺從經(jīng)驗中抽象出數(shù)學概念，用“共相”來說明概念是具體事物共同屬性在人的意識中反映；認為一般意義上的抽象概念，是人們從客觀事物的共同屬性中抽象出來的描述事物之間相互關系的東西．

隨著數(shù)學的發(fā)展，歷史上許多哲學家和數(shù)學家在批判和繼承的基礎上參與了這一爭論．如法國數(shù)學家笛卡爾（R. Descartes，1596—1650）、德國數(shù)學家萊布尼茲（G. Leibniz，1646—1716）、德國哲學家康德（I. Kant，1724—1804）、德國數(shù)學家希爾伯特（David Hilbert，1862—1943）、德國數(shù)學家和邏輯學家克羅內克（L. Kronecker，1823—1891）、法國數(shù)學家鮑萊爾（E. Borel，1871—1956）、法國數(shù)學家勒貝格（H. Lebesgue，1875—1941）、法國數(shù)學家龐加萊（Jules Henri Poincaré，1854—1912）、英國哲學家、數(shù)學家羅素（Bertrand Russell，1872—1970）等，在批判的基礎上繼承了柏拉圖的觀點，由此發(fā)展出直覺主義、形式主義和邏輯主義觀點；英國哲學家培根（F. Bacon，1561—1624）、英國哲學家霍布斯（T. Hobbles，1588—1679）、英國哲學家洛克（J. Locke，1632—1704）、英國的哲學家休謨（D. Hume，1711—1776）等，則在批判的基礎上繼承了亞里士多德的觀點，由此發(fā)展出了經(jīng)驗主義和白板說．爭論的焦點是抽象的概念是客觀存在與經(jīng)驗無關的，還是基于經(jīng)驗加工而形成的意識對象．

史寧中在深刻分析上述觀點爭論的基礎上，取其合理的成分，提出數(shù)學抽象的兩個階段的理論，認為數(shù)學中有兩步抽象，第一步是建立在經(jīng)驗直觀之上的抽象；第二步是建立在對象表達符號化和論證過程形式化之上的抽象．前者是基于經(jīng)驗直觀的，后者是基于思辨和邏輯的．對于數(shù)學概念的本質，則堅持亞里士多德的觀點：數(shù)學的基本概念，即哪些抽象了的東西是不存在的，抽象了的概念只是表現(xiàn)在每一個具體之中．認為數(shù)學所研究的哪些概念不是現(xiàn)實的存在，而是人們在數(shù)量和圖形方面對事物本質進行抽象的結果；認為數(shù)學抽象依賴于直觀，既包括經(jīng)驗直觀也包括純粹直觀；認為數(shù)學知識的形成依賴于直觀，數(shù)學知識的確立依賴于推理．史寧中指出，數(shù)學抽象過程從深刻程度而言分為以下3個階段：簡約階段、符號階段和普適階段[7-8]．

這些哲學和數(shù)學大師從哲學和數(shù)學的角度論述了數(shù)學抽象的本質，學習和研究這些觀點，可以更好地從哲學和數(shù)學本質角度認識數(shù)學抽象．然而，正像史寧中所說的，談論數(shù)學抽象，不能不涉及人的作用．比如，概念不是現(xiàn)實存在，只是人腦的意識建構，但概念具有普適性．由于每一個個體的大腦所建構的意義都具有獨特性，為什么抽象出的概念卻具有普適性？作為抽象概念的基礎，經(jīng)驗和直觀在大腦中是怎樣存在的？思辨和推理是針對概念關系進行的，概念的外在表現(xiàn)是基于語言符號的定義，這些語言符號表示的形式化的對象是怎樣由經(jīng)驗生成的？數(shù)學抽象的層次性在大腦神經(jīng)活動中是怎樣實現(xiàn)的？需要經(jīng)歷哪些外顯的操作步驟和內在加工過程？所有這些問題都需要依賴于抽象活動的認知與腦機制研究才能得到解決．

2 皮亞杰對數(shù)學抽象活動的認知研究：反省抽象理論

皮亞杰及其同事用“反省抽象”來描述從現(xiàn)有的概念之上發(fā)展出更新、更高級概念的心理過程．他擯棄了唯實論（柏拉圖觀點）和唯名論（亞里士多德的觀點），認為“邏輯數(shù)學結構既不是發(fā)現(xiàn)，也不是發(fā)明，而是憑借反省抽象進行的，是完全意義上的建構，而這種建構正是建立在主客體相互作用的活動的基礎之上[9]．主客體相互作用的過程中存在著各種關系，既有客體之間的相互關系，也有主體客體之間的相互關系，這種關系集中反映為結構、范疇和邏輯關系．反省抽象指的是將個體操作中的關系抽取出來，并在更高的層面上對這種關系進行重組的過程．他提出，通過“投射”和“反射”兩個階段，人的心理結構可以從較低水平發(fā)展到較高水平．投射指的是較低水平上的操作可以投射到較高水平上作為反射的對象（例如，從操作到操作的表征）．而反射過程則指的是對較低水平操作投射上來的對象進行重組的過程（例如，對操作的表征符號進行操作）．反省抽象憑借自身的建構特性，實現(xiàn)了從操作到運算的轉化，使得包含在操作中的關系逐步演變?yōu)檫壿嫛獢?shù)學結構．例如，在序列操作的過程中，個體要將行為順序從操作中抽取出來，首先就需要對行為的順序進行表征．要成功地表征，就需要建立高于操作層面的格式，這樣，才能擺脫表征的局限，實現(xiàn)對序列的轉換或是重構．在反省抽象的多次作用下，早期發(fā)展階段上的操作序列逐漸被建構為一個形式運算的序列，并能在高級發(fā)展階段上隨意地被轉換或是重構，實現(xiàn)了對操作的操作，也就達到了邏輯——數(shù)學范疇[10]．在這一過程中，從操作到操作序列的表征屬于史寧中所說的“基于知覺運動經(jīng)驗的第一次抽象”，操作序列的轉換與重構則屬于史寧中所說的“對象表達的符號化和論證的形式化的第二次抽象”．通過反復進行這兩種抽象活動，得到數(shù)學的系統(tǒng)結構．皮亞杰通過5個抽象層次（經(jīng)驗抽象、偽經(jīng)驗抽象、反省抽象、再反省抽象、元反省抽象）的劃分，著重研究了從較低層次抽象水平發(fā)展到較高抽象水平概念的“投射”與“反射”機制，從認知發(fā)生論的角度描述了數(shù)學反省抽象的心理操作階段．

Ana-Isabel RoigI、Salvador LlinaresII和Maria del Carmen PenalvaIII在皮亞杰理論的基礎上，通過任務測試、行為觀察、問卷調查和現(xiàn)場訪談研究中學生數(shù)學概念抽象的形成和應用階段，并發(fā)現(xiàn)中學生在數(shù)學概念抽象的形成階段有兩個關鍵要素：一是在具體情境中感知規(guī)律的能力；二是把注意焦點從具體結果轉移到屬性的結構，從而實現(xiàn)信息的協(xié)調[11]．

事實上，皮亞杰的上述理論較好地回答了古今數(shù)學家對數(shù)學抽象本質的爭論中的問題，數(shù)學概念既有從現(xiàn)實的、具體的存在中通過知覺和運動經(jīng)驗抽象出來，這就是皮亞杰所說的基礎層級的抽象——經(jīng)驗抽象；也有從已有的概念中抽象出新的概念，建構概念關系，通過形式化的邏輯推理建立數(shù)學系統(tǒng)結構，在皮亞杰看來，這是反復進行“投射”和“反射”的結果，是反省抽象．數(shù)學抽象既有客觀性，又有建構性，也就是說，既有普適性和客觀性，又有主觀建構性，是主體所建構的反映客觀實在的各種神經(jīng)激活模式，因此，數(shù)學概念以“名”（定義與符號）的形式存在，但反映的是具有普適意義的一類事物及其相互關系，因此具有“實”的屬性．

3 數(shù)學概念抽象活動的腦機制

然而，皮亞杰所說的基礎層級的抽象——經(jīng)驗抽象是如何實現(xiàn)的？抽象的“投射”和“反射”操作是怎樣實現(xiàn)的？要真正精細可靠地描述經(jīng)驗抽象、投射、反射的過程，就需要考察這些認知加工過程的生物學證據(jù)——即大腦神經(jīng)活動機制．

3.1 經(jīng)驗抽象活動的腦機制

經(jīng)驗抽象是個體的發(fā)展過程中最簡單、最基礎的抽象．它指從客體中抽取信息或者是從個體行為的物質屬性中提取信息[12]，也是最基本的從直觀的知覺運動經(jīng)驗到對象概念的抽象．

3.1.1 知覺抽象

知覺抽象指的是知覺中對信息的選擇性整合加工．知覺的選擇性整合首先發(fā)生在同一感覺通道．比如，初級視覺皮層（V1區(qū)）對來自視網(wǎng)膜經(jīng)丘腦外側膝狀體傳導而來的信息進行加工，并進一步傳導到次級視覺區(qū)（V2、V3、V4、MT）等進行加工，而且，視覺加工具有雙通路，背側枕頂通路主要加工物體的位置和運動，腹側枕顳通路主要加工物體的形狀、顏色等物理屬性．其次，信息的整合發(fā)生在不同感覺通道之間，Barry Stein發(fā)現(xiàn)在多通道（視覺、聽覺、軀體感覺等）同時呈現(xiàn)某一對象的刺激，上丘中單個細胞的反映大于任何一個單通道的刺激的反映，這叫做多感覺整合效應[13]，Gemma Calvert和他的同事們（1997）用fMRI發(fā)現(xiàn)沉默的唇讀激活了聽覺皮層，發(fā)現(xiàn)借助于觀察說活時嘴唇的運動和聽，人們更容易理解對方的說話，還發(fā)現(xiàn)在這種視聽感覺整合中左側顳上溝起到了知覺整合的作用，這種整合，使大腦對信息進行了選擇性強化[13]．Humphreys、Cinel和Wolfe等人經(jīng)過系列實驗，提出了知覺特征的雙階段整合理論，他們認為，物體的整體特征識別是前注意自動加工的，而其細節(jié)特征的搜索和整合則需要注意的參與，是系列加工的[14]．物體識別的神經(jīng)集群模型認為：不同神經(jīng)元群對物體的不同特征分別反應，然后這些不同的神經(jīng)元群以特定的時間和空間模式同時激活擴散，從而形成物體特征穩(wěn)定的關系——物體屬性的知覺．物體不但由它的部分決定，也由部分之間的關系決定．這種覺知物體的部分以及把部分按照特定模式整合在一起的機制是“特征捆綁”過程．上述研究表明，在知覺形成階段，便有了對信息特征的選擇性整合，而這種整合過程實際上已經(jīng)對信息進行了抽象．

3.1.2 圖形的抽象

視網(wǎng)膜細胞按照功能可以分成兩類，一類是大細胞，負責加工物體的位置與運動信息，并通過丘腦的外側膝狀體傳導到V1區(qū)；另一類是小細胞，負責客體形狀、顏色等本身特征的加工，并進一步傳導到V2區(qū)．然后，V1區(qū)把加工后的信息傳導到枕葉—頂葉—前額葉組成的背側通路，進一步加工物體的運動信息；V2區(qū)加工后的信息通過V4區(qū)進一步傳導到由枕葉—顳葉—前額葉組成的腹側通路進一步加工物體的形狀、顏色、大小及質地等．背側通路和腹側通路各司其職有專門的神經(jīng)纖維相互聯(lián)系，使大腦能準確、精細地識別物體的位置、運動和性質等屬性．物體連續(xù)運動的知覺過程，實際上是對物體位置及其連續(xù)變化信息的選擇性加工，這是幾何中點和線抽象的神經(jīng)機制，這與項武義提出的點、線概念相一致[15]．物體形狀信息的加工過程，是對物體的輪廓（線）、（線段）朝向、拐角（線段不同朝向的方向差）、線條的交叉點等信息的分別反應再進行基于空間結構的整合過程．在這一過程中，實際上已經(jīng)抽象出點、線、角等構成幾何圖形的基本要素及這些要素的結構組合．研究還表明，視覺加工既有自下而上的刺激引導的加工也有自上而下的任務引導加工，在形狀加工過程中，存在特征分離和特征整合兩個階段，特征分離階段既有自動加工也有控制加工，而特征整合的過程則需要注意的參與，是控制加工的過程．例如，三角形概念的抽象，是先分離出構成三角形的要素——線段；3條線段具有不同的方向并在端點交叉構成拐角，形成封閉圖形，這就是要素之間的關系，通過這種要素的分離與整合，得到三角形的知覺形象．

基于直觀經(jīng)驗的圖形抽象還需要在知覺的基礎上用語言符號表示，生成特定圖形的名稱．如形成三角形的知覺形象后，還需要用語言給出邏輯定義并用符號表示．因此，幾何圖形的抽象是從知覺到語義的．

3.1.3 數(shù)量抽象

尼德（Nieder，2002）等運用單細胞電活動記錄的方法對恒河猴的數(shù)量能力進行了研究，發(fā)現(xiàn)在額葉區(qū)域有三分之一的神經(jīng)元表現(xiàn)出了數(shù)量敏感性，并發(fā)現(xiàn)由不同的神經(jīng)元群負責對數(shù)量1、2、3、4、5進行加工，即加工不同的數(shù)量有專門神經(jīng)元分別負責．從它們的前額葉邊側皮層直接探測到對數(shù)量1—5專門反應的神經(jīng)元，被稱為“數(shù)量神經(jīng)元”．2013年美國斯坦福大學醫(yī)學院的科學家為人腦中的數(shù)字“熱點”進行了精確定位，測量精度達到1/15英寸（1.7毫米）腦區(qū)寬度．數(shù)字“熱點”是當人們看到普通數(shù)字（如“6”）或非符號數(shù)字（6個點）時，腦中最先被激活的位點（如圖1）．相關論文發(fā)表在美國《神經(jīng)科學雜志》上[16]．由于位置和運動的視覺知覺是沿著枕頂背側通路傳導并進行逐級加工的，而且頂葉也是控制眼動的大腦區(qū)域，因此，數(shù)量認知是空間視覺認知的分化和發(fā)展．

Zorzi和Priffis等人通過實驗研究發(fā)現(xiàn)，患空間一側忽視癥的病人在心理數(shù)軸上有偏向另一側（如左側忽視估計兩數(shù)的中位數(shù)出現(xiàn)偏向大數(shù)）的現(xiàn)象[17]，Gevers等人的雙通路平行加工理論認為，空間在數(shù)量的加工和表征中起到中介作用，數(shù)量大小信息加工（估算加工）本身是一條自動化的、快速的無條件通路，它基本不會受到任務需求的影響；相對于快速的無條件通路，另一種加工（精算加工）則受到任務需求影響，且依賴于任務需求的、慢速的、有條件的通路，加速反應發(fā)生在快速通路和慢速通路這兩條通路能夠在同一個任務反應上實現(xiàn)匯合；如果達不到匯合這一條件，也就是如果這兩條通路分別對應于不同的任務反應，就會減慢反應的時間和進度[18]．進一步的研究表明，頂葉的左側頂內溝區(qū)域，無論對符號數(shù)量和非符號數(shù)量都具有敏感性．非符號數(shù)量加工更多地需要視覺加工，符號數(shù)量加工更多地與角回及顳上回有關，是基于符號運算事實的提?。ㄈ绯朔谠E）和邏輯進行的，以語言符號為媒介，符號數(shù)量認知是非符號數(shù)量認知的符號表征．張韓、陳傳生、周新林等人用功能性核磁共振（fMRI）方法研究表明，與數(shù)字加工相關的大腦頂內溝區(qū)域參與了幾何概念的加工過程，但并不參與代數(shù)概念的加工，而幾何概念、代數(shù)概念加工及語義加工共享了相同的大腦區(qū)域——左顳葉和額葉區(qū)域[19]，這說明，幾何圖形知覺加工需要枕頂通路參與，數(shù)字加工同樣需要這一通路，兩者都需要圖形直觀；幾何概念的形成，則需要以幾何直觀中介，結合語義加工；代數(shù)概念加工則更具有語義的特征，是基于數(shù)量抽象后作為基本事實進行提取的．無論是幾何概念和代數(shù)概念都要借助語言加工建立與語言標簽的聯(lián)系，非符號數(shù)量加工是在空間視覺加工基礎上的進一步精細化、特異化加工活動，符號數(shù)量是非符號數(shù)量的符號化，代數(shù)概念則需要建立在符號數(shù)量的運算基礎上，更多具有語義加工的成分．

圖1 對不同數(shù)量概念反應敏感的神經(jīng)元群

Dehaene的數(shù)量認知“三重編碼”模型則更進一步說明了非符號數(shù)量概念與符號數(shù)量概念之間的關聯(lián)（如圖2和圖3）[20]．

上述認知神經(jīng)學證據(jù)表明，基本數(shù)量概念的抽象是基于視覺空間加工基礎上的進一步抽象，數(shù)量抽象與圖形抽象具有交互作用，相互影響，而心理數(shù)軸的發(fā)現(xiàn)則進一步說明了這種關系．

3.1.4 類別概念的抽象

Baesalou（2003）認為，人類是基于知覺符號系統(tǒng)對概念作出反應的，物體的物理刺激通過感覺通道上行到知覺皮層，引起特征映射中的神經(jīng)元激活產生感覺表達，進一步，知覺聯(lián)合區(qū)神經(jīng)元關聯(lián)激活并捕捉感覺表象．反過來，概念提取的過程是：聯(lián)合區(qū)中的神經(jīng)元關聯(lián)激活部分地恢復感覺表象，然后引起特征映射中的神經(jīng)元重激活而引起感覺表達，而重激活的神經(jīng)元是原先刺激激活的部分神經(jīng)元[21]．

圖2 數(shù)量認知的三重編碼模型

圖3 三重編碼的腦結構模型

如圖4，圖a、c展示了視覺刺激下激活的視覺皮質神經(jīng)活動；圖b、d展示了回憶視覺概念時激活的腦區(qū)；圖e展示了接受聽覺刺激模式激活的腦區(qū)；圖f展示了回憶聽覺模式時激活的腦區(qū)[22]．Warrington（1995）提出了物體識別的認知操作模型（怎樣把部分整合成整體，按照特定的要求歸類并命名——類別抽象）．如圖5[13]，視覺抽象分兩步進行：感覺加工（與兩側枕葉相關的視覺加工，如運動、形狀、顏色等）后進行兩步分類加工，第一步，知覺分類：知覺輸入與儲存的視覺物體表征相匹配，視覺系統(tǒng)必須對信息的獨特來源（如輪廓、線條朝向、角、陰影模式）和不變性來區(qū)分，這一階段與大腦右半球相聯(lián)系（這也叫前語義階段）；第二步，進行語義分類和概括，這與左半球相聯(lián)系．

圖4 抽象是知覺神經(jīng)活動的簡約化

抽象出概念必須要建立相關知覺的名稱，其神經(jīng)機制是通過角回這一知覺整合區(qū)域建立知覺網(wǎng)絡與語音、詞匯網(wǎng)絡之間的聯(lián)系．Levelt提出的詞匯網(wǎng)絡模型中，認為概念網(wǎng)絡包括詞素或聲音水平、詞元水平和范疇水平，從詞素或聲音水平到詞元水平，主要以聲音形式投射，而從詞元到范疇（概念水平），則主要靠感覺連接[13]．Alexmartin和他的同事（1996）運用PET和fMRI研究發(fā)現(xiàn)，命名動物圖片時，梭狀回外側和顳上溝以及早期視覺加工有關的左側枕葉區(qū)域有更多的激活；在命名工具時則梭狀回內側、左側顳中回以及左側運動前區(qū)有更多的激活．由此推斷，動物概念的表征更多地依賴知覺信息，對人造工具的概念表征則更多地依賴運動和功能信息加工．上述研究表明，基于經(jīng)驗的對象概念抽象，是從知覺和運動加工到語音詞匯加工發(fā)展的．幼兒的口語詞語形成過程，實際上也是先在成人的指引下形成知覺經(jīng)驗（包括視覺、聽覺、味覺、觸覺、軀體知覺、運動知覺等），再建立這些知覺經(jīng)驗之間的聯(lián)系，然后才能建立名稱（詞）和物體類別之間的對應關系．幼兒的口語發(fā)展，總是先有知覺經(jīng)驗，再聽語音表達，理解語音與視覺之間的關系，最后能用適當?shù)脑~來表達概念名稱．例如，嬰兒先出現(xiàn)認生現(xiàn)象，這標志著能成功識別人臉，然后模仿發(fā)音（如發(fā)出“爸爸”的音節(jié)），再到泛化稱謂（叫很多人“爸爸”），最后才發(fā)展能用“爸爸”特指自己的父親．視覺詞匯閱讀的研究發(fā)現(xiàn)，梭狀回中部的布羅德曼37區(qū)對視覺詞匯刺激具有選擇性敏感，而該腦區(qū)位于顳葉下部與枕葉下部的交接處，形成了聯(lián)系視覺加工和語言加工的大腦神經(jīng)解剖結構．從人類文字產生的歷史發(fā)展看，幾乎所有文字的最初形成都來自于視覺抽象，這一現(xiàn)象從進化角度印證了基于經(jīng)驗的基本類別概念抽象是從知覺運動到語義的過程．

圖5 視覺類別抽象的兩階段模型

3.2 數(shù)學反省抽象的“投射”與“反射”的腦機制

普遍接受的觀點是，概念既以知覺運動經(jīng)驗為基礎，又可以看作概念聯(lián)系網(wǎng)絡中的節(jié)點．人們可以從加工已有概念之間的聯(lián)系信息中抽象出概念關系，形成新的概念．對于數(shù)字1—9概念的表征，普遍的結論是在一條心理數(shù)軸上表示的（如從左到右），負數(shù)的概念抽象，大腦則是依賴于“符號”和“絕對值”而進行表征的[22]，在負數(shù)概念形成后，把負數(shù)概念作為一個對象與正數(shù)和0進行比較，則又可以延伸心理數(shù)軸．Fischer采用比較判斷任務[23]，研究結果支持數(shù)軸從零向左延伸包含負數(shù)的假設．負數(shù)概念的抽象，是基于正數(shù)的再抽象得到的，從數(shù)10到-10抽象的投射過程是：先通過操作或思考理解如“收入10元的相反意義是付出10元”，在先前抽象出正數(shù)10的基礎上，把10從非符號數(shù)量轉換為符號數(shù)量，把10的概念符號化，看作對象，并用它表示收入10元；而反射的過程則是把投射得到的對象10表示收入10元與付出10元放在一起進行比較分析，發(fā)現(xiàn)要區(qū)分收入與付出這對相反意義的量，需要關注量的“極性”（符號）和“量值大小”（絕對值），然后把極性（符號）和量值（絕對值）組合在一起抽象出“-10”的意義．同樣，在得到正數(shù)、0和負數(shù)的概念后，把每一個數(shù)投射到直線上，把每一個數(shù)都看作一個對象，再對對象進行排序，通過這種重組（反射），可以在心理數(shù)軸基礎上抽象出數(shù)學中形式化的數(shù)軸概念．上述從下位概念抽象出上位概念的過程符合皮亞杰的“反省抽象理論”，先把下位概念中的要素及其關系模型投射到上位概念類別模型中，再與其它概念模型進行比較分析和重組加工（反射），則可以抽象出上位概念．

那么，概念抽象過程的“投射”與“反射”的大腦神經(jīng)事件是什么？Quinn等人（2006）采用ERP技術，通過注視時間程序探討了嬰兒上位水平和下位水平類別概念形成的神經(jīng)機制．結果表明被試對熟悉階段所呈現(xiàn)的基本水平類概念的學習主要表現(xiàn)在左側枕——頂葉晚期慢波成分（NSW)上．下位概念類別檢測階段，出現(xiàn)這種晚期負慢波的提高，而類別形成則表現(xiàn)為這種負慢波回到基線水平．而上位概念類別的檢測，則出現(xiàn)了右額葉頭皮晚期正慢波（PSW）的提高，上位類別概念的形成（形成新的類別）則反映為晚期正慢波（PSW）回到基線水平．Quinn等（2006）還發(fā)現(xiàn)了一種與新穎刺激加工有關的成分——中央負成分（Negative Central Componeni, Nc）．在再認記憶研究中，Nc被認為與新穎刺激的注意反應有關（Reynolds和Riehards，2005)．這些研究初步地表明，從下一層級的概念向上一層級概念抽象的投射過程，首先表現(xiàn)為左側枕—頂葉的負慢波（類別成員的初步檢測）；而反射的過程則表現(xiàn)為前額的正慢波（與類別成員的初步加工有關）及Nc（與新穎刺激的注意反應有關），而形成上一層級概念的標志是對類別成員辨別時慢波回到基線水平．

3.3 概念抽象過程的個性化和概念的普適化

基于物種的進化，人類大腦結構及功能具有相似性，這種相似性為人類正確理解科學概念，理解概念的普適性提供了基礎．比如，不同的人對于“狗”的概念的理解，都是從外形結構、行為、聲音、食物、生活環(huán)境、與人關系、與其它動物關系等角度激活相應的神經(jīng)網(wǎng)絡，而這些神經(jīng)網(wǎng)絡具有相似性，這是不同的人形成“狗”的概念的普適理解的基礎．卡內基·梅隆大學的Andrew James Bauer 和 Marcel Adam Just通過新動物概念學習任務進行fMRI研究，記錄了抽象新的概念（虛構動物的形態(tài)、生存環(huán)境和食物）過程中大腦中所激活的腦區(qū)，研究表明，抽象過程中在每一個人的大腦中所激活的腦區(qū)是基本相同的，如圖6[24]．周新林等用功能性核磁共振比較了描述數(shù)學基本運算律和數(shù)字計算及一般語言，發(fā)現(xiàn)描述運算律時雙側頂內溝區(qū)域和右緣上回有等區(qū)域有更強的激活，顳葉—頂葉回路有更強的聯(lián)接；而數(shù)字計算則表現(xiàn)出枕葉—頂葉通路有更強的聯(lián)接；另外，左側額葉——頂葉通路有更強的聯(lián)接．結果顯示，參與數(shù)學運算律描述的神經(jīng)網(wǎng)絡與數(shù)字計算及語言加工網(wǎng)絡有重疊但也有明顯的區(qū)別，表現(xiàn)出了不同個體的一致性（如圖7）[25]．

圖6 虛擬動物概念學習中激活的腦區(qū)

圖7 數(shù)學原理（運算律）與數(shù)字計算和一般語言描述中激活的腦區(qū)

語言文字符號則為不同的大腦進行概念交流，形成普適化理解提供了物理媒介．當一個概念在一個人腦中時，它還是基于腦內神經(jīng)活動的，更多的是事物對象類別特征以知覺運動經(jīng)驗與概念網(wǎng)絡的混合體形式存在，是臨時性和不穩(wěn)定的；當這個人用語言符號明確地建立概念判斷準則時，就從物理角度確認了概念的內涵與外延，明確了這一概念類別成員與其它類別成員的區(qū)別；當另一個有共同經(jīng)驗基礎的人受到這種語言符號刺激（語音或視覺）時，會激活相似的概念網(wǎng)絡結構及其相關的知覺神經(jīng)回路激活，形成共同的理解，從而實現(xiàn)了概念的普適化．

當然，不同個體的大腦對相同對象的加工的神經(jīng)回路不完全相同，而且，大腦的概念網(wǎng)絡形成是受到經(jīng)驗影響的，這種經(jīng)驗來自于環(huán)境、文化和教育，對于同一個概念可能產生不同的概念網(wǎng)絡及知覺激活，造成誤解，好在人類的交流具有反饋機制，可以在不斷交互反饋中修正理解．也正因為如此，生活環(huán)境和文化教育背景的差異可能造成交流的困難．

4 數(shù)學抽象的本質

（1）抽象本質的爭論中的不同觀點都有其合理性，它們各自在不同認識水平上反映了數(shù)學抽象的某些側面．

基于上述概念抽象的腦機制分析，可以確定，個體腦內的數(shù)學概念，是人腦在基本感覺運動經(jīng)驗基礎上構建的理解外部世界的數(shù)量及空間屬性的主觀實在（大腦神經(jīng)的激活擴散模式），這種主觀實在沒有外部世界中的認知對象的物質性；另一方面，這種意識對象的形成依賴于外部世界的物質性，即便是虛構出的數(shù)學概念（如四元數(shù)），也是在與業(yè)已抽象得到的概念（實數(shù)、復數(shù)）的關聯(lián)中產生的．也就是說，抽象的概念是人腦對客觀事物的概括反應，而不是客觀實在，它存在于每一個具體之中，是一種主觀實在．這與亞里士多德的主張一致．

不同的大腦反映同一概念的神經(jīng)網(wǎng)絡具有相似性也具有差異性，前者有利于人們對同一概念形成相同的理解為了克服后者產生概念理解的歧義，人們通過語言和邏輯界定來實現(xiàn)．因此，作為人腦抽象結果的外在的數(shù)學概念，是具有邏輯確定性和普適性的數(shù)學對象，具有柏拉圖所說的“永恒真理”的屬性．人們要理解數(shù)學概念，需要跳出具體對象的束縛用理性思辨去理解，這與柏拉圖的觀點一致．

在數(shù)學抽象活動中，既有基于感覺運動經(jīng)驗的直觀經(jīng)驗抽象，即皮亞杰所說的經(jīng)驗抽象，又有在已有概念基礎上得到新概念的高層次抽象．前者是大腦神經(jīng)系統(tǒng)對知覺運動經(jīng)驗的選擇性簡約化反應，是自下而上的加工；后者是通過“投射”和“反射”機制得到的，是在提取概念記憶基礎上進行建構，是自上而下的加工，屬于皮亞杰所說的反省抽象．

（2）抽象過程的本質是大腦神經(jīng)細胞集群對數(shù)量和空間信息的選擇性、簡約化激活反應．

大腦神經(jīng)是在不同層次上組團的神經(jīng)元連接構成巨型復雜網(wǎng)絡結構，若干個神經(jīng)細胞的共同激活表現(xiàn)為反射弧，對同類刺激作出協(xié)同反映的神經(jīng)元組成神經(jīng)元群——功能柱，多個功能柱之間的反映協(xié)同組成巨型柱，多個巨型柱組成特定的大腦功能區(qū)，大腦功能區(qū)負責加工特定的信息，如初級視覺皮層主要加工來自視網(wǎng)膜神經(jīng)元傳遞來的視覺信息．

大腦具有抽象機能的基礎是神經(jīng)元的結構及其信息整合與傳輸機制．不同的神經(jīng)信號從不同分支的樹突傳入到細胞體，通過細胞體進行選擇性整合（某些樹突分支的信息因強度不夠被忽略，有的分支的信息得到增強），整合成新的信息后通過軸突傳遞到軸突末端神經(jīng)末梢上的突觸，傳遞到其它神經(jīng)元，進行再一次整合．所以，單個神經(jīng)元的傳輸中進行的信息選擇性整合傳輸是最基本層級的信息抽象．

第二層次信息的選擇性整合傳輸發(fā)生在細胞集群形成的同步激活擴散．具有相似功能的神經(jīng)元傾向于在大腦皮質中作垂直排列，形成柱狀結構，稱為皮質柱，貫穿皮質的大多數(shù)層次．其中最著名的例子是視皮質的朝向柱，其中所有神經(jīng)元都偏愛于具有以特定角度傾斜的線條或邊緣，比如，一個皮質柱中的所有神經(jīng)元對傾斜35o的邊界有最佳反應，而另一個皮質柱中的所有神經(jīng)元偏愛其它傾斜角度（比如水平的、垂直的……）的不同的邊界．大腦神經(jīng)的這種功能結構為數(shù)學概念形成中分離關鍵要素奠定了基礎．

第三層次的信息選擇性整合傳輸發(fā)生在不同的皮質柱構成的皮質區(qū)（布羅德曼皮質區(qū)）上．不同的皮質區(qū)，在對對象的不同抽象特征進行反應的基礎上，建立相互之間的聯(lián)系．這為數(shù)學抽象中建立要素關系，進行要素關系的選擇性整合奠定了基礎，也為數(shù)學概念的本質屬性的發(fā)現(xiàn)奠定基礎．

第四層次的神經(jīng)信號選擇性整合擴散，發(fā)生在不同皮質區(qū)之間的聯(lián)系上．這為把得到的簡約化的要素關系推廣到一般并用語言符號表示奠定了基礎，也為基于語言符號的概念網(wǎng)絡表征、命題抽象、數(shù)學系統(tǒng)結構抽象奠定了基礎．

例如，黑板上畫了一個三角形，視網(wǎng)膜進行初步的三角形的封閉輪廓、角、邊緣線段朝向、光線明暗等不同的特征進行初步抽象加工后，傳輸?shù)匠跫壱曈X區(qū)，激活對應的神經(jīng)元群，形成神經(jīng)元的拓撲結構、角、邊緣、朝向、運動等反應，分離出三角形的構成要素——不在同一直線上的三條線段；并進一步傳輸?shù)酱渭壐杏X區(qū)、感覺聯(lián)合區(qū)，形成三條線段首尾相連構成封閉圖形的關系與結構知覺抽象；然后傳輸?shù)斤D葉的名稱詞語區(qū)、語言理解的魏爾尼克區(qū)、語言發(fā)起的布洛克區(qū)、控制執(zhí)行動作的運動區(qū)及基底神經(jīng)節(jié)，說出“三角形”這一詞條，用符號“△”表示，并用語言給出定義：三條不在同一直線上的線段首尾相連組成的封閉圖形．

不同皮質區(qū)之間神經(jīng)信號的選擇性整合擴散，還表現(xiàn)在不同概念聯(lián)系的建立上．例如，當看到一只具體的貓在抓老鼠，這一景象對人施加了視覺刺激，這種視覺刺激是整體的和具體的，人的大腦視覺加工會把貓和老鼠先從整體中分離出來分開感知，各自建立與相關皮質區(qū)的聯(lián)系，歸入到先前的知覺運動神經(jīng)回路上，貓歸貓、老鼠歸老鼠（當然，它們的知覺運動神經(jīng)回路有重疊也有區(qū)別，重疊處反映的是共同的動物特征，區(qū)別處反映的是外形和屬性的不同），然后在觀察“貓抓老鼠”過程的感知運動經(jīng)驗基礎上建立兩種動物的抽象概念相互聯(lián)系的結構模型，抽象出“抓”的動詞來說明它們的動作狀態(tài)，用“貓抓老鼠”這一抽象語句說明它們之間抓與被抓的關系．這種概念之間關系的抽象的結果是“關系詞語”．在數(shù)學中，概念之間的關系有從屬關系，與之相關的反映從屬關系的詞語有“是”“包含”“屬于”“存在”“全部”“所有”等；數(shù)學概念之間有量的比較，如“多”“少”“大”“小”“幾分之幾”“相等”“同解”等；數(shù)學概念之間有位置關系，如“在…中”“在…之間”“互相”“平行”“垂直”“前項，后項”等；有運算關系，如“加”“減”“乘”“除”“變量的值”“趨向于”等；有因果邏輯關系，如“因為…，所以…”“如果…，那么”；有對應關系，如“全等”“相似”“函數(shù)”“映射”“同構”“同態(tài)”等．

大腦中建立抽象的概念之間的關系，具有建構性，這種建構性是下一層級概念到上一層級概念的選擇性投射（對象屬性分離）和創(chuàng)造性反射（對象屬性重組與一般化），而且這種投射和反射是在抽象水平上的自由創(chuàng)造．抽象水平上的自由創(chuàng)造完成后，大腦往往去尋找具體模型來理解和說明．數(shù)學中，通過抽象的概念之間的關系抽象，通過構造新的模型，給出新模型的定義，這樣得到的概念比直接從知覺運動經(jīng)驗進行簡約化的抽象得到的初始概念更多、更普遍．

綜上所述，大腦神經(jīng)細胞集群對數(shù)量和空間信息的選擇性、簡約化反應，其指向外界事物的根本操作是：舍去事物中除數(shù)量關系和空間形式外的一切物理屬性，得到數(shù)學研究對象，在此基礎上通過類比與聯(lián)想得到對象類別，通過類別內歸納和類別內外比較，構建類別判斷準則，形成概念；研究概念中對象的本質屬性，得到命題；研究概念以及命題之間的邏輯關系，得到系統(tǒng)結構．

5 數(shù)學抽象活動的基本操作步驟

數(shù)學抽象是人腦對客觀事物的數(shù)量關系和空間形式的間接、概括的反映，這里涉及到人腦與客觀事物兩個主體，客觀事物把信息輸入大腦，大腦對客觀事物輸入的信息進行加工，或者對大腦中已有的信息進行再加工，構建新的信息．究竟是大腦對信息的自主重構重要，還是外在事物的信息輸入與加工重要，這就是“唯實論”與“唯名論”的觀點之爭的核心．事實上，數(shù)學抽象，既有從具體的客觀事物抽象出來的對象概念，如自然數(shù)、點、直線、平面、圓、球等概念；也有從對象之間關系抽象出來的關系概念，如相交線、垂線、平行線、平行四邊形、全等、相似、方程、不等式、函數(shù)、導數(shù)、積分等，這些概念是用已有的抽象概念通過相互關系的抽象構造出來的概念．具體對象概念的抽象更依賴于操縱客體或模型活動中的感覺運動經(jīng)驗，是從感覺運動的選擇性知覺到概念內涵的語言表達的過程；抽象關系概念更多地依賴于對已有對象關系的信息的主動建構，是借助具體對象概念及其典型模型建構概念關系結構的主動構造過程，是基于具體對象概念通過“投射”和“反射”進行反省抽象活動得到的．從神經(jīng)活動的角度看，前者更多的是基于具體對象的知覺運動神經(jīng)回路的簡約化；后者則是內源的，是基于記憶信息提取和重組，是幾個概念相關的神經(jīng)回路整合成新的統(tǒng)一簡約的神經(jīng)回路的過程．

數(shù)學抽象首先需要在目標導向下，發(fā)現(xiàn)和表示對象的某些屬性——分離出關鍵要素，分析要素之間的關系（這需要感知和表征），然后構建具備這種本質屬性（關鍵要素及其關系）的新模型，實現(xiàn)屬性的明朗化、理想化和簡約化，這就是史寧中所說的抽象的“簡約化階段”．其次，再通過類比和想象尋找更多的類似對象，得到對象類別，通過類內歸納把這種分離出來的屬性推廣到某一類的對象或特殊化到某一類對象，實現(xiàn)屬性的一般化；在此基礎上通過類內外對象辨別構建類別的判斷準則，給出定義，簡約、確定地表示抽象出的屬性，在此基礎上用符號表示，這是史寧中所說的符號階段．最后，建立概念之間的聯(lián)系，得概念網(wǎng)絡和命題，研究概念以及命題關系形成數(shù)學結構系統(tǒng)（如公理化系統(tǒng)，不同數(shù)學系統(tǒng)之間相互關聯(lián)形成新的數(shù)學系統(tǒng)），這就是史寧中所說的普適階段．例如，初中函數(shù)概念的抽象，首先要分析運動變化過程，分離出決定變化過程的關鍵要素——變量，在此基礎上分析變量之間單值對應的關系，用語言和圖示方法表示這種對應關系；第二步，通過概括把這種單值對應關系推廣到一般；第三步，定義函數(shù)概念并用符號表示（符號表示在高中階段學習）；第四步，討論函數(shù)的表示法，研究具體的函數(shù)模型的圖象性質，建立函數(shù)、方程和不等式的聯(lián)系，形成函數(shù)的知識系統(tǒng)．再如，數(shù)學操作程序的抽象（包括數(shù)學思想方法的抽象），則首先通過具體例子的操作，通過總結分離出關鍵步驟組成的序列（關鍵要素及其關系），再把操作步驟應用于新的例子，突出操作步驟的特征和可遷移性；第二步，把這種操作步驟推廣到一般，形成普適的算法；第三步，用語言總結操作流程，并用程序框圖表示；第四步，把這種操作程序與別的程序重組，建立不同的操作程序的相互聯(lián)系．

在數(shù)學抽象過程中，“數(shù)學直觀”（即數(shù)學對象及其關系的直觀表征）至關重要，不管是具體對象概念還是抽象的關系概念，其抽象過程中必須以“數(shù)學直觀”為中介．數(shù)學直觀的基本神經(jīng)機制是大腦的知覺運動經(jīng)驗及其簡約化、自動化后得到的敏感神經(jīng)激活模式．“數(shù)學直觀”具有層次性，既可以是客觀事物和操作序列，也可以是數(shù)量、數(shù)量關系和圖形、圖形關系，還可以是已有模型或概念．已有的知識經(jīng)驗可以作為新的抽象活動的“直觀”模型，如有理數(shù)域、實數(shù)域可以作為抽象的“域”概念的直觀模型，“鄰域”概念、“開區(qū)間”概念可以作為理解拓撲學中“開集”概念的直觀模型，而且，個體的數(shù)學直觀的水平是隨著各種模型的學習經(jīng)驗而逐步發(fā)展的．

綜上所述，數(shù)學抽象的基本操作步驟是：分離屬性與建構模型—概括與一般化—定義與符號化—系統(tǒng)化，數(shù)學抽象必須借助“數(shù)學直觀”．有了這種操作步驟，就可以在教學實踐中設計出有針對性的抽象活動，讓學生經(jīng)歷數(shù)學抽象過程，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)．

致謝：研究得到了北京師范大學認知神經(jīng)學與學習國家重點實驗室博士生導師周新林教授的悉心指導，在此致謝．

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Cognitive and Brain Mechanism of Mathematical Abstraction

WU Zeng-sheng

(Department of Education Research, Xianju County, Zhejiang Taizhou 317300, China)

Abstract was the essential characteristic of mathematics, The debate on the essence of mathematical abstraction runs through the development history of mathematics. By analyzing the process of Mathematical abstraction using the perspective of cognitive neuroscience, obtained following conclusions: (1) in the debate about the essence of mathematical abstraction, all of the different viewpoints essentially had its rationality, each of which reflects a certain side of mathematical abstraction at different level of understanding; (2) The essence of mathematical abstraction was the Neural cell cluster’s selective and abstract reaction about the information of quantity and spatial; (3) the basic activities step of mathematical abstraction were: separating property and Constructing model, generalizing and universalizing, defining and Symbolization, Systematization.

mathematical abstraction; the cognitive and brain mechanism; activity steps

[責任編校：周學智]

2018–03–10

浙江省2014年教育科學規(guī)劃課題——基于腦、適于腦和發(fā)展腦的數(shù)學教學實踐研究（2014SC295）

吳增生（1962—），男，浙江仙居人，浙江省特級教師，正教授級教師，教育部國培專家?guī)斐蓡T，浙江師范大學教育碩士導師，主要從事中學數(shù)學教育研究．

G40–03

A

1004–9894（2018）04–0068–08

吳增生．數(shù)學抽象的認知與腦機制[J]．數(shù)學教育學報，2018，27（4）：68-75．