利用GeoGebra3D視圖創(chuàng)設(shè)鮮活的光的干涉情景

曾 燕 殷正徐

(1. 江蘇省常熟中學(xué),江蘇 常熟 215500; 2. 江蘇省沭陽(yáng)高級(jí)中學(xué),江蘇 沭陽(yáng) 223600)

1 問(wèn)題的提出

干涉是波特有的現(xiàn)象,楊氏干涉實(shí)驗(yàn)是認(rèn)識(shí)光之本性的里程碑．教材中“光的干涉”一課用圖1研究了光的干涉,筆者覺(jué)得有3處值得商榷: (1) 用光線代替光波; (2) 忽視干涉的空間性; (3) 對(duì)“決定條紋間距的條件”有名無(wú)實(shí)．筆者覺(jué)得主要原因乃是教材編者受到教材載體的束縛,盡管考慮得周全,但其主張只能在二維紙面書寫,難以詳盡表達(dá)其想法．所以,無(wú)論教材重編多少次,只要載體還是紙張,就無(wú)法徹底解決這個(gè)難題．

圖1 教材研究光的干涉原圖

編者的難題應(yīng)由教師借助多媒體來(lái)解決．本文應(yīng)用的多媒體軟件GeoGebra,它是一款動(dòng)態(tài)幾何軟件,開源免費(fèi),比幾何畫板功能強(qiáng)大,可以繪制點(diǎn)、線段、射線、向量、多邊形、曲線、函數(shù)等等,用戶也可以在命令欄直接輸入方程或點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行繪圖,有代數(shù)區(qū)、表格區(qū)、運(yùn)算區(qū)、繪圖1區(qū)、繪圖2區(qū)和3D繪圖區(qū)等．本文重點(diǎn)介紹利用GeoGebra 3D繪圖功能打造生動(dòng)鮮活的干涉情景,幫助學(xué)生全面深入理解干涉機(jī)制．

2 課件制作

(1) 建立干涉場(chǎng)景.

① 打開GeoGebra 3D繪圖區(qū),改變其默認(rèn)設(shè)置:顯示x軸,顯示y軸但隱藏其數(shù)值與刻度,隱藏z軸．

圖2 光的干涉情景

② 用描點(diǎn)工具單擊y軸,設(shè)定為點(diǎn)S1,在命令欄輸入:S_2=(0,-y(S_1),0)(備注:在GeoGebra命令欄中,下劃線“_”后表示下標(biāo),如S2在命令欄中表示成“S_2”,下同);在y軸上繪制點(diǎn)S2,與S1關(guān)于x軸對(duì)稱．S1和S2用來(lái)模擬雙縫．

③ 單擊滑動(dòng)條工具新建變量L,數(shù)值范圍[1,20],表示雙縫到光屏之間的距離;在命令欄輸入:曲面(u,v, 0,u, 0,L,v,-20, 20),新建平面a表示波的平衡位置,在命令欄輸入:曲面(L,u,v,u,-20, 20,v, 0, 3),新建平面b(垂直于平面a)模擬光屏．效果如圖2所示．

(2) 制作相干光波.

① 設(shè)定光波參數(shù)．利用滑動(dòng)條工具,設(shè)置兩列波的振幅A1=1,A2=1,變化范圍為[0.5,1,5],設(shè)置兩列波的波長(zhǎng)λ1=4 m,λ2=4 m,變化范圍為[3, 5],設(shè)置兩列波的圓頻率ω1=1,ω2=1,變化范圍為[1,2]．

② 作平面a與平面b的交點(diǎn),得到直線f,用描點(diǎn)工具單擊直線f,得到點(diǎn)P,點(diǎn)P可以在直線f上自由移動(dòng);設(shè)S1P與x軸正方向的夾角為α1,在命令欄輸入:α_1=atan2(y(P)-y(S_1),x(P)-x(S_1)),即可得到α1的數(shù)值,同理在命令欄輸入:α_2=atan2(y(P)-y(S_2),x(P)-x(S_2))得到S2P與x軸正方向的夾角α2;利用滑動(dòng)條工具創(chuàng)建變量t,用于模擬時(shí)間,變化范圍為[0,100]．

③ 在命令欄輸入:曲線((x(S_1)+sx, y(S_1)+tan(α_1) sx, A_1 cos(ψ_1-k_1 sx/cos(α_1)+ω_1 t)), sx, 0, L),得到從S1到點(diǎn)P的波形圖,其中初相ψ_1=π/2,波數(shù)k1=2π/λ1,sx為函數(shù)曲線的參數(shù)變量,其范圍為[0,L],表示從雙縫到光屏的距離;同理繪制從S2到點(diǎn)P的波形圖,在命令欄輸入:曲線((x(S_2)+sx, y(S_2)+tan(α_2) sx, A_2 cos(ψ_2-k_2 sx/cos(α_2)+ω_2 t)), sx, 0, L)．如圖3所示．

圖3 相干光波的設(shè)定

(3) 繪制合振動(dòng)圖.

點(diǎn)P的振動(dòng)由兩列波疊加而成,只有明白點(diǎn)P的振動(dòng)情況才能理解干涉的內(nèi)涵,為了形象清晰描繪出三維視圖中點(diǎn)P的振動(dòng)情況,可以在過(guò)點(diǎn)P且平行于xOz平面繪制點(diǎn)P為振源的假想波,在命令欄輸入:曲線((x(P)+sx, y(P), A_1 cos(ψ_1-k_1 (s_1+sx)+ω_1 t)+A_2cos(ψ_2-k_2 (s_2+sx)+ω_2 t)), sx, 0, λ_1),如圖4所示,其中A_1 cos(ψ_1-k_1 (s_1+sx)+ω_1 t)+A_2 cos(ψ_2-k_2 (s_2+sx)+ω_2 t))表示兩波的疊加,s1為線段S1P的長(zhǎng)度,s2為線段S2P的長(zhǎng)度．

(4) 呈現(xiàn)干涉圖樣.

① 為了研究干涉圖樣,著重研究了點(diǎn)P的振動(dòng)情況．點(diǎn)P雖然可動(dòng)但畢竟只是一點(diǎn),而干涉圖樣是空間分布,為避免學(xué)生“只見(jiàn)樹木不見(jiàn)森林”,可以在光屏上呈現(xiàn)干涉強(qiáng)度圖像．在命令欄輸入:s1(x)=sqrt((y(S_1)-x)2+L2),將以P點(diǎn)的y值作為參數(shù)代入函數(shù),得到此時(shí)P點(diǎn)與S1點(diǎn)的距離,同理在命令欄輸入:s2(x)=sqrt((y(S_2)-x)2+L2)得出,P點(diǎn)到S2點(diǎn)的距離．

② 在命令欄輸入:曲線((x(P), sy, sqrt(A_12+A_22+2A_1 A_2 cos(ψ_2-ψ_1-(k_2 s2(sy)-k_1 s1(sy))))), sy,-20, 20),根據(jù)波的疊加規(guī)律得到點(diǎn)P在光屏的振幅分布,可以直觀顯示整體的干涉情況．最終效果如圖4所示．

圖4 假想波與光強(qiáng)曲線

3 GeoGebra課件優(yōu)勢(shì)與應(yīng)用

(1) 以波動(dòng)的形式展示光的傳播與干涉.

光線是幾何光學(xué)模型,具有簡(jiǎn)單形象的優(yōu)點(diǎn),可以充分闡述光的直線傳播、反射與折射規(guī)律等．但用于解釋光的波動(dòng)性,光線模型變成缺點(diǎn),過(guò)于簡(jiǎn)單而欠形象,忽視了波動(dòng)特征．縱使學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了機(jī)械波的疊加與干涉,也別奢望學(xué)生經(jīng)過(guò)一兩節(jié)的學(xué)習(xí)就能深刻理解波動(dòng)性,用光線模型示意波的傳播過(guò)程實(shí)屬操之過(guò)急,教材中說(shuō):“兩列波的波峰與波峰疊加”,學(xué)生很納悶:波峰在哪?根本原因在于教材編寫時(shí)忽視光線模型的適切范圍．

GeoGebra課件具有動(dòng)態(tài)直觀的特點(diǎn),可以生動(dòng)傳神地展示光波的傳播過(guò)程．右擊時(shí)間t滑動(dòng)條,啟動(dòng)動(dòng)畫,變量t在均勻“流動(dòng)”,兩列波從雙縫徐徐向P點(diǎn)傳播,拖動(dòng)轉(zhuǎn)換3D視角,學(xué)生可以從各個(gè)角度進(jìn)行觀察,切身體會(huì)光的傳播過(guò)程,比教材的兩條光線表示波的傳播過(guò)程形象百倍．利用GeoGebra的動(dòng)態(tài)性可以準(zhǔn)確地展示光波的疊加過(guò)程,滾動(dòng)鼠標(biāo)放大課件聚焦于典型疊加位置,細(xì)致清晰展現(xiàn)疊加細(xì)節(jié),為理解干涉打下基礎(chǔ)．

① 干涉加強(qiáng)區(qū)域.

如圖所示5,兩列波在P點(diǎn)相遇,均處在波峰位置,隨著時(shí)間的推移,兩列波由波峰逐漸向波谷移動(dòng),二者始終保持同一步調(diào),同時(shí)到達(dá)平衡位置、同時(shí)到達(dá)波谷、同時(shí)返回波峰位置,以點(diǎn)P為振源的假想波振幅變成S1、S2兩列波的兩倍,學(xué)生有充足的時(shí)間和空間體會(huì)“加強(qiáng)”的物理意義,容易理解為什么在此區(qū)域會(huì)出現(xiàn)亮條紋．課本圖片加強(qiáng)區(qū)要么是顯示波峰與波峰的疊加、要么是波谷與波谷的疊加,缺乏中間動(dòng)態(tài)過(guò)程,常常誤導(dǎo)學(xué)生:加強(qiáng)區(qū)質(zhì)點(diǎn)的位移一直處在最大位移處,位移不可能為0．而利用GeoGebra課件動(dòng)態(tài)演示可以有效防止出現(xiàn)諸如此類的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)．

② 干涉減弱區(qū)域.

如圖所示6,兩列波在P點(diǎn)相遇,波1處在波峰位置,波2處在波谷位置,隨著時(shí)間的推移,二者始終保持相反步調(diào),兩列波的振動(dòng)在P點(diǎn)完全抵消,以質(zhì)點(diǎn)P為振源的假想波變成了一條直線,所以此處的P點(diǎn)呈現(xiàn)暗條紋．學(xué)生經(jīng)常錯(cuò)誤地認(rèn)為減弱區(qū)振幅一定為0,這與課本所舉事例皆為等振幅波源有關(guān)．調(diào)節(jié)GeoGebra課件中振幅滑動(dòng)條,使波1和波2 的振幅不再相等,從課件可以直觀看出P點(diǎn)振幅不為0;也有學(xué)生認(rèn)為P點(diǎn)振動(dòng)一定比兩列波中的任何一列波振動(dòng)都弱,同理調(diào)節(jié)GeoGebra課件振幅滑動(dòng)條,使A2A2,從課件可以直觀看出P點(diǎn)振幅大于波2的振幅,從而糾正學(xué)生的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)．

圖6 相消干涉

③ 干涉一般區(qū)域.

課本用干涉最強(qiáng)區(qū)代替加強(qiáng)區(qū),用干涉最弱區(qū)代替減弱區(qū),忽略中間的一般過(guò)渡區(qū)域,導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)為干涉要么是最強(qiáng)的要么是最弱的,中間存在明確的界限．在GeoGebra課件中,拖動(dòng)P點(diǎn)改變其位置,從干涉最強(qiáng)點(diǎn)到最弱點(diǎn)緩慢移動(dòng),使學(xué)生感受到振動(dòng)強(qiáng)度的連續(xù)變化,通過(guò)光強(qiáng)曲線直觀表達(dá)振幅在光屏的變化,讓學(xué)生深刻理解明暗的漸次演變．

(2) 動(dòng)態(tài)展示空間干涉.

“光的干涉高端備課”一文指出“教材一開始就引入了光的雙縫干涉實(shí)驗(yàn),在暗室中用氦氖激光器發(fā)出的紅色激光照射金屬擋板上的兩條平行狹縫,學(xué)生可以在屏上觀察到明暗相間的干涉條紋,由于該實(shí)驗(yàn)僅在固定的光屏上進(jìn)行觀察,會(huì)讓學(xué)生誤以為干涉只發(fā)生在光屏處,如凸透鏡只有光屏處成一個(gè)清晰的像一樣”．教材在處理光的空間干涉問(wèn)題確實(shí)存在不足,容易誤導(dǎo)學(xué)生只有在光屏處才有干涉現(xiàn)象產(chǎn)生．通過(guò)慢慢拖動(dòng)滑動(dòng)條L,改變光屏與雙縫之間的距離,可以觀察到振幅曲線依然存在,改變GeoGebra課件視角,從多個(gè)角度觀察振幅曲線,體現(xiàn)空間干涉．引導(dǎo)學(xué)生觀察到振幅曲線的間距——條紋間距——是否發(fā)生變化及如何變化,讓學(xué)生猜測(cè)影響條紋間距的其他因素,順利過(guò)渡到研究“決定條紋間距的因素”．

圖7 條紋間距與雙縫到屏之間距離的關(guān)系

(3) 直觀顯示決定條紋間距的因素.

本節(jié)教材第2部分小標(biāo)題是“決定條紋間距的因素”,但第2部分內(nèi)容只講了產(chǎn)生亮紋和暗紋的條件,絕口未談“決定因素”,讓人匪夷所思．教材下一節(jié)內(nèi)容是“實(shí)驗(yàn):用雙縫干涉測(cè)量光的波長(zhǎng)”,首先推導(dǎo)了決定條紋間距的公式,然后利用此公式測(cè)量光的波長(zhǎng),學(xué)生會(huì)感到很突兀:怎么會(huì)想到通過(guò)測(cè)量條紋間距來(lái)測(cè)量波長(zhǎng)的呢?如果在兩節(jié)內(nèi)容之間銜接一個(gè)真正的“決定條紋間距的因素”,通過(guò)定性研究波長(zhǎng)與條紋間距的關(guān)系,學(xué)生便會(huì)覺(jué)得通過(guò)條紋間距測(cè)量波長(zhǎng)順理成章．在展示干涉空間性時(shí),得到距離越大,條紋間距越大,如圖6所示．影響條紋間距還有哪些因素呢?改變?nèi)肷涔獾牟ㄩL(zhǎng),即拖動(dòng)λ滑動(dòng)條,可以發(fā)現(xiàn),波長(zhǎng)越長(zhǎng),條紋間距越大;改變雙縫之間的距離,即拖動(dòng)點(diǎn)S2,可以發(fā)現(xiàn),S1、S2距離越小,條紋間距越大．有此作為基礎(chǔ),對(duì)條紋公式x=Lλ/d會(huì)有更加深刻的理解．

4 小結(jié)

本文通過(guò)GeoGebra的3D視圖,動(dòng)態(tài)地展示了光波的傳播過(guò)程,鮮活地呈現(xiàn)光的疊加過(guò)程,有效防止學(xué)生錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)傾向,使學(xué)生真正理解干涉機(jī)制,深入理解光的波動(dòng)特性．