空間均勻球殼產生引力場蘊含的深層物理思維

賈文靜 肖 東

(福建省廈門集美中學,福建 廈門 361021)

類比法作為一種科學研究方法,在物理學中起到重要作用.許多重要的物理規律都是由它引導產生的,例如開普勒的行星運動規律,麥克斯韋電磁場理論,德布羅意波粒二象性理論等等.[1]所謂類比法,它是指具有某些相似性質的兩個對象在其他方面也可能具有某種相似的性質或規律,它是一種從特殊到特殊的邏輯推理方法,當然類比法得出的推論是或然的,所有的類比結果都需要嚴謹的理論認證或實驗驗證,才能被物理學家接受.

類比法同樣在物理教學中也起著關鍵性的作用,例如萬有引力和庫侖力的類比教學,比值定義法的類比教學,以及機械振動和電磁振蕩的類比教學等等.[2]通過類比法可以使得新舊知識建構聯系,不僅能夠化抽象為具體,讓學生觸類旁通,達到溫故而知新的作用,并且能夠提升學生發現問題、處理問題以及獨立解決問題的能力[3，4].

1 引出問題

文獻[5]《密度均勻球殼對質點的引力》中,作者用微積分的方法分析了密度均勻的球殼對球殼內外質點所產生的萬有引力,得到了如下3個結論: (1) 密度均勻的球殼對球殼內的質點產生的萬有引力為0; (2) 球殼對球殼外的質點產生的萬有引力等價于質量相同的質點在球心處對其產生的萬有引力; (3) 密度均勻的實心球體對質點的萬有引力可以認為是密度均勻半徑不同的球殼層層疊加,不難得到,在球外的質點受到的萬有引力等價于質量相同的質點在球心對其產生的萬有引力,在球內受到的萬有引力等價于球心到質點為半徑的球(內球)所產生的萬有引力,當然也就等價于與該內球質量相同的質點在球心處對其產生的萬有引力.

這3個結論仍然有許多深層次的問題值得思考,例如,(1) 為什么質點在球殼內所受到的萬有引力為0,而在球殼外受到的萬有引力卻可以將球殼看成質量相同的質點在球心處產生的萬有引力,這些等效背后所隱藏的物理機制是什么?(2) 同樣的3個結論可不可以對密度均勻的二維圓環適用,如果不適用,那么為什么不適用?(3) 上述的3個推論是一個偶然的結果,還是一個普遍的物理規律,對于其他形式的有心力是否也有類似的結論?

2 萬有引力與庫侖力的類比

本文用分析類比的方法將萬有引力和庫侖力相聯系,首先,類比庫侖力中的電勢的概念,我們用引力勢的方法回答了第(1)個疑問;其次,類比庫侖力中的高斯定理,我們對第(2)個疑問作了詳細的討論;最后,我們將萬有引力推廣到一般形式的有心力,得到了相應的高斯定理,尤其對兩類特別的力(彈性力,1/r形式的力)作了具體的討論,得到了有趣的結果.這些疑問的解決,不僅能夠使學生深刻地把握萬有引力和庫侖力的聯系,更能夠突破教學難點,使得其他類似的問題在教學中迎刃而解,有效地提高教學的深度.

2.1 空間引力勢分布的求解

萬有引力和庫侖力是自然界中4種基本作用力的重要組成部分,也是物理教學難點,在電學當中,帶電物體之所以能夠受到庫侖力,是因為源電荷在空間產生了電場.而電場的本質是由于電勢的空間分布不均勻性導致的.這種空間的不均勻性在數學上用梯度()表示,即空間中任意一點的電場強度等于在該點電勢的負梯度.[6]類比電場強度和電勢這兩個概念,我們可以定義源質點在空間中產生的引力勢不難看出,源質點在空間所產生的引力場強度其中er為徑向方向的單位矢量,任意質點所受到的萬有引力就等于質點的質量乘以該點處的引力場強度. 因此只要知道空間引力勢的分布就能夠準確地計算出質點在每一點處受到的萬有引力. 下面,我們利用引力勢這一概念來回答密度均勻的球殼對其內外質點所產生的萬有引力.

圖1 問題示意圖

我們接著要追問為什么質點在球殼內所受到的萬有引力為0,而球殼外質點所受到的萬有引力卻可以等價于等質量的質點在球心處對其所產生的萬有引力,這里面隱藏著什么物理內涵?聯想到電學中的高斯定理,即空間的電場對任一封閉曲面的通量E·dS正比于該封閉曲面所圍成的體積內電荷的總電荷量.[6]類比這一定理,我們也可以認為空間當中的引力場強度對任一封閉曲面的通量f·dS正比于該封閉曲面所圍成的體積內質點的質量. 這里我們注意到,由于球殼的密度均勻,所以根據對稱性原理,我們有理由認為球殼在空間當中所產生的引力勢應該具有球對稱性. 對于空間中的兩點A、B,如果rA=rB,則UA=UB,相應地,如果A、B兩點距離球心的距離相同,則它們引力場的大小相等且方向指向球心. 根據這一思想,要求球殼外的一點P處的引力場,我們可以作半徑為r的外球,P在球的表面上,在這個外球表面上每一點的引力場大小都是相同的,設為f,方向與外球殼的表面相垂直,則引力場強度對該外球表面的通量正比于球殼的質量. 同樣如果將球殼換成質量為M的質點放置于球心處,此時空間的球對稱性沒有改變,那么由引力場的高斯定理可以看出,球殼在P點所產生的引力場和質量為M的質點在球心處產生的引力場是相同的.而對于球殼內質點在任意位置受到的萬有引力為0,那是因為球殼內無引力場,這也很好理解,在球殼內作任意一個曲面,由于在該曲面內沒有引力源,所以引力場通量為0.這時只能有兩種情況,要么就是均勻的引力場,要么就是引力場為0. 根據引力場的對稱性,可以排除前者,所以在球殼內,質點所受到的萬有引力為0.

這個引力勢需要分兩種情況討論:當r=R時,引力勢U為負無窮;當r≠R時,引力勢U=-2GMEllipticK(4rR/(r+R)2)/(r+R),其中EllipticK(x)函數是第一類完全橢圓積分函數K(x). 此時,我們注意到,質點在圓環內受到的萬有引力并不是0,因為圓環內并不是一個等勢體,而在圓環外質點受到的萬有引力也并不等于相同質量的質點在圓心處對其產生的萬有引力.這一“反常”的結果在于一方面從球殼到實心球是一種線性疊加,但是從圓環到球殼卻不能看出是一種簡單的線性疊加. 事實上,球殼是由圓環繞其直徑旋轉而成的,其本質是一種非線性疊加;另一方面在二維平面上,沒有類似的高斯定理,即使在圓環內,任一封閉的曲線內部沒有引力源,但引力場強度并不為0(r≠0),質點仍然受到萬有引力的作用.

2.3 廣義中心力場的引力勢及其高斯定理

從這一結果我們可以看出,無論力源是否包含在該曲面內,力場對該曲面的通量只與曲面所圍成體元的體積大小有關,根據這一高斯定理,我們得到如下的推論:

對于彈性力,密度均勻的球殼對空間任一質點的彈性力,都等效于質量相同的質點在球心處對其產生的彈性力.

具體的證明過程如下,設力源的質量為M,則該力源在空間當中產生的彈性力場為f=-Mr,則相應的勢可以寫為U(r)=Mr2/2.利用相同的方法,可以求出質量為M的球殼在空間任意一點所產生的力勢U(r)=M(r2+R2)/2,相應地,球殼產生的力場f=-Mr,因此上述推論得到驗證.

3 總結

本文利用分析類比的方法,重點討論了密度均勻的球殼對球殼內外質點所產生的萬有引力.不僅將之前的結論進行深化,而且對部分結果進行了推廣,所有類比的結果都得到了理論嚴格論證.從這一分析類比法中不僅可以加深對萬有引力本質的認識,而且激發學生的求知欲,開拓學生的創新思維,對其他的教學難點也起到積極的借鑒作用.