運用杠桿平衡條件,確定剩余部分重心

王偉民 辛存良

(1. 安徽省太和縣宮集鎮中心學校,安徽 太和 236652； 2. 山東省陽谷縣西湖中學，山東 陽谷 252311)

重心是重力在物體上的等效作用點．質量分布均勻,外形規則物體的重心在它的幾何中心．在規則幾何體上挖去一個外形規則的部分,如果挖去部分的重心與原物體重心不重合的話,剩余物體的重心將偏離原來重心的位置．那么,如何確定剩余部分重心的位置呢?

例1.如圖1所示,質量均勻的圓盤,半徑為R,在圓盤上挖去一個半徑為r的圓孔,已知圓孔圓心與圓盤圓心之間的距離為d,若R=kr(k>1),確定剩余部分的重心位置?

分析:如果將挖去的部分重新補上,則補齊后的圖形重心在大圓面的圓心,如圖2,在此情況下,將大圓面看作是兩部分的組合——半徑為r的小圓面跟從大圓面上挖去小圓后所?！捌珗A環”圖形的組合,由于對稱,“偏圓環”圖形的重心一定在兩圓的連心線上,并且在圖2中大圓面圓心O的右側．如果從大圓的圓心處吊起來,并將大圓的圓心視為支點的話,那么這兩部分的重力關于支點平衡,利用杠桿的平衡條件可以確定“偏圓環”(即圖1中的陰影部分)圖形重心的位置．

圖2

解析:如圖2所示,挖去小圓后,剩余部分的重心在兩圓的連心線上大圓圓心O的右側B位置,設OB=x,因為R=kr,所以,大圓面積是小圓面積的k2倍,故“偏圓環”圖形的面積是小圓面積的(k2-1)倍,“偏圓環”圖形的質量是小圓質量的(k2-1)倍.若設小圓的質量為m,則“偏圓環”圖形的質量為(k2-1)m,以O為支點,由杠桿平衡條件得

mg·d=(k2-1)mg·x，

求解挖去一部分之后的平面圖形的重心位置時,將原圖形看作挖去部分與剩余部分的組合,利用杠桿平衡條件進行求解,方便而又快捷．實際上,這種方法不僅適合于圓形薄片挖去一部分之后,剩余部分重心位置確定的問題,對于其他形狀的物體挖去一部分圖形之后,剩余部分重心位置確定的問題,也同樣適用．

圖3

例2.如圖3所示,質量均勻的薄片△ABC,O是兩條中線AD、BE的交點(即△ABC的重心).過O分別作OG∥AB,OF∥BC,分別交AC于G和F,如圖4,若中線長BE=18 cm,將△OFG挖去后,試確定剩余部分的重心位置．

解析:從△ABC的重心O點用細線將其吊起,并讓中線BE恰好處于水平狀態(這樣做便于求解),由相似三角形面積比等于相似比的平方,結合三角形的重心定理容易推出,圖4中挖去的△OFG與△ABC面積比為1∶9,所以,剩余部分的質量是挖去部分三角形質量的8倍．如圖5所示,由幾何知識易知,OE是△OFG的FG邊的中線,所以,△OFG被中線OE分成的兩個小三角形的重心到OE的距離相等,因此,挖去△OFG之后,剩余部分的重心只是沿△ABC的水平中線BE向右平移,設平移后的重心(即剩余部分的重心)位置N與O間的距離NO=x,因為△OFG的重心M到其頂點O的距離為

由杠桿平衡條件得

mg·OM=8mg·x.

解得x=0.5 cm.

答:剩余部分的重心在中線BE上O點右側,距離O點0.5 cm處．

圖4 圖5

圖6

例3.在如圖6所示的坐標系中,質量均勻的橢圓形薄片,其長半軸和短半軸長度分別為12 cm和6 cm,在薄片上長軸和短軸的一端分別挖去兩個與薄片相似的橢圓形孔洞,若挖去的圖形與原薄片的相似比為1∶3,試確定剩余部分重心的坐標．

圖7

解析:因為相似圖形面積之比等于相似比的平方,所以,挖去的一個小橢圓的面積與原來橢圓面積之比為1∶9,因此,如果一個小橢圓薄片的質量為m,那么,挖去兩個橢圓孔洞之后,剩余部分的質量為7m．如圖7所示,設兩個孔洞橢圓薄片的重心分別為A和B,挖去兩個橢圓薄片之后剩余部分的重心為F,則未挖去孔洞之前,兩個小橢圓的重心在AB的中點C,顯然,C、O、F三點共線,以坐標原點0為支點,由杠桿平衡條件得

2mg·OG=7mg·OE.

可得OG∶OE=7∶2.